Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
Глава 2 Дифференциальное исчисление
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
| Глава 2
Дифференциальное исчисление функций одной переменной § 1. П роизводная явной функции 1 . 1 . Основные определения. О п ред елен и е 1 . Пусть дана функция / :]а, !>[ —► R. Разность А х = х — хо (х, Хо € ]а, 6 [) называется приращением аргумента в точке Хо ■ О щ эеделение 2 . Разность Af(xo) = f ( x о + А®) — f ( xо) называется приращением значений функции / в точке хо ■ О п ред елен и е 3. Если существует предел (конечный или бесконечный) lim М Д-°1 Дяг— fO Дх f'(xo), то он называется производной (конечной или бесконечной) функции f в точке хо- О п ред елен и е 4. Пределы (конечные или бесконечные) f'-(xo) lim Д.Т— ► — О A /Q o) A x / + ( х о ) = l i m ' Л х —+о А /(хо) Ах называются соответственно левой и правой производными функции / (конечной или бес конечной) в точке хо ■ Во всех этих определениях бесконечный предел понимается как один из символов +оо и л и — о о . О п ред елен и е 5. Если функция f терпит разрыв первого рода в точке хо, то выраже ния / 1 ( х 0 — 0 ) = l i m + * * ) Д и - » - 0 Д х / | ( х о + 0 ) = lim Да?—»+0 /(хо + Ах) - /(хо + 0 ) Ах называются соответственно левой и правой в расширенном смысле производными функ ции / в точке хо - Необходимо помнить, что во всех этих определениях приращение Ах стремится к нулю произвольно. Приращения Дх и Д /(хо) могут быть как сколько угодно большими, так и сколько угодно малыми. 1.2. П равила вычисления производных. Если функции / и у имеют конечные производные при х G }а, Ь[, то 1 ) (« 1 / + 029 )' = ce1f ' + a 2y', од, о 2 — постоянные; 2) (/f g + /V ; 3) ( f ) ' = g(x) ф 0. 1.3. Производная сложной функции. Если функции /:« !-► /(и ), <р : х >-* и = <р(х) имеют конечные производные /„ и <р'х , то {f( Значком внизу обозначена переменная, по которой вычисляется производная. |