Математикалық физиканың негізгі теңдеулеріне келтірілетін қарапайым физикалық есептер
жүктеу/скачать 0,96 Mb.
|
|
§3. Математикалық физиканың негізгі теңдеулеріне келтірілетін қарапайым физикалық есептер. Көптеген физиканың, механиканың, техниканың т.б. жаратылыстану ғылымдарының есептері дербес туындылы 2-ретті диффференциалдық теңдеуді зерттеуге алып келеді.Түрліше құбылыстардың теңдеулерін қорытқанда, сол процесстердің негізгі қағидалары мен заңдылықтарын пайдаланады. 10. Шектің көденен, аз тербелістің теңдеуі. Созылмайтын серпімді иілгіш ұзын жіпті –шек дейді. Шектің бастапқы қалпы x өсінің бойында жатсын. Біз шектің көлденен, яғни x-өсіне перпендикуляр бағытталған қозғалысