( /:х н н .|х |,
— 1 ^ х ^ 1;
<р : х
sin
х
,
0 ^
^
•
192.
Для вектор-функции
f
:
ж
н-> (ж sin ж,
xcosx), х
£ [О,
, найти такое £ € ]0, | [, что
f ( f ) - f (°) = A jf'(€),
A e к.
193.
Доказать, что если / € C<’n+1)([o, 6]), то Э£ б]а, Ь[ такое, что
f(x) ~ Ь”ЛХ)
=
где
W , n + l ( l )
= (
X
—
Х о )(х
—
X i )
... (ж —
Х т ) ,
О
=
Жо
<
Х\
<
■ ■
• <
Х т
— Ь,
т
Lm(x) = £
u' r ±lS x)— г.
j-Q
m + l v J'K
I'
У к а з а н и е . В в ес т и в р а сс м о тр е н и е ф у н кц и ю z : х ь-* f ( x ) — Z/m ( r ) “ k ( x ) w m + i ( x ) , где A;(x)
в ы б и р а е т с я и з у с л о в и я z ( x ) — 0.
194. Пусть вектор-функция f : К —►
Е п , п ^ 3, непрерывно дифференцируема на сег
менте [а, 6], а < Ь. Всегда ли можно найти такое £ £ ]а, 6[, чтобы вектор f (6) — f(a) был
коллииеарен f'(£)?
Рассмотреть пример
f(x) =
( c o s ж,
sins,
ж ) ,
ж
£
[0,
тг].
195.
Справедлива ли теорема Лагранжа для дифференцируемой на сегменте [а, 6] функ
ции / : ж I— f i(x) + i f 2(ж), где г — У^Т?
Рассмотреть пример
/ : I и cos ж + i sin ж,
х £
196. Пусть f — дифференцируемая на интервале ]а, Ь[ вектор-функция такая, что f'(x) =
О на ]а, 6[. Что можно сказать о функции f ?
197. Пусть А — дифференцируемая на интервале ]а, Ь[ матричная функция такая, что
Л'(ж) = 0, ж б]а, Ъ[. Что можно сказать о функции А ?
198. Пусть
if : I и I
-
где
f
—
дважды дифференцируемая на [а,
6]
функция,
причем /'(ж ) ф 0. Для данного в и функции / найти то множество X С [а, Ь], для которого
выполняется неравенство
1Ж ) - v(y)\ ^ 0\х - у\,
х , у & Х ,
если:
а
) / : !■ и
1
- cos ж , # = | , ж б [ о , | ] ;
б) / : ж >-►
ж t g x — 1 , 0 = ^ , ж £ [ о , | ] .
199.
П у с т ь
v
:
f
г - / ( ж )
- /(f) -
/ ' ( f ) ( ж -
f) - ... -
/ (n)( t ) ^ f ^
-
А ( ж
-
t f
,
t
£
[а,
ж ] ,
p
>
0 ,
A = c o n s t ; ф у н к ц и я
f
и м е е т ( n + 1 ) - ю п р о и з в о д н у ю н а [ a , ж ] . Д о к а з а т ь , ч т о V p > 0 Э £ ё ] а , ж[
и
такое
А ,
что
/(ж ) = ± ^ 1 ( ж - а)к + ( f E f ) "
к=0
4
'
(формула Тейлора с остаточным членом в
о б щ е й ф о р м е ) .
200.
Пусть матричная функция
А :
ж е - *
А{
ж ) н е п р е р ы в н о д и ф ф е р е н ц и р у е м а
на
с е г м е н т е
[а, 6]
и
|Л(ж)| =
1аи ( а:)12’ где ач ( х )
элементы матрицы Л( ж). Тогда справедлива
оценка
| А ( Ь ) - Л ( а Ж m a x | Л ' ( ж ) | ( 6 - а ) .
а£х<Ь
Доказать это.
§ 5. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
15S
201. Доказать, что если вектор-функции f и g непрерывны на сегменте [a, i] и диффе
ренцируемы в интервале
]а, Ь[,
то 3£ €]а,
Ь[
такое, что
( f ( J ) - f ( a ) , g '( 0 ) = (g (b )-g (a ), f '( 0 ) .
202. Пусть функции / и у вместе со своими производными до n -го порядка включитель
но непрерывны на сегменте [<г, 6] и имеют производную (к + 1)-го порядка в интервале ]а, Ь[.
Тогда Э£ €]а, Ь[ такое, что
(я{Ь) - t
- «)*) /(п+1)(0 =
( . т - ±
- «)*)
Доказать это.
Указание. Рассмотреть функцию ^ :
1
ь* <р(х), где
ip(x) = R n(b)rn{x) - rn(b)Rn(x),
Rn(x) = д(Ь) - ^ 2 3 ^
(x ~ a)k>
k — 1
k s
l
203. Пусть: 1) / € C(2J(] — oo, +oo[);
2)
Уж,
h
6 R выполняется тождество
■■ ■
f ( x + h) -
/(ж)
= h f ' ( x + 0h);
3)
f " ( x )
ф 0. Доказать, что: а) если в =
в(х),
то
в(х)
=
б) если
|
0
'(ж)|
< +оо
и
в
=
0 ( h ) ,
то lim
0(h)
= ^
л—о
2
204. Пусть
i
i
1
(ж + 1 ) « — I " = £-(ж
+ 0 ( х ) ) ~ 1 + п ,
х
> 0,
п >
1.
Найти предельные значения
0(х)
при
х
—►
+0 и а: —> +оо.
205. Пусть функции f u g дифференцируемы на сегменте [а, Ь], причем д(х) ф 0, д'(к) ф
0. Тогда 3£ €]«, 6[ такое, что
1
<Р(«)
<р(Ь)
1
д ( Ь ) - 9 ( а )
?(«)
9(b)
~ 9'(<)
9 '(0
з'(0
Показать это.
206. Показать, что производная функции
/ : ж к-» {
х 2
sin ( ! In ж),
ж^О ,
I 0,
г = 0,
непрерывна при ж ^ О, однако функция £, удовлетворяющая соотношению /(ж) = /'(£ (ж))ж,
О < £(ж) < ж, является разрывной.
207. Доказать, что если / ' непрерывна и монотонна на сегменте [О, А], причем /(0 ) =,0,
то функция £ непрерывна на этом сегменте (см. пример 206).
208. Доказать неравенства:
а) |ж - у\ ^ (ж2 In ж - у1 In j>| ^ Зе|ж - у\ 'ix, у е [1, е];
б) jx2 arctg ж - у2 arctgj/l ^ 4 р |ж -
'ix, у € [0, 1].
209. Доказать неравенства:
а )
б)
s i n .г —s i n у
х-у
х - у
у
- cos у j ^ \ \ х - у\ Уж, у 6] -
00
, +оо[;
«S £|ж - у\ i x ,
у
€
[1, +оо[.
210. Доказать, что последовательные приближения, определяемые формулой
156
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
ж
„ +1
= ее*",
хо = 1,
сходятся к корню уравнения ж = ее*, если 0 < ее < 1.
211. Доказать, что последовательные приближения, определяемые формулой
Х п+1 = ЛХ„ + I,
Хо = (1, 1)Т,
I = (1, 0)т ,
где А
- ( *! ) •
сходятся в Е2 к решению уравнения X = ЛХ + 1, если е2 < | .
§ 6. Возрастание и убывание функции.
Н еравенства
6.1. Возрастание и убывание функции.
О п ред елен и е. Функция / называется возрастающей (убывающей) на сегменте [a, ft],
если / ( жг) > /(ж i) ( или соответственно /(жг) < /(* i) ) Vzi, жг € [о, ft] и xi < ж2.
6.2. Критерий возрастания (убывания) функции.
Для того чтобы имеющая конечную или бесконечную на промежутке X производную
функция / возрастала (убывала) на нем, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись усло
вия: a) f ' ( x ) ^ 0 (/'(ж ) ^ 0); б) /'(ж ) не обращается в нуль ни на каком сегменте [», /?],
составляющем часть промежутка Х([а, ji\ С X ).
Определить промежутки возрастания и убывания следующих функций:
9 8 . / : ж н-
■4 Поскольку /'(ж) = х2~*(2 —
ж
In 2) при ж € ]
0 ,
^ [, то на интервале ]
0 ,
~ [ функция
/ возрастает. В интервалах ] — оо, 0[ и
+сх>[ производная функции / отрицательна,
следовательно, / убывает на каждом из этих интервалов. ►
9 9 .
/ :
i n j
( у — -J- sm(ln х) j , если ж > 0 и /(0 ) = 0.
■4 Дифференцируя / , получаем
/ ' ( * ) =
\ j \
+ v ^ s i n ( i n ж + j ) ,
ж >
0 ,
откуда
/ ' ( ж )
> 0, если sin (in
ж
+
j )
> —
Решая последнее неравенство, находим интерва
лы возрастания функции / :
— •~ж-{-2кп
—
~ 7Г Ч 2 Al 7Г
е 12
, ei2
В интервалах
—
i r + 2 k i r
i^7T+2fcir
е 12
, Р.12
функция / убывает, поскольку на них /'(ж ) < 0, к € Ъ. ►
1 0 0 .
Доказать, что функция
/
: ж н ^1
+
возрастает на интервалах
]
— оо, —1[ и
]0, +оо[.
■4 Покажем, что в указанных интервалах производная функции положительна. При ж > 0
f '( x) = /(ж) ^1п(ж + 1) - In ж -
•
Применив формулу конечных приращений к функции ж i—►
In ж на сегменте [ж, ж + 1], получим
157
в силу чего
f ' ( x ) = f ( x )
>
0
при
х >
0
.
Далее, пусть —оо <
х < —
1. Тогда
/ '
(х) = f { x ) (in(i
-
1
) - In
t -
) ,
где
t — —x,
1
<
t
<
4
-
00
. По формуле Лагранжа
ln(f —
1
) — In
t
= —
§ 6. Возрастание и убывание функции. Неравенства,
где
t
-
1
<
6
< t ,
поэтому
f ' ( x )
=
f ( - t ) ( ^ -
> ° при
1
<
t
< +oo, или
f ' ( x
) >
0
при
—
00
<
x
< —
1
. ►
1 0 1
.
Обязательно ли производная монотонной функции является монотонной?
◄ Не обязательно. Функция / :
х
2х +
sin
х
монотонно возрастает на всей числовой
прямой, поскольку ее производная / ' :
х
н* 2+cos
х
положительна Vx
6
R. В то же время сама
производная, рассматриваемая на интервале ]—оо, +оо[, очевидно, не является монотонной. ►
1 0 2 .
Доказать, что если
<р
— монотонно возрастающая дифференцируемая функция и
\ f ( x ) \
^
Ifi'(x)
при
X
^ Яо, то
| /(х )
— f ( x
о)| ^
1
р(х) — р ( х 0)
при
X
^
х 0.
Дать геометрическую интерпретацию этого факта.
^ Поскольку функции / и
ip
удовлетворяют всем условиям теоремы Коши о среднем
значении, то справедливо равенство
f ( x ) - f ( x 0)
f ' (c)
V>(*) — ¥>(®о)
¥>'(с)
х 0 < с < х,
откуда |
f ( x )
- / ( х 0)| ^ |
<р(х)
-
<р{х
о)| =
<р(х)
-
<р(хо).
Геометрически это неравенство означает, что приращение монотонно возрастающей диф
ференцируемой функции будет не меньше приращения всякой другой дифференцируемой
функции с меньшим или равным абсолютным значением производной. ►
1 0 3 .
Пусть функция / непрерывна в промежутке
а
^
х
<
+оо и, сверх того,
f ' ( x )
>
к
>
О при
х > а,
где
к
— постоянная. Доказать, что если /(а ) <
0
, то уравнение /(х ) =
0
имеет
/(а) Г
один и только один действительный корень
в
интервале
а, а
-----
у-ь
.
к
■4
Применяя теорему Лагранжа к функции / на сегменте а,
а
+
, имеем
, L
H
. «
-
»
/
'
-
ч
И
Из условия
f ' ( x )
>
к >
0
находим
f ( a +
- /(«) > 1/(<*)1
О <
в <
1
.
откуда
Функция / на концах сегмента
а, а +
принимает значения разных знаков, поэтому,
по теореме Коши о промежуточных значениях, существует такая точка £ £
о, о + !/(»)!
к
что /(£) =
0
. Докажем, что она единственная на этом интервале. Если допустить, что на
нем найдется такая точка £i, что /(£ i) =
0
, то по теореме Ролля на интервале ]£, £i[ (если
$1
>
£)
или на интервале ]£i, £[ (если
< £) найдется такая точка
что
f ' ( &)
=
0
, а это
противоречит условию / '( х )
> к >
0
при
х
>
а.
►
158
Достарыңызбен бөлісу: |