7 2 . Показать, что функция  f (x )   = sin

108
Г л. 1. Введение в анализ
ы- Исследовать на равномерную непрерывность следующие функции:
2 7 7 .
f (x ) = T ± - p , x e [ - i ,
 
1
].
◄ Функция непрерывна на [—1, 1], а поэтому по теореме Кантора и равномерно-непре­
рывна. ►
2 7 8 .
/( х ) = In х, х € ]0, 1[.
◄ Равномерная непрерывность отсутствует, так как если 
х„ 
= е~и, уп = e_n_1, п € N, то
|zn - Уп| =
-*• 0 при » — оо, а |/( х „ ) - /(т/„)| = 1 > е Ve G ]0, 1]. ►
2 7 9 . / ( х ) = s*u х , х G ]
0
, 
7
г[.
◄ 
Рассмотрим функцию 
F(x) =
/( х ) при х € ]0, тг[, F(0) 
=
1
, F (
7
t
) =
0. Поскольку функ­
ция 
F 
непрерывна на сегменте [0, 1], то, по теореме Кантора, она и равномерно-непрерывна 
на этом сегменте, а следовательно, и на интервале ]0, ж[. ►
2 8 0 .
/( х ) =
е х
cos —, х £ ]0, 1[.
*  Положим Хп = ^ , Уп = 
п € N. Тогда \х„ - уп \ = 2п(2»+1)эт - 0 при п - оо,
однако
1
1
|/(х-„) — /(j/„ )| = f
2
nir Ц-е (
2
п+
1
)ж > 2 V
71
е N.
Следовательно, функция не является равномерно-непрерывной. ►
2 8 1 .
/(х ) = arctg х, х € R.
М Равномерная непрерывность следует из того, что (см. пример 268)
|arctg х - arctg j/| =
arctg
x - y  
1
+ xy
X 
- у 
1 + xy
< \x - y\ < e
при |x — 
y\ 
< 
8 
= 
e. 
►
282.
/(x ) 
= x
sin 
x, 0 ^ x < 
+oo.
◄ ■
Пусть X„ — ПЖ, yn = 717Г +
77 g N, 
ТОГДД 
|x„ — J/rt| = ^ —> 0 ПрИ 71 -> 
1
X
1
,
a |/ ( x n) - f ( y n)\ ~ (пж + 1 ) | sill (777Г + £■) | = (пж + i ) sill 1 = [ж +
—j-2- — 7Г при
n
71 
со. Следовательно, |/( x „ ) — f ( y n)| > f V
77
> от, и функция не является равномерно­
непрерывной. ►
283.
Для е > 0 найти 8 > 0 (какое-нибудь!), удовлетворяющее условиям равномерной 
непрерывности для функции / , если:
а) /( х ) = х2 — 2х — 1, — 2 ^ х ^ 5; б) /(х ) = (/х, 0 < х < +оо. 
а) Имеем
I f ( x ) ~ f(y)\ = I
* 2
-
2х ~ 
1
- У2 +
2
?/ +
1
| = |х
2
- у2 -
2
(х - т/)| ^
^ |х +
у\ 
|х - у\ + 2 \х - у\ 
( |х [ + |т/| + 2)|х - т/[ ^ 12 |х - у\ < е,
если |х — т/| < ^ = 8.
б) Пусть е
> 0 — произвольное. Если числа х и т / такие, что
О 
х < еп, 0 ^ у < еп, 
(1)
то 0 ^ ^fx < 
е, 
0 ^ У
у
< е 
и |х 
— j/| < еп = 8. 
Отсюда следует, что |/( х )
- f(y)\ =
| л/х — ^ j/| < е при |х — 
2
/| < еп = 8. Если же (1) не выполняется, т. е. хотя бы одно из чисел
х или 
у 
не меньше е", то
V x" *" + \ / х п~2у + \ / х п~3 У2 + . . . - ( - \ / у п~ Х > £п 1.
Тогда
|/(х ) - f ( y ) I = | ^
 - '<М =
\ х ~ у \  
_________
У х " - 1 + \ / х п~2у + \ J x n~3y2 + . .. + \ / у п~1
\ х - у \
£ п - 1
< е
при |х — у\ < еп — 8. ►

