Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- § б. Возрастание и убывание функции. Неравенства 159 Для доказательства последнего обозначим ^ = ( и рассмотрим функцию 1^ р
- 1 0 6 . Доказать, что при х > 0 справедливо неравенство Ю ◄ Если
- 1 0 7 . Доказать неравенства: а) ха — 1 > cv(x — 1) при а ^ 2, х > 1; б) у/х
- 235. _ J i i 2. > 0 при х > 0. 236.
- § 7. Направление выпуклости графика функции 161 252. f : t i U + t | 2 г ф V( t2+1)3’
| Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1 0 4 - Доказать, что если: 1) функции <р и ф w-кратно дифференцируемы; 2) ip(k^{xо) = ф ^ { х о), к = 0, и — 1; 3) 9 (’^(х) > ф^п\ х ) при х > хо, то справедливо неравенство <р(х) > ф(х) при х > XQ. ◄ Применим к функции и '"-1' = < теорему Лагранжа о среднем на сегменте [хо, х]. Имеем м(" _1)(х) — и("-1)(х0) = м^п)(£)(х — хо), откуда, в силу условий 2) 3), находим i / n_1,(x) > 0, х > хо. Аналогично доказываем, что «(п_2)(х) > 0 и т. д., и(х) > 0, т. е. у?(х) > ф(х) при х > хо. ► 1 0 5 . Доказать следующие неравенства: а) в) д) ех > 1 + х при х ф 0; х3 х ------< sin х < х при х > 0; 6 ± i (х“ + г/“ ) а > (х^ + уР) при X б) х — — < 1п(1 + х) < х при х > 0; 2 з г) tg х > х + — при 0 < х < —; > 0, у > 0 и 0 < а < /3. •4 а) Обозначив <р(х) = ех , Ф(х) = 1 + х и замечая, что у>( 0 ) = ^ (0 ), <р'(х) > ф'(х) при х > 0 , на основании предыдущего примера заключаем, что у>(х) > ф(х) при х > 0 . Полагая х = — t при х 0 , получаем ¥>(<) = е ~ \ ф({) = 1 - t, t ^ 0. Поскольку 9 ( 0 ) = - 0 ( 0 ) , Ф'(1) при t > 0, то ip(t) > ф{1) при t > 0, т. е. ех > 1 + х при х < 0. б) Обозначим х2 <р(х) = X - — , ф(х) = In(1 + х), 7](х) = X, X ^ 0. Очевидно, 9 ( 0 ) = yi(0) — »/(0), ¥5 (х) < Ф'(х) < у'{х) при х > 0 , поэтому, на основании предыдущего примера, имеем <р(х) < ф(х) < 7/(х) при X > 0. в) Пользуясь обозначениями х3 ys(x) = X--- —, ф(х) = sinx, 7 j ( x ) =x , имеем <р(0) = ф{ 0 ) = »;( 0 ), 9 '(х) < ф'(х) < ?/'(х) при х > 0 и х ф 2кж. На основании предыдущего примера справедливы неравенства 9 (х) < ф(х) < 7)(х), х > 0, г ф 2кж, к € N. При х = 2кж имеем неравенства 2кж ( 1 — J < 0 < 2 А.- 7 Г, т. е. <р(2кж) < ф(2кж) < 7}{2кж), к S N. Таким образом, при х > 0 выполняются неравенства р(х) < ф(х) < 7)(х). г) Обозначим X^ 7Г 9 (x) = tgx, i/H*) = х + у > 0 ^ х < 2 ' Очевидно, <^(0) = 0(0), ifi'(x) > ф'(х) при 0 < х < ^ (так как р' {х) = 1 + tg2x, ф'{х) — 1 + х 2 , tg2x > х2 при 0 < х < f ) . Пользуясь предыдущим примером, можем утверждать, что 9 (х) > ф(х) при 0 < х < I I д) Неравенство (ха + уа) а > (х13 + уй)£ при любых фиксированных х > 0, у > 0 и всех «, 0 < а < /3, эквивалентно неравенству + 1 1 а > /3 + 1 1 в X У X У § б. Возрастание и убывание функции. Неравенства 159 Для доказательства последнего обозначим ^ = ( и рассмотрим функцию 1^ р : Z t-> (tZ + 1) -г , 0 < z < +оо. Ее производная / tz In t ln(l + tz) 1 ^ (1 + <*) г p(z ) ln (tZY ‘ z 2(\ + t*) (l + f*)i+‘‘ отрицательна при 0 < z < + oo, поэтому функция p убывает; следовательно, р(п) > ^(/J) при О < « < / ) < + о о , т . е. справедливо неравенство (х а + уа ) “ > (х13 + у13) при х > О, у > О, 0 < а < (I, что и требовалось доказать. ► 1 0 6 . Доказать, что при х > 0 справедливо неравенство Ю'<*<ИП- ◄ Если неравенство выполняется, то, логарифмируя его, придем к неравенству — j- г < I n ( l + i ) < х + 1 \ х S х которое требуется доказать. Обозначая 1 = t, t > 0, получаем неравенство < 1п(1 + 1) <1. Правая его часть доказана при решении примера 105; докажем теперь левую часть неравен ства. Обозначим p(t) = y')(t) — ln(l + t) и рассмотрим функции р и ф при t ^ 0. Очевидно, у>(0) = -0(0), p'(t) = ( 7 ^ 2 < Ф'(*) = 7^ 7 при i > 0. Следовательно, на основании неравенства, доказанного в примере 104, можно утверждать, что p(t) < при t > 0, т. е. < In (l + i-) при х > 0, что и требовалось доказать. ► 1 0 7 . Доказать неравенства: а) ха — 1 > cv(x — 1) при а ^ 2, х > 1; б) у/х — у/а < у/х — а при п > 1, х > а > 0 ; в) 1 + 2 In ж ^ х 2 при х > 0. 4 а) Обозначив р(х) = хс> — 1, ф(х) = а(х — 1), имеем: ^(1) = ф(1) = 0, р'(х) > ф'(х) при а ^ 2, х > 1. На основании неравенства, доказанного в примере 104, р (х) > ф(х) при а ^ 2, х > 1. б) Аналогично доказательству а) имеем при n > 1, х > о > 0 : р(х) = у/х — у/a. ф{х) = у/х — а, р(а) = ф(а) = 0, р' (х ) < Ф'(х), поэтому р ( х ) < ф(х). в) Обозначив р(х) = 1 + 21пх, ф(х) = х2, замечаем, что при х = 1 значения функций р и ф совпадают, а при х > 1 выполнено неравенство р'(х) < ф'(х), поэтому на основании примера 104 справедливо неравенство у>(х) < ф(х) при х > 1. Пусть 0 < х < 1. Тогда, полагая t = 1 < t < + 00 , имеем р(х) = 1 — 21п< = ¥>i(t), ф{х) = ^ = ф\ (<), y>i(l) = -0i(l) = 1, откуда pi(t) < (4) при 1 < t < + 00 , т. е. р(х) < ф(х) при 0 < х < 1. Приняв еще во внимание очевидное равенство у>(1) = 0(1) > приходим к выводу о том, что р(х) ^ Ф(х) Vx > О, что и требовалось доказать. ► Упражнения для самостоятельной работы Найти интервалы возрастания следующих функций: 212 . / : х ■— ► arccos х-j ■ 213. / : i h \х\ае~*2, а > 0. 214. / + s i n X 160 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 215. / : х h-* arth 216. / : X -■ У, x = tin t, у = 217. f 218. / 219. / 220. / 223. / 224. / 225. / 226. / 228. / ,in (*+ t ) ’ X —* Y , x = t 3 + 1, у = ехр(л/ 2 тг 1 - sin t 2 + cost2), 0 ^ t ^ | . X —► У, x = a(t — sinf), у = a(l — cost), 0 ^ t ^ 2 k . X —► Y , 2 : = asin 3 t, у = 4cos 3 t, 0 ^ t ^ 2 тг. 9 ► X V2 + l ' 221. / : 1 y>e Y , x = pcosip, у — psin = T x r , > °- 222. / : ip 1 v ! + ¥> ’ ■ sm X -» У, x = pcos(4p - p3), y = psin(4p - p3). X - > Y , x3 + y 3 - 3xy = 0 (y >0, f — дифференцируемая функция). Х - > У , x2y2 - x 3 + y 3 = 0 . 