Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
При каком выборе параметра h “кривая вероятности” У h - h2*2 >/5F '
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
| 110.
При каком выборе параметра h “кривая вероятности” У h - h2*2 >/5F ' h > 0, с I , h — Ь2<т2 имеет точки перегиба ±<т, —=е л/к < Судя по знаку второй производной /" (х ) = ^=(2Л2х2 — 1)е-л х , заключаем, что при х = ±-^=^ имеются перегибы (при переходе через эти точки вторая производная меняет знак). Поэтому требуемое значение h получим из равенства = (rj (ji = , <г > 0. ► 162 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 111. Пусть функция / дважды дифференцируема в промежутке а ^ х < +оо, причем: 1) / ( а ) = А > 0; 2) f ' {a) < 0; 3) /" ( х ) ^ 0 при х > а. Доказать, что уравнение / ( х ) = 0 имеет один и только один действительный корень в интервале ]а, +оо[. М По формуле конечных приращений Лагранжа при х > а получаем /(х ) = Л + ( х - а ) / '( £ i(r)), а < £i < х, (1) / '( х ) = / '( « ) + (х - a) f " { h ( x ) ) , a < Z 2 < x . (2) Из условия /"(£ 2) Sj 0 следует, что f '( x) < 0 при x > а, поэтому функция / убывает на интервале ]а, +оо[. Из формул (1) и (2) находим f ( x ) — Л + (х — « ) /'( « ) + (х - а ) ( 6 - « ) / " ( 6 ( 6 ) ) - (3) В силу условий / '( а ) < 0, / ” (^ 2 (^ 1 )) ^ 0, из формулы (3) следует, что при достаточно большом хо > а значение функции отрицательно. Поскольку функция / непрерывна на сегменте [а, хо], то по теореме Коши о промежуточных значениях существует такое xi € ]«, хо[, что / ( х 1 ) = 0. Функция / не может обратиться в нуль ни в какой иной точке, отличной от x i , так как убывает на интервале ]а, +оо[. ► 112. Ф у н к ц и я / называется выпуклой снизу (сверху) на интервале ]а, 6[, если для любых точек xi и I 2 из этого интервала и произвольных чисел Ai и Аг, Ai > 0, А 2 > 0, Ai + А 2 = 1, имеет место неравенство / ( А 1 Х 1 + А2х2) < A i/(x i) + А2/ ( х 2) (или соответственно противоположное неравенство / ( Aixi + А2х2) > A i/(x i) + А2/ ( х 2)). Доказать, что функция / выпукла снизу на ]а, Ь[, если / ” (х) > 0 при а < х < 6, и / выпукла сверху на ] а , 6[, если / ” (х) < 0 при а < х < Ъ. ◄ Пусть /" ( х ) > 0 , х б]а, 6[, и пусть Ai > 0 и Аг > 0 — произвольные числа, удовлетво ряющие условию Ai + А2 = 1. Если xi и 1 2 — любые точки интервала ]а, £>[ и xi < Х 2 , то точка А 1 Х 1 + А2 х 2, очевидно, лежит между ними. По формуле Л агранж а имеем / ( Aixi + А2х2) - / ( x i ) = А2( х 2 - x i ) / '( 6 ) , (!) где xi < 6 < Aixi + А 2 х 2, и / ( х 2) - / ( Aixi + А2х2) = A i ( x 2 - x i ) / '( 6 ) , (2) где Aixi + А2 х 2 < £2 < Х 2 ■ Умножая левую и правую части равенств (2) и (1) на Аг и Ai соответственно и вычитая из первого полученного равенства второе, находим А 2 / ( х 2 ) + A i / ( x i ) = / ( А 1 Х 1 + А 2 х 2 ) + A i жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|