109
2 8 4 . Доказать, что сумма и произведение конечного числа равномерво-иеирерывнйВХ на
интервале ]а, Ь[ функций равномерно-непрерывны на этом интервале. 
/
■4 Достаточно рассмотреть случай двух равномерно-непрерывных на ]а, Ь[ функций / и 
д. Согласно условию,
Ve > 
0 3
> 
0 
: Vx, у Е 
]а, Ь[Л |х 
-
у| 
< 
<$i => 
|/(х ) -
/ ( у ) | <
| ,
(1)
Ve 
> 0 Зб 2 > 0 : 
Vx, 
у £ ]а, Ь[Л 
\ х
-
у\ < Ь2
=► |/ ( х ) - / ( у ) | < | .
(2)
Если |х — 
у\
< 
6, 
$ = inin{
6
i, бг}, то будут выполняться оба неравенства (
1
) и (
2
). Тогда
непрерывность суммы следует из неравенства
|/(х ) + д{х) - f (y) - д(у)| < |/(х ) - f(y)\ + |g(x) - д(у)| < |
| = е,
справедливого Vx, у £ ]а, Ь[, если |х — у\ < 6. 
' ' '
Равномерная непрерывность произведения вытекает из того, что
|/(х ) д(х) - f (y ) д{у)\ = |/(х ) д(х) - /(х ) д(у) + f ( x ) д(у) - f{y) g(y)| <
< |/(х )| \д(х) - д(у)| + \д(у)\ |/(х ) - f(y)\ < L \  + М | ,
если \х - у\ < 8, х 
6
]а, Ь[, у £ ]а, Ь[, где L = sup |/(х )|, М = sup |g(x)|. ►
х £ ] а , Ь[ 
х б ] а , 6[ 
,
2 8 5 . Доказать, что если ограниченная монотонная функция / : ]а, Ь[ —►
R непрерывна 
на конечном или бесконечном интервале ]а, Ь[, то эта функция равномерно-непрерывна На 
интервале ]а, Ь[.
◄ Из условия следует, что существуют конечные пределы
/(а +
0
) = lim f(x), 
/(ft -
0
) = lim /(aг).
x-+a-fO 
x —
0
Если а и b — конечны, то, полагая /(a ) = /( a +
0
), /(ft) = /(ft — 
0
), получаем непрерывную 
функцию / на сегменте [a, ft], которая, в силу теоремы Кантора, равномерно-непрерывна на 
[ a , ft], 
.
Если одно из чисел a, ft или оба эти числа равны —оо, соответственно +оо, то рассуждая, 
как и при решении примера 274, снова убеждаемся, что функция / равномерно-непрерыв­
на. ►
2 8 6 . Модулем непрерывности функции / Да, Ь[ —*■
М. называется функция
6 н->- шу(
6
),
где шД6) = sup |/(х ) — f(y)\, х н у  — любые точки из ]а, Ь[, связанные условием \х — у| ^ 6.
Доказать, что для равномерной непрерывности функции / на ]a, fc[ необходимо и доста­
точно, чтобы lim Wf(6) =
0
.
а_+о 
v '
< Необходимость. Пусть lim ш/(6) = 
0
. Тогда
£-►+0
Ve > 0 3 $ i > 0 : Уя, 
у
6 ]а, 
Ь [ л V 8 < 6\ 
и
>/(£) < £.
Так как u>/(
6
) =
sup |/(х ) — /(у )|, то
я,У б] а ,Ь[
\ х — у \ < 6
l/(z ) - f(y)\ < е Vx, у £ ]а, Ь[Л |х - у| < 6,
т. е. функция / равномерно-непрерывна на ]a, Ь[.
Достаточность. Пусть / — равномерно-непрерывна на ]a, Ь[, тогда
Ve > 0 36 > 0 : Vx, у £ ]а, Ь[Л |х — у\ < 8 => |/(х ) — /(у )| <
Но тогда при тех же условиях относительно х н у  имеем
ш,{Ь) =
sup 
|/(х ) - f (y) < | < е,
»
6
]а, Ь[
lx-yl
т. е. lim ui/(S) — 
0
. ►
<5^+0
§ 9. Равномерная непрерывность функций