A1"
й
35.
f
X>
dx.
<
.
1
в t
o
12
у И
50 V
1 2
~ И
l + 5 5 x
2
2 U 1
*■
+ c = -
6 6
ii« - < 1 - 5* >“ +<:.►
◄ Пусть
л/1
-
X
2
=
1,
тогда
f
1
= —
dt и
-
71—* 3
/ T f e ? dx = - J ( l - 2 t 2 + t4) dt = - ( t -
+ i * S) + C -
=
- ^ ( 8
+ 4x
2
+ 3x4)
\ / l -
x
2
+ C.
|x| < 1.
/ т
36.
/ Sltl
1
COS, Ж dx.
+ COS
2
X
214
Гл. 3. Неопределенный интеграл
М Полагая 1 +
cos2
х = 1, получим
sin х cos x d x
=
. Тогда
/
sin X COS3 X
1
f
1
—
t
1
1
,
1
. . , ,
1
.
, л
,
2
ч
1
2
, , ,
l + coSZ x d x = 2 j - r
d t = - l n \ t \ - - t
+ C
= - l n ( l + c o s x) - - cos * + C. ►
3 7 . /
:-.dX- -= .
J л/Т + ё*
X
M Положив
t
= e
2
t находим
/ —
7
= = = =
—2
/ —
7
= = = = —
2
ln(l + ^ t
2
+ l ) +
6
' = x - 2 1 n ( l + V ^ T T ) + C '. ►
У v l + e*
У V<2 + 1
n n ^
(lx
-- + C. ►
2^3/2 ‘
◄ Если ПОЛОЖИТЬ
I
= sin 1, TO dx = cos t dt и п ри IXI < 1
/ ---- dx
3
= /
= tg
1
+ C = tg (arcsin
x )
+ C = —=
^ ( i - *=•)!
J
cos *
^
3 9 . /
у V r 2 -
2
◄ Положим x =
• Если x € ]—
0 0
, —v/2[, то
1
€ ] — j , 0[, если же x €]y/2, +oo[,
to
1
€ ]0, j [. Заметив, что для этих значений х и
1
sgnctg
21
= sgn
1
= s g n x , будем иметь
ч
x 2 dx
,
f
dt
sgn 1 f sin3 1 + cos2 l ) 2
= —4 sgn ctg 21 / — =— = -----— / i
------ -— — dt —
J
sin3
21
2
J
sin3 1 cos3 1
\[x^~— 2
= sgnt ( C° f ~^ - l n ltg*l) + a
\s m
'! 2 1
/
Из равенства sin 21 =
, учитывая, что |tg l| < 1 при |l| < -
7
, находим
у
/2
t S t = - ±
J
« + ^ а- 2 ’
I ^-Ьл/д2—
2
V
2
если x > л/
2
,
если x < — т/
2
-
Таким образом,
I = sgn x ^ ~ \ J ^ ~
+ s
8
n x hi x +
sjx2
— 2 ^ + C —
77 \Jx2
— 2 + In x +
sjx2
— 2
+ c . ►
4 0
. j s f *
2 — x 2 dx.
◄ Полагая x = a s in l, получаем
2
J
\ J a 2
—
x 2 dx
=
a2
J
cos
2
t d t = ~
J
(1
+
cos
2 1
)
dt —
= — ( l + i sin
2 1
^ + C = — arcsin - + ^ - ч / а
2
- x
2
+ C,
|x| ^ a. ►
2
V
2
/
2
а
2
4 1 7
dx
\ / ( x
2
+ a
2 ) 3
◄ Положив x = a tg
1
, имеем при a ^ О
dx
(
dx
_ J_ f
J
y V + a2)3 ~ o2 J
1
Л
cos 1 d l = — sin 1 + =
"7 =
=
a
2
a2\ / x 2 + a
2
+ a ►
4 2 -
/
215
◄ Пусть х = a cos 21. Тогда
= ctg 1, dx = —2a sin 21 dt и
J \ j a~ ^ ~
= ~
J
cos
2
^ ^ = ~ 4“
+
\
s*n
2
^ + C = a arcsin — — \ / a 2 — x 2 + C,
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы
—a ^ x <
a.
►
2a — x
dx.
43: f
◄ Полагая x =
2
a sin
2
1
, получаем (см. пример 29)
J
x
\j
2
~
^ x ~
®“ 2
J
s ' n 4
*
=
“ 2
( ^ 1
—
2
sin
21
+ i sin 41^ + C =
= 3a2 arcsin
x
3a + x
2
a
2
" \/* (2 a — x ) + C,
0
^ x < 2a. ►
4 4 .
J
f _
.
J \ / ( x — a)(b — x)
◄ Положив x — a =
(6
— a) sin
2
1
, поЬле простых преобразований получим
/
dx
\ / ( х - а)
4 5 .
—
= 2
/ dl =
21
+ С =
2
arcsin W ^
i + С1,
а < ж < Ь.
y ' ( x — a)(b — x)
J
У о — a
◄ Пусть x — a sh t } тогда dx = a c h td l. Следовательно, V a
2
+ x 2 =
y/a2(
1
+ sh
2
l) = a ch
1
и
^ y /a
2
+ x
2
dx = a2 J ch2l dt = — sh 2t -f
+ C.
Из равенства sh t = —
= f находим, что е‘ = £ ± y ^ !± fi Поскольку e‘ >
0
, то t — In \x +
у/a? + x 11 — In а. Очевидно, sh 2t =
2
sh Ich t =
2
sh ts/ 1 + sh2t =
2
2-,/ l + 2^ — 2 i^ /a
2
+ x2,
поэтому окончательно получаем
a ”
“
a
J
\Ja2 + x
2
dx = I \Ja2 + x
2
+
In |x + \ / a
2
+ x2| + C. ►
4 6 '
/
◄ Подынтегральная функция определена при х < - а и при ж ^ а. Пусть х ^ а. Тогда,
гагая х — а = 2ash2t, получаем
J
у — — dx = 4a
J
sh2 t d t = ash
21
2
al +
6
'.
Учитывая, что a s h
21
= y/x2 - a2, s h l =
, 1 = Ь ( у ^ М + л / Г ^ ) - 1 п л /
2
а,
окончательно получаем
J
] f x + a
^ 1
— v
/ ® 2
й2 —
2
aln(V x + a + Vx — a) + C.
Если x < —a, то, полагая x + a = —2ash
2
l, имеем
J y ~ ~ ~ dx — —4a J sh2l dt = —a sh
21
+
2
al + C =
— — \ J x 2 + a
2
+ 2 a ln (V —x — a + y/—x + a) + C.
216
Гл. 3. Неопределенный интеграл
47.
J
\ / (х + а)(х + Ъ
)
dx.
◄ Предполагая, что t > о и i + а >
0
, х +
6
> О, положим
х
+
а
= (Ь — a)sh
t.
Тогда
\ / ( х
+ а)(х +
Ь) dx
= ^-~ a^-(ch 4
i
— 1)
dt
и
J
s / ( x + a ) ( x +b) dx = i b-—
^
-
<)
+ C.
Поскольку
t =
1п(т/г +
a
+
y/x
+
b)
— In
y/b
—
a,
sh41 =
\ J( x
+ a) ( x + b) ■ то оконча
тельно имеем
J \ / ( x + a)(x + b) dx = — ^
b \ / ( x + a)(z + b) — -—
— ln(V* + a + V х + b) + C.
Если же x + 0 ,
x +
6
<
0 ,
b >
а,
то, полагая x + b =
— (6
— a )sh
2
t, получим
J \ / ( x + a)(x + b) dx = — ^ ^
У (cli 4t —
1
) dt = — —— —
2
x + a +
b
\ /{x + a)(x
+
b)
+
■Sh4 t +
^ - t + C =
16
4
( Ь - а
) 2
4
v
'
4
Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:
4 8 .
j
х
2
arccos
х d x.
◄ Интегрируя по частям, находим
х
3
dx
ln
( \ / —х
—~а
л
/ —х
—
Ь)
С.
►
[
2
,
[
, ( х * \
X3
1
[ X3
I х
arccos
х
dx
=
J
arccos
x
d
I
— J
=
— arccos
x
+ ~
J -~j=
=
arccos
x
— i
J
x 2 d
^ \ / l — x2^ =
arccos x — — \ / \ —
x 2
+ -
J
\ / l
— x
2
d(x2) =
arccos x -
i / l - *2' “
- \ / ( l
~ i
2 ) 3
+ £',
|x| <
1
. ►
4 9 .
j
^
arcsin x
d x .
◄ Имеем
arcsin x
/
aresm x ,
f
.
/
1
\
1
dx
, „
. .
,
-----
5
— dx = / arcsin x d I ---- =
arcsin x + / — ■
,
■
,
x
ф
0
,
x <
1
.
x 2
J
\ x )
x
J
xyT -
x 2
Последний интеграл вычисляется следующим образом:
/
dx
_
f
dx
_ f
sg n x d (|x |)
_
xy/l
- x2
J
, ,
/ 7 Т Т 2
Г
-I
j
Чй)
= — In
1 / ^ \ 2
ГТ + \ / f n ) ~
1
-f-
О
— In
X
N1
у V l^ l/
1 + V l
- X
2
+ c .
Окончательно имеем
/
axesin x t
arcsin x
----- —
— rfx -------------+ In
l + V T ^ l
+ c . ►
5 0 . /
arctg \ f x dx
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы
217
/
4 Методом интегрирования по частям находим
x d x
: arctg \/* — / (
~
0
/—>!-------
6
J \ 2 ^
2^(1 + *)У
arctg -\fx dx — x arctg V *
- J
2y/x(l + x)
= x arctg sfx - \ f x + [
= x arctg
a
/* - V х + arctg sfx + &>
x ^ ° ' *"
J
1 + *
arcsiii
2
x d x .
◄ Имеем
• 2 j
. о
arcsin x ax = x arcsin x
J
arcsi
—
f
arcsin
t
. dx = т я resin
2
,r -f 2
f
arcsin X d(y/^~
J л/Т^х*
J
. C,
1*1 <
= x arcsin2x +
2
— ж
2
arcsin x — 2x +
5 2 . /
x arcsin 2x dx.
M Интегрируя по частям и используя предыдущий пример, находим
/ ж а г с
81
п
2
ж,ж = ж/ a r c s i n ^
=
(х —
1) ^ж arcsin2x + 2
arcsin
х
— 2ж^ + С,
1*1
^
[ ___ dx_
у
( “ 2
+ *
5 0
_________
J
(
а2
+
ж
2 ) 2
◄ После очевидных преобразований, интегрируя по частям, получаем
f
dx
_
1
[
( ° 2
+ Ж2) - ж
2
, _ 1
. * , ! / * J (
1
^ _
J
(а2 + ж
2 ) 2
a
2
J
(а
2
+ ж
2 ) 2
^
~ а
3
аГС‘ 8
а + а
2
J
2
<Ч а
2
+ ж2/
-
1
„ с ь ; *
1
_________ L / “_ Ё Е _ = _____E____ - + i a r c t g * + C'- ^
o
3
S а
2
а
2
(a2 + ж2)
2
а
2
J а
2
+ ж
2
2a2 (a2 + ж2)
5 4 .
J
\ Ja
2
— ж
2
da:, |ж| ^ a.
◄ Интегрируя по частям, находим
dx =
;2
arcsin
f
\ J a2 — x 2
dx
=
ж \ / a 2 —
x 2
+
f
dx
—
x
\ Ja2 ~
x 2
+
/
-—
^
У
У v o
2
—ж
2
У
v a
2
— ж
2
= x \ J а2 —
x 2
—
J
2>Достарыңызбен бөлісу: |