Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
Гл. 1. Введение в анализ
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- § 8. Непрерывность функций 109 Г Отсюда вытекает, что функция разрывна при отрицательных иррациональных знАченкях’ар
- —*■ со к —*оо
| 102
Гл. 1. Введение в анализ Если [±] = - п , то ^ J < - п + 1 , - ~ 7 < X < 3 ^. и —п + 1 —71 + 1 < X (2) sm 1 гх для рационального, х 0 для иррационального х. Если « —► оо, то х —► — 0 , и из ( 2 ) находим, что lim /( х ) = lim х М == 1. Таким обра л-— — 0 г — — О I 1 J / ( 0 ) — / ( + 0 ) = / ( — 0 ) = 1 , т. е. при х = 0 функция непрерывна. ► 2 6 2 . /(х ) = | ◄ I Пусть хо Ф т», п 6 Z, — произвольно, (х„) — последовательность рациональных чисел, сходящаяся к хо, а (*„) — последовательность иррациональных чисел, сходящаяся к х0- Из равенств lim / ( x n) = lim sm 7 rxn = s in irxo ф 0 и lim f ( t n) = 0 вытекает, что lim /( х ) не П —► 0 0 П —*■ ОО п —-ОО X — X q существует, т. е. хо — точка разры ва второго рода. Если же хо = п, п £ Z, то |/( х 0) - /(х )| ^ | sin тгх| = | sill(7T7l + 7г(х - 7i))| = = | co s 7T7isin 7г(х — п )| = | sin w(x — хо)| < тг|х — Хо| < е, если |х — Хо| < — = 6. Следовательно, хо = п — точки непрерывности функции / . ► 2 6 3 . Доказать, что функция Римана /(* ) —, если х = —, где т и п — взаимно простые числа, если х — иррационально, разрывна при каждом рациональном значении х и непрерывна при каждом иррациональном значении х. А Пусть хо = ^ — рациональное, так что f ( x о) = Очевидно, последовательность / п р + 1 ^ ) рациональных чисел сходится к - = хо при гг —> оо. А так как lim / ( nf>+l j = ® ? I—7-00 \ n lim — = 0 , то каж дая рациональная точка - является точкой разрыва. П-+СО П<1 Ч Пусть с* — произвольное иррациональное число, а (х„) = j — произвольная после довательность рациональных чисел, сходящаяся к о. Тогда lim д„ = о о и 11 ОС Mm /( х „ ) = П т / = П т — = 0 = /(«)■ 71 —*■ о о qn А так как /( х ) = 0 при х иррациональном, то равенство lim f(x,„) = /( о ) = 0 справед- гг —* о о ливо для любой последовательности (х п) с произвольными членами, сходящейся к ирраци ональному числу с*. Таким образом, функция / непрерывна при каждом иррациональном значении х. ► 264. Исследовать на непрерывность функцию /(* ) ( ПХ = i "+1 \ 1 * 1 , если х — несократимая дробь —, гг ^ 1 , если х — иррациональное число. ◄ Пусть хо — рационально, т. е. хо = п ^ 1 . Согласно условию, /(х о ) = = /(хо), Ат 4 -1 Ф Поскольку х к = S = ю при к - оо , a Um /(* * ) = Ит^ , п + 1 - n ^ п + 1 то функция / терпит разрыв при всех рациональных значениях аргумента. Пусть теперь хо — иррационально, а ( ц ) = — произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к ю . Тогда lim |?гг*| = оо, lim |?г*| = с с и П т f ( x k) = lim т к = lim к —♦ о о к— * с о Пк _ _ ( |х| = / ( х 0), если хо ^ О, — X о — ' к — <х> п к + 1 к— * о о 1 + ; пк 1 хо если хо < 0 . ( 1 ) § 8. Непрерывность функций 109 Г Отсюда вытекает, что функция разрывна при отрицательных иррациональных знАченкях’ар- гумента. Если Хк —1• то при к —|• оо, причем Хк ^ 0 — иррациональные числа, то lim f ( x k) = lim |х*| = |х 01 = / ( х 0). к —*■ со к —*оо Таким образом, функция / непрерывна только при положительных иррациональных зна чениях аргумента. ► 2 6 5 . Пусть функция / непрерывна и ограничена в интервале ]хо, +оо[. Доказать,.что какое бы ни было число Т , найдется последовательность х„ —► +оо такая, что lim (/(х „ + Т) - f ( x „) ) = 0 . . . ' ! ◄ Пусть Т > 0 — произвольное. Рассмотрим разность / ( х + Т ) —/ ( х ) . Возможны Дёй - случая: 1 ) существует конечное число х' ф хо такое, что разность /( х + Т) — /( х ) сохраняет постоянный знак для всех х ^ х'; 2 ) для произвольного £ ^ хо существует х* > Е такое, что /(х * + Т ) — /(х * ) = 0. В первом случае последовательность ( f ( x ' + пТ)) монотонна, а поскольку она и ограни чена, то существует конечный предел lim f ( x ' + пТ) = I, так что lim ( Д х '+ (n + 1)Т ) — / ( x ' + 7 iT)) = I-г I = 9, причем х п = х' + п Т —. +оо при п —* оо. Во втором случае существует такая бесконечная последовательность (хп) значений х, х > хо, что х п —> +оо при п-^оо и f ( x n + Т) — f ( x n) = 0 , т. е. lim {f(x„ + Т) - /( х „ ) ) - 0 . • .л п— ► СО -• » р Случай, когда Т < 0 , заменой х + Т = 1 приводится к уже рассмотренному. ► 2 6 6 . Пусть р и ф — непрерывные периодические функции, определенные пр!и х <5 М и lim (¥>(х) — 0(ж)) = 0 . Доказать, что- р(х) = 0(х), х £ К. ◄ Пусть Т) — период функции р, а Т 2 — период ф у н к ц и и ^ . Предположим, ^ 0 (х), т. е. существует такая точка х = t, что I ¥>(<) - 0WI = М >0 . ( 1 ) Возьмем е > 0 произвольное, но меньшее, чем В силу непрерывности функции р в точке х = t для указанного £ > 0 существует 6 > 0 такое, что | ¥ > М ~ < p ( t + h ) | < £ , как только |Л,| < Ь. Согласно условию, существует такое натуральное число к, нто,|у>( 1 +., кТ2) — 0(1 + fcT2)| < е, а тогда Vm £ N имеем ( 2 ). t жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|