Математикалық физиканың негізгі теңдеулеріне келтірілетін қарапайым физикалық есептер
жүктеу/скачать 0,96 Mb.
|
Дәрістер 1-5
| 3) Электрөткізгіштік теңдеу
Жоғарыда қорытылған жылуөткізгіштік пен диффузия процестерінің дифференциалдық теңдеулер ұқсас, айырмашылығы тек ғана коэффиценттерінің мәндерінде. Электр зарядтарының таралу процесінің математикалық моделде тек сондай жылуөткізгіштік теңдеуі болатынын көрсетейік. Ол үшін зарядталған денені қарастырайық. Егерде денеде зарядтар бөлшектері бірқалыпты таралмаса, онда зарядтары көп бөлігінен заряды аз бөлігіне қарай заряд бөлшектерінің қозғалысы басталады. Бұл құбылыс дененің электрөткізгіштігі деп аталады, оны элетр зарядтарының тығыздығымен сипаттауға болады. Зарядтың тығыздығы деп бірлік көлемнен (ұзындықтан ) бірлік уақытта өтетін электр зарядының мөлшері. Ұзындығы ℓ, бірқалыпты емес зарядталған жіңішке кесінді қарастырайық. Кесінді OX өсімен бағыталсын, онда зарядтың тығыздығы U(x,t) уақыт t мен нүкте координатасы x тәуелді функция болады. Кесіндінің (x1,x2) бөлігіндегі зарядтың мөлшері x2 Q= U(x,t) dx x1 Ал уақыт t1 –ден t2 аралығында өзгеруі x+∆x Q1= [U(,t2)- U(,t1)]d (3.53) x Кесіндіде қосымша электр зарядтарын бөлетін көз жоқ деп есептеп, тек ғана электр өткізгіштік әсерінен тығыздығының өзгеруін, яғни заряд тығыздығы жоғары бөліктен таралған заряд әсерін қарастырайық. Заряд ағынымен заряд тығыздығы арасында байланысы q=-D ∂U/∂x (3.54) теңдігімен өрнектеледі. Мұнда D- электрөткізгіштік коэффицент. Уақыт t1 мен t2 арасындағы зарядтың мөлшері t2 Q= q(x,t)dt t1 Ал кесіндінің бөлігі [x1,x2] осы ∆t=t2-t1 уақытта өзгеруі t2 Q2= [q(x1,t)-q(x2,t)]dt t1 теңдік (3.54) ескерсек, онда t2 Q2= [(DUx)x2-(DUx)x1]dx (3.55) t1 Заряд мөлшерінің сақталу заңы бойынша Q1=Q2 Сондықтан зарядталған дененің тығыздығы U(x,t) үшін мына интегралдық теңдікті аламыз x2 t2 [U(x,t2)-U(x,t1)]dx= [(DUx)x2-(DUx)x1]dt x1 t1 Айырымды интегралдар алмастырсақ, онда x2 t2 t2 x2 dx U/t dt= dt /x (DUx)dx x1 t1 t1 x1 Осыдан орта мән туралы пайдаланып және кез-келген кесінді ∆x мен уақыт ∆t орындалатындықтан, мына теңдеуді жазуға болады. U/t=/x (DUx) Егерде D тұрақты болса, онда мына түрде жазамыз. U/t=D 2U/x2 Көп өлшемді кеңістіктегі зарядталған денелер үшін U/t=D∆U теңдеуін қорытуға болады. жүктеу/скачать 0,96 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|