Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

§ 9. Формула Тейлора
175
М Пользуясь разложением II, имеем
. , . 
. 
. 
sin
3
X 
, . 
4
\
sm(sm х) = sin х ------------Ь o(sm х) =
=
1
1
~ 3!" + °(Х )
i ( i
3
+ о(х4)) + о (sin
4
х) = х - ^— + о(х4). ►
О 
О
133.
tg х 
до члена с х
5.
^ Поскольку функция tg х нечетная, то ее разложение в окрестности точки х =
0
имеет
вид
tgx = Ах + .Вх
3
+ Схь + о(х6), 
х —►
0, 
(
1
)
где Д, В , С — коэффициенты. Записывая (1) в виде
sin х = (Дх + В х 3 + Cx s + о(х6)) cos х 
и используя разложения II и III, получим
х ~
+ 1 г+ 
°(х6) = A
x
+ (
b
~
j
)
x
3 + (
c
+ ^ ~
j
) x5 +
1 “*■
°-
Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, находим
Л - . ,
В - 1 .
с - ± .
Таким образом,
%з 
2
tg х =
X
+ — + — X
5
+ о(х6), 
х -+ 
0
. ►
134.
Найти три члена разложения функции / : х i—
►
л/х по целым положительным 
степеням разности х — 
1
.
Ц Воспользовавшись формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, получим 
/(х) = /(1) + /'(1)(х - 1) + 
^ р - ( х -
 !)2 + 
°((х ~
 1)2). 1 — !•
Затем находим
^
= 1’ 
2 ^ ’ т
=
Ь  
= - 4 ^ 7 2 - Г ( 1 ) = 4
и, подставив эти значения в полученную формулу, окончательно имеем
/(х ) =
1
+ i ( x -
1
) - i ( x - l
)2
+ о((х - I)2), 
х —«• 
1
. ►
1 3 5 . Функцию / : х i—►
ach —, a > 0, в окрестности точки х =
0
приближенно заменить
a
параболой второго порядка.
◄ Поскольку
ch^ = H e“ +e~“) = i + ^ +o(*2)’ x _ f °’
то f ( x )  = “ +
+ °(я2), * -*■ 
0
. ►
136.
Функцию / : х ь-►
х
2
— х, х > 0, разложить по целым положительным
.
1
1 
степеням дроби — до члена с — .
X 
хл 
_____
◄ Преобразовывая выражение VI + х
2
— х и пользуясь разложением IV, получаем
X —> +оо. ►

1 3 7 .
Функцию / : х I-»- 
, х g] — 
оо, +оо[, 
разложить по формуле Тейлора с
,5 + S
остаточным членом в форме Лагранжа. Разложение вести в окрестности точки i
0
= 1 и 
найти первые три члена разложения.
•4 Искомое разложение имеет вид
176 
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
/ ( * ) =
т
+ / '( ! ) ( * - 1) +
^ р - ( х
- I ) 2 + O l + l ( £ _ l ) ) (1 _ 1}з; 
о
Найдем значение функции и ее производных в точке х =
1 . Имеем 
/ (
1
) =
1
. 
/ ' (
1
) =
/ " (
1
) = - 7 -
Таким образом,
< в < 
1
.
д ,
) . 1
- « ( . - в - - , , - , у
1 3 8 .
Пусть
/(* + ft) = /(х ) + ft/'(x ) + ... + ^ / (п)(х + 0ft),
(
1
)
где 
0
< в < 1, причем /^ ’
1
+
1
Дх) ф 
0
. Доказать, что lim в = —-— .
h— О 
11 +
1
◄ Поскольку / ( п+
1
Дх) существует, то по формуле Маклорена с остаточным членом в 
форме Пеано запишем
L 7 1
Г П + 1
f{x + ft) = f i x ) + ft/'(x) + . .. + ~ f ^ ( x ) +
7
~
7
T
m
•
?м 
(n -f l j!
f (n+1\ x ) + o(hn+1), 
f t^ O . 
(
2
)
Вычитая из равенства (
1
) равенство (
2
) и сокращая на 
имеем
/ t ”>(x + flft)-/(">Q r) 
/("+»> (х) 
o(ft)
/1
n + l 
h 1
откуда
_ f / (n+
1
)(x) | 
0
(A)^ ^ " > ( x +
0
f t ) - / ^ ( x ^
1
е =
Переходя к пределу при ft —. О в этом выражении и принимая во внимание, что Д
п+1
Дх) ф О, 
находим lim 
в 
= —
. 
►
h
—.0
п+*
1 3 9 .
Пусть /
g
6
’(
2
)([
0
, 1]) и / (
0
) = /(1 ) 
=
0
, причем 
ЗЛ 
> 
0
: |/" (х )| ^ A Vx g ]
0
, 1[. 
Доказать, что |/'(х ) | < у Vl е t°. 1]-
◄ По формуле Тейлора имеем
/ (
0
) = /(х ) - х /'(х ) + / " ( f i ) y ,
0
< & < х < 
1
;
/ (
1
) = f{x) + / '( х
)(1
- х) + / " ( & ) £ - ^ ,
0
< х < 
6
< 
1
,
/'( * ) = \  ( / " (
6 ) * 2
- / " ( б ) ^ Ц ^ ) , 
0
< х < 
1
.
Оценивая это равенство по абсолютной величине, получаем
|/ '( х ) К ^ (
2
х
2
-
2
х +
1
), 
0
< х <
1
.
Но так как 0 ^ 2х
2
— 2х + 1 ^ 1 при 
0
^ х ^ 1, то |/'(х )| ^ у , что и требовалось доказать. ►
140.
Пусть 
/
— дважды дифференцируемая на 
] 
— со, +оо[ 
функция и
Мк = 
sup 
|/(*Д х)| < +оо, 
к = 0, 2.
—
ОО <х<-+- оо
откуда

§ 9. Формула Тейлора
177
Доказать неравенство М? ^
2
А/о М2. 
< По формуле Тейлора имеем
f(xo) = f (x) + f ' ( x ) ( x о - х) + /"(£ )
откуда
1
/ Ы
К
1
/(* )| + |/ '( * )
11
* о - * | +
|/"(01
|lQ — х\
2 
< Afo + M iy + М
2
 —
|ю — ®|-
Поскольку Мо + Л/
1
у + \М-
2
у2 ^
0
при всех у, то А
/,2
2
А/о А/г. ►
1 4 1 .
С помощью формулы Тейлора приближенно вычислить:
‘ a) sin 18°; б) arctg 
0
,
8
.
< а) Согласно формуле Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа,
. 
7Г 
7Г 
1 
7Г 
1 
7Г° 
„
sin 18 = sin — = -------- - —- 4------ - —г + R
t
,
10 
10
6
103
120
105
’
где |Дг| < тг • 
75
т • Итак,
sin 18° к — 
10
[0
\
60
600 
12
• 
10
*
: 0,314159
(  
9,869604 
(9,869604)2 \
\
600 
+
12
105
)
0,314159 (1 - 0,016449 + 0,000079) и 0,3^9017.
б) Применяя формулу Тейлора, имеем при хо = 1
arctg 0,8 = arctg (хо - 0,2) и arctg хо — (arctg х )'|х=Хо • 0,2 + i • 0,04 (arctg х )"|х=хо —
- i • 0,008 (arctg x )"'|x=Xo и j -  0,1 - 0,01 - 0,00066 и 0,67474.
Поскольку (arctg x)(4)|x=Xo = 0, (arctg x)(5)|x=* = 24 
< 
12
ПРИ 0,8 < £ < 1, то по
формуле остаточного члена в форме Лагранжа получаем оценку погрешности
|й | < ^ ( 0 ,2
)5
< 3,2 10-5. ►
1 4 2 .
Вычислить:
a) cos 9° с точностью до 10 5; б) л/б с точностью до 10~4.
◄ а) Определим число членов разложения функции косинуса по формуле Маклорена для 
достижения заданной точности. Его можно получить из оценки остаточного члена в форме 
Лагранжа. Так как 
0
< £ = в ^  < 
j j
, х =
то
|Й
2
п+г
1
=
откуда it ^ 2. Таким образом 
cos 9
(С08Х)<2П+2)|Х=^ / J
^ 2n+2
(
2
« +
2
)! 
(20
)
, 2 п + 2
<
202
п
+2(2
п
 + 2)!
< 
10
'
б) Функцию / : х и-» у/х, х ^
0
, разложим по формуле Тейлора в окрестности точки 
хо = 4:
V i = 2 + i ( x - 4 ) - ^ ( x - 4 ) 2 + ^ ( x - 4 ) 3 + . . . +
+ ( 
1
\ i !
2
3»~i 
3
^" ( д - 4 ) п + Дп+
1
(х), п = 
2
, 3, . ... , •
где
(2 г а — 1 ) ! ! ( — 1 ) п ( х — 4 ) га+д 
” + U '
(п +
1 ) ! 2 п + 1 ( 4
+ $(х — 
4 ) ) " + о
.5
’
О < в < 
1
.

178
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Полагая в разложении х = 5, получаем
^
“
2
+ i _ ^ + 5 l 2 + ••• + ( _ 1 ) " 
1
п
!*2®»5’’ + Д"+1(5)'
Из условия
|Я
п+1
(5)1 ^
(
2
-
1
)П
(н +
1
)! 
23п+2
< КГ
находим, что п ^ 4. Тогда из (1) следует
,/Е ~ 2 + - - —  + —-------\т = 2,236022 ... . ►
4 
64 
512 
2
14
О)
Используя разложения I—V, найти следующие пределы:
1 4 3 .
lim
X 
—
*0
◄ Применяя разложения I и III, получаем
lim
х
—»0
cos х — exp
X
4
lim —-
Х - .0 i
4
1
1 4 4 .
lim ( 
\ /
хв
-f- x 5 — 
x e 
— x5).
X
—►
+ о о
◄ Преобразовав выражение, находящееся под знаком предела, и применив разложение 
IV, имеем

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: