Анықталған интегралдың геометрияда және физикада қолданылуы 1-мысал. пен параболарымен және түзумен шектелген фигураның ауданын табыңыз
Шешуі. Алдымен теңдеулер жүйесін шешіп
,
қисықтардың қиылысу нүктелерінің абсциссаларын табамыз:
2-мысал. кардиоидасымен шектелген фигураның ауданын тап.
Шешуі. Кардиоида полярлық өске қарай симметриялы болғандықтан, жоғарғы бөлігінің ауданын тауып екі еселеу жеткілікті:
3-мысал. теңдеумен берілген шынжыр қисықтың доғасының ұзындығын тап.
Шешуі. (5) формуланы қолданамыз, ол үшін
Енді
Сонда
1-мысал. Астроида параметрлік теңдеумен берілген Ох өсінің бойымен айналғанда пайда болған дененің көлемін табу керек.
Шешуі. Көлемді формуламен есептейміз. болғанда болғанда болады:
2-мысал.Радиусы болатын шар бетінің ауданын табу керек.
Шешуі. Шарды алу үшін координаталар бас нүктесін шардың центріне орналастырып жарты шеңберін Ох өсінің бойымен айналдырамыз. Сонда шар бетінің ауданы
формуласымен анықталады. функциясы жұп болғандықтан
3-мысал. Бірінші квадрантта жатқан шеңбердің төрттен бір бөлігінің ауырлық центрін табу керек.
Шешуі. Берілген қисығы түзуіне қарай симметриялы болады. Сондықтан ауырлық центрі осы биссектрицаның бойында жатады және болады.
және
Сонымен,
Меншіксіз интеграл Мысал. жинақтылыққа зерттеу керек болсын.
Шешуі. Егер , онда кез келген үшін
Егер болса, онда
Сонымен, берілген интеграл жинақты, ал жинақсыз.
