Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

210
Гл. 3. Неопределенный интеграл
-4
Преобразуя подынтегральное выражение, находим 
dx 
[
dx
1{х)
- h
sin
2
i +
2
cos
2
x
/
1 
tg 
X
(tg2x +
2
) cos
2
x ~  
a j c t 8
дД
где me — § < £ < ? + П7Г> » ^ Z. Из непрерывности первообразной следует
т. е.
I
+ 
пл- 
- о) = / 
-f п т -f 
о) 
, 
n € Z,
7Г 
^
_
1Г
--- 7= +
—----- 7= + С„ + 
1
.
2
т
/ 2
2
л
/ 2
Отсюда находим C'„+i = - д + 
6
'„ или С„ = ^ j| + С , где С — Со- Поскольку n <
< п -)-
1
)
n € Z, то н = [ 2^„,1Г ] • Следовательно,
. . .
1 
tea; 
тг
1(х) = —= arete —— Н----г=
V ; 
л
/ 2
* л
/ 2
V
2
2
Ж -f 7Г
2
ir
+ С’, 
ж Ф 
+ пт; 
j ( ^ - + niг) =
lim 
/(ж)
2
' 2
' 
X—
. ^ + П
1
Г
является точной первообразной на
19. 
/ ^-г---- - dx .
f  ж
2 - 1
J
* 4
+ l ‘
◄ Из равенства
ж
4
+
1
1 
1 ---- V 
d (ж + i )
- dx = ------
2
^- Л* - ---- i------*Z
следует, что
/ ^ ---- - 
d x = f
d ^X 
-
= - 7 -
J x* + \
7 (ж + ± ) - 2
2
л
/2
). 
f ^ ± \ d x .
J
ж
4
+
1
In
i dx — 
_
( , + i
) 2 - 2
ж + i _ V2
+ C = - 1 = In 
* 2
x v ^
+ 1
+ c . ►
2 -Д
ж2 + ж л /2 + 1
20
.
◄ Имеем при ж ф 
о
^ =
1
+
■
da: = -
{ Х— -р  .
* 4
+
1
х2 + ^
( * - i
) 2
+
2
Поэтому
’ > = / й т 1
ь - / < 7 - + + 2 = 71 *re‘s V T
i , / с.,, 
■
+
1 
с „
если ж <
0
, 
если ж >
0
.
Согласно определению, первообразная должна быть непрерывной, следовательно, / ( —0) =
/ ( +
0
), т. е. д д  + С- i  = - ^ д + C i . Если найдем C - i = - д д  + С , С\ = ^ д + С, где С 
— произвольная постоянная, и положим 1(0) — С, то условие 7 (—0) = 7(-f0) = 1(0) будет 
выполненным, а определяемый интеграл запишется в виде
/(x) = / S
^ I = ^ arctg^
+ ^
sg n l+ c ’ х ^ 0, '< ° ) = Ь '(*)•►
2 1
.
f
М 
J
ХЛ+'
<1ж, А € К, ж ^
1
.
( 1)
◄ Рассмотрим случай, когда А / 0. Пусть [ж] = п, тогда 
п ^ ж < п
+ 1 , и для сужения 
первообразной ж ь-►
/(ж) на полуинтервалы [n, n +
1
[, » € N, получаем

§ 1. Простейшие неопределенные интегралы
211
В силу непрерывности первообразной 1(п) = 1(п — 
0
), т. е. — 
+ С„ = —
+ C„_i
или Сп —
+ С и -
1
, и € N. Отсюда последовательно находим 
С, = i + Со = i + С, 
где Со = С, 
С ’2
= л к + Ci = j + ^
 + С,
С„ - j
+ . . . +
+ С.
Поскольку п = [х], то из (
2
) и (3) окончательно находим
[  И , 
Ы
1
Л
1
1
У ^ Л Т Т ^ - - А ^ + А ( 1 + F + 3^
Предположим теперь, что А 
= 0. 
Тогда для х € 
[«, 
п
+ 
1[, 
п
€ 
N, получим
3Л + " ' + [х;
С]А)
+ С.
СО'
— dx = n ln х + Сп. 
х
Поскольку первообразная непрерывна, то справедливо равенство 1(п) = 1(п — 0). Отсюда, 
аналогично рассмотренному выше случаю, находим
С„ = — In 
2
— In 3 — . . . —ln n + C.
А так как п — [х], то
/
ж]
~ - dx = [х] 
In 
х — 1л 
2
— 
In 
3 — . . . — 1п[х] + С = [х] 
In 
х — 1п([х]!) + С.
Таким образом,
[ J j L d g = !
- А& + Х ( 1 + 2 ^ +
^ +
••• + P
f
)
+ С ’
J
х 
[ [х]
1
п х — 
1
п([х]!) + С,
если А ф 0, 
если А = 0.
Найденная первообразная не является точной первообразной. Действительно, точная 
первообразная имеет в каждой точке области существования производную, равную подын­
тегральной функции. Однако подынтегральная функция имеет счетное множество точек раз­
рыва первого рода, поэтому не может быть значением производной. ► 
,
4
= dx, х е  ]
0
, 
1
].
V х .
< Положим 
= t, тогда х =
и dx = — 
При этом, если х g ]
0
, 
1
], то t g [
1
, +оо[. 
В результате замены приходим к интегралу
22
.
/
, у И Л .
Согласно предыдущему примеру, получаем (полагая А = 2)
2
/ И Л = - Ш
J t>
<2
+ ! + ^ + ^ + ••• + f ? p + С’-
Возвращаясь к старой переменной, окончательно имеем
/[
-4=1 dx = -
V
1
1
л/х
Х
+ 1 + 
^2 + ^2 + '
• • +
1
+ с ,
где х g ]
0
, 
1
]. ►
Применяя различные методы, вычислить интегралы:

212
Гл. 3. Неопределенный интеграл
◄ Пользуясь очевидным тождеством х =
1
— 
( 1
— х), получаем
J
ж(1 — z
) 10
dx = J (1
— z
) 10
dx 
— 
J
(1 — z ) u
dx
-
= - J {  1 
-
^ ) 10
**(1 
-
X)
+ 
J ( 1
-
x ) n d(
1 - z) = - 1 . ( 1 - z
) 11
+ ^ ( 1 - z
) 12
+ C. ►
i . [
J
(! 
- X
2 4 .
• z
) 1
- 
dx.
◄ Разлагая функцию z н z
2
по формуле Тейлора в окрестности точки z =
1
, получаем
Z 2
= (1 - z
) 2
- 2 ( 1 - z ) + l.
Поэтому 
/
z 2 dx
f
( l - z )
2
-
2
(
1
- z )
+
1
 
d 
f
dx 
„ ,
f 
dx
.
J
(1 - z ) 100 -
J
( 1
- z
) 100
J ( l - х Г
' I
( 1 - z ) 99 '
f
dx 
1 
1
, 
1
+ y (l - z ) i ° °
97 (1 — z
) 97
49 (1 — z
) 98
' 99 (1 - z
) 99
2 5 .
[
dx
J
yfx +
1
+ y/x 
—
1
+ С, 
X Ф 
1
. ►
◄ Уничтожая иррациональность в знаменателе, получим
[
dx 
= \ f
(v 'x + 1 ~
Vx ~
1) 
dx =
J
л/х
+ 1 + s/x
-
1 
2 У
=
^ J
y/x + 1 d(x +
1
) - |
J
V x -  
1
d(x -
1
) = i ( \ / ( z +
1 ) 3
- V ( x ~  1)3) + C ’ 
x >
1
. ►
2 6 .
J x 3 t / T + ^ d x .
◄ Поскольку 
x 3dx
= j ( ( l + z 2) — l ) d ( l
+ x 2),
to
J
x 3
У Г + x2 dz =
~ 
J
 (V 
+ ^2) 2 - (1 + z2) 9^ 
rf(l 
+ Z 2) = ^ ( 1 + I 2)3 - f (1 + z2) 3 
+ C .
►
2 7 .
I
M
_ ( z + 2 ) - f e j l i ) = I
( _ l
_______
3( x — l)(* + 2) 
3 \ z — 1 
z +
2 /
’
z
2
+ x — 
2 
◄ Имеем
1
1
z
2
+ z
- ‘2
 
(
z
- 1 ) (
z
+ 2) 
3 ( z — 1) (
следовательно,
f
dx 
_
1 /
f
-----
f
^ = I hx I® — 1| 
, In |z + 2| +
C
= - In I— —
J ^ + x - 2
" J U
J x + 2 )
3
1 
3 
3 
| z + 2
+ c . ►
2 8 ,
f
x d x _
J 
x* + 3z
2
+
2
Поскольку 
x d x
— 
2
 
d( x
) 11
1
(z
2
+ 2) - ( ?  +
1
) = _ J ________L
^ j ^ T + 2 _ (z2 + l ) ( z 2 + 2 ) " (
z
2 + 1)(i2 + 2) 
^2 + l 
a:2 + 2 ’
/• 
®i f d( x2) 
1 f d(x_)_ _ 1
]n 
x 2
+ 1 t r ,
J  " T + l z
2
+
2
~
2
J
z
2
+
1
2
J
x°~ +
2
2
x
2
+
2
2 9 .
I
 sm
4
z(/» -

§ 1. Простейшие неопределенные интегралы
: ,213
◄ Интегрируя тождество
• 4 
/ 1 
Sill X = f —
— cos 
2
x \
2
1 
2 
J ~  4
получаем
1 1
Л 
1 + cos 4 x 3
1 
1
= j - - cos 2х + ------------- = - - - cos 2х + - cos 4х,
Зх 
1 .
sill х dx = —----— sin 
2
x + — sin 4x + C. ►
8
4
32
30. 
J
 
tg3x d x .
^ Имеем
J
 
tg3x d x =
J
 
tg x
— 
1
^ dx =
J
 
tg x d (tg x ) — 
J ~ ~ T
 
= ^ tg2x + In | cosx| + C,
31. / -
J S1
x Ф 
2 
+ кк. *■
dx
S ill X 
cos
2
X
■4
Пользуясь тем, что f  
= In |tg | | + C  (см. пример 11), находим
/
dx 
f  cos
2
x + sin
2
x , 
f dx 
f  sin x 
I
----------
5
— = / — :--------
5
------dx -  / ------
1
- /
5
— dx = In tg
sm x cos
-1
x 
у
sin x cos
2
x 
J  sin x J  cos
2
x 
|
dx
, 
1
„
.to r
+
------------ И 7 ,
X ^
. ►
cos x 
2
32.
1 ,
■4 Пользуясь равенством ■—% = —d(ctgx), находим
f -r r ~
= ~
f
- d(ctg x) = - /( c tg 2x + l)d (c tg x ) = - ^ ctg 3x - ctg x + C. >
j sm ж 
J  sm x 
J  
о
/■
33. у 
ch x ch 3x d x .
◄ Имеем
J
 
ch x ch 3x dx = i ^ ( c h
2
a: + ch 4x) dx = i sli 
2
x + i sh 4x + C. ► 
Применяя метод подстановки, найти следующие интегралы:
34.
J
 
х
3 (1
— 5х
2 ) 10
dx.
◄ Полагая 1 - 5х
2
= t, находим х dx = - jo 
~ ^х2)10 dx = j ^ ( t n - t 10).dt, сдедова-
тельно,
/ . * ( ! - - 5x
2 ) 10
d x = ± ^

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: