Математическая статистика
жүктеу/скачать 1,65 Mb.
|
теория вероятностей уч пособие
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ. ФОРМУЛЫ БЕРНУЛЛИ, МУАВРА-ЛАПЛАСА И ПУАССОНА. НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО УСПЕХОВ.Студент должен знать: - формулу полной вероятности и формулу Байеса; - формулу Бернулли, Муавра –Лапласа и Пуассона; Студент должен уметь: - находить вероятность событий, используя формулы полной вероятности, Байеса, Бернулли, Муавра –Лапласа и Пуассона, - находить наивероятнейшее число успехов. Литература: [5] стр.44-59. Основные теоретические сведения Если событие А может наступить только при появлении одного из несовместных событий (гипотез) Н1, Н2 , ... , Нn, то вероятность события А может быть вычислена по формуле полной вероятности: , где p(Hi) – вероятность гипотезы Нi, , p(A\Hi) – условная вероятность события А при этой гипотезе. С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса. Если до опыта вероятности гипотез были а в результате опыта появилось событие А то, с учетом появления этого события, «новые», т. е. условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса: Формулы Байеса дают возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом наблюдавшегося результата опыта. Примеры Пример1. В продажу поступили электрические лампочки, причем партия лампочек в 1000 штук поступила с одного предприятия, а партия в 500 штук – с другого. Известно, что на первом предприятии брак составляет 5 % продукции, а на втором 3 %. Какова вероятность приобрести нестандартную лампочку? Какова вероятность того, что куплена лампочка из первой партии, если она оказалась стандартной? Решение. Выдвинем следующие гипотезы: Н1 – купленная лампочка принадлежит первой партии, Н2 – купленная лампочка принадлежит второй партии. Тогда ; По формуле полной вероятности: Для получения ответа на второй вопрос воспользуемся формулой Байеса. Вероятность Пример2. В сборочный цех завода поступает 40% деталей из I цеха и 60% – из II цеха. В I цехе производится 90% стандартных деталей, а во II – 95%. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной. Решение: Событие А – взятая наудачу деталь стандартная. Возможны две гипотезы H1 – деталь изготовлена цехом I. H2 – II цехом. События H1 и H2 – образуют полную группу ; . – условная вероятность события А при условии гипотезы H1. – условная вероятность события А при условии гипотезы H2. По формуле полной вероятности: . Повторение испытаний. Формулы Бернулли, Муавра-Лапласа и Пуассона. Наивероятнейшее число успехов. Пусть некоторое испытание повторяется практически в одинаковых условиях несколько раз, причем вероятность интересующего нас события в каждом испытании и результаты разных опытов независимы. Подобные условия опыта называются схемой Бернулли. Обозначим число испытаний через n, вероятность успеха в одном опыте p, а q = 1-p – вероятность неуспеха. Общее число успехов может быть целым числом от 0 до n. Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний успех наступит ровно k раз выражается формулой Бернулли Часто на практике необходимо решать задачу: какое из возможных значений успеха имеет самую большую вероятность? В рассмотренном примере это 0 успехов. В общем случае наибольшая вероятность приходится на значения k, заключенные на отрезке [np-q, np+p]. Длина этого отрезка равна единице, поэтому если np + p не является целым числом, то наиболее вероятное k единственно и равно целой части от np + p. Если же np + p целое, то наивероятнейших значений два np – q и np + p. В рассмотренном примере np + p равно 4/6 и его целая часть равна 0. Схема Бернулли. Приближенные формулы При больших n формула Бернулли практически не применима из-за большого объема вычислений. Однако в этом случае существуют сравнительно простые приближенные формулы. Локальная теорема Муавра – Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно к раз, равна . где p вероятность появления успеха в каждом испытании, q = 1 p, -значения функции приведены в таблице Приложение 1 (стр.79) Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях число успехов k находится между k1 и k2, равна где p – вероятность появления успеха в каждом испытании, q = 1 - p, а - функция Лапласа (значения функции приведены в таблице Приложение 2, стр.80). Отметим некоторые основные свойства функции Лапласа. Функция Лапласа монотонно возрастает. Формула Пуассона В случае, когда n велико, а p мало (обычно ) вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона Формула Пуассона используется в задачах, относящихся к редким событиям. Значения функции приведены в таблице Приложения 3, стр.81) Примеры Пример 1. Опыт заключается в трехкратном подбрасывании игральной кости. Найти вероятность, что все три раза выпадет 6 очков. Решение. Вероятность выпадения 6 очков равна 1/6 и все броски независимы в совокупности. Поэтому применима формула Бернулли. Здесь число опытов n = 3, успехом будем считать выпадение 6 очков. Вероятность успеха в одном опыте p = 1/6, вероятность неуспеха q = 5/6. Число успехов может быть любым от 0 до 3. Для проверки желательно убедиться в том, что сумма всех вероятностей равна 1. Пример 2. Футболист выполняет пенальти. Вероятность того, что он забьет гол равна 0,8. Найти вероятность того, что из серии 5 пенальти данный футболист забьет 3 мяча. Решение: Воспользуемся формулой Бернулли: Найдем сначала число сочетаний: . Пример 3. Монета брошена 2N раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно N раз. Решение. Имеем схему Бернулли, в которой количество испытаний n=2N. Вероятность успеха (выпадение «герба») в одном испытании p=0,5. Тогда вероятность неуспеха (выпадение «решки») в одном испытании q=1-p=0,5. По условию количество успехов (количество выпадений герба) k=N. При этом возможны два случая: жүктеу/скачать 1,65 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|