227. / :X — У, 2 : + у = ze3*. ■ X —* У , х + у — cos(x + 2у) = 0. Исследовать на монотонность следующие функции: 229. / : х - ( 2 + х)1п(1 + х ) - 2 х . 230. / : х * х ^ 1 . 231. / : X — У, * = sint - t + V- V = 4t 5 - 5t 4 + У 232. р = ip tg ip, ip > 0 (p, ip — полярные координаты). 233. Являются ли возрастающими на отрезке [ 1 , 2] функции: а) / : х i-+ [х]; б) / : i ь . (* 1 )[х]; в) / : * И 1 , если х € Q? 234. Доказать, что сумма и произведение положительных функций, одна из которых монотонно возрастает, а другая не убывает, есть функция монотонно возрастающая. Доказать следующие неравенства: 235. _ J i i 2. > 0 при х > 0. 236. si л v % / \ •* ' a-v ‘“Т 1 и » -3 T O l b ( l + i ) + l n 2 (1 + j ) “ > 0 прИ 2 : > 0 . 3 „5 _4n—1 . -3 _5 237. x - ^ + f r - . .. - ^ rIT 7 < s ma: < 3 : - f T- + | r - ... + 4n —2 , 2 „ 4 “ (4n—3)! 7 , x > 0 , »j g 238. l - | r + ^r - . .. - ( ^ ^ 0 0 3 x ^ 1 - 1 7 + ... + % - , n € N. 239. ex > 1 + x + + . .. + f~ , x > 0 , n g N. 240. sinx ^ - x ) , 0 ^ x ^ x. 241. cosx ^ 1 - |x| ^ f . 242. a) tg x ^ -ft— — при 0 < x < f ; 6 ) tgx ^ -тг— при f ^ x < | . 2 X 2~X 243. !- < a + - l ) x“- 2, x > 1, a ^ 2. 244. sin x + tg x > 2x , 0 < x < f . 245. x* < 1 + при 1 < x < e. 246. •isJss. > 0 , |x| < ж. 247. Пусть a = (ai, < 12 , тогда i n), b = (fci, 6 2, . . . , 6 „), c — векторы из £ n . Доказать, что > 0 , где А = а 2, В = Ь2, С = с2, Е = (а, с), F = (а, Ь), G = (Ь, с). 248. Пусть / дифференцируема на [а, 4], / ( а ) = 0 и ЗА g R такое, что | / ,(х)| ^ Х |/(х )| на [о, 6]. Доказать, что / ( х) = 0 Vx 6 [a, 4]. ___ 249. Пусть х, у € Rn . Будем считать х > у (х < у), если х* > ук (хк < ук) V& = 1, и (та кое отношение между некоторыми векторами называется их частичным упорядочиванием). В связи с данным отношением будем называть вектор-функцию х : ( ь » (xi(t), хг (t), .. • , *n(t))> t g [a, 4], монотонно возрастающей (убывающей) на интервале Т С [о, 4], если Vti, t 2 € Т из (ti > t2) (х(П) > x(t2)) (x(ti) < x(t2)). Показать, что вектор-функция x : 1 1 -+ (sint, cost, te 1 ) возрастает на jo, Для вектор— функции f найти интервалы монотонного возрастания (убывания), если. 250. f : t (2| cosf| + | cos 2<| + 4 1, ^ sin 4< + l ) . 251. f : ^ ( £ , 2 - t + f - f ) . § 7. Направление выпуклости графика функции 161 252. f : t i U + t | 2 г ф V( t2+1)3’ 253. Матричную функцию Л : t н-. (а,_,(<)) (г, j = 1, и) будем называть монотонно возрастающей (убывающей) на интервале ]а, 5[, если Vli, f2 €]а, i[ из ( 12) =>• (A(ti) > Л(<2)) (A(*i) < Л(<г))- Для матриц Л и В считаем А > В (Л < В), если aij > (а,у < 6^), у = 1, п. Найти интервалы монотонности для следующих матричных функций: а) Л : < I в) Л : 1 1 —► 1<1 Г + ЗС + 151 \ ,, , , ( е - 2 V tin t \ ) ' } I sh2l ch2f [t] + t ) ’ sin t + | sin t| cos t + | cos t| t + arcsin t2 t sin t жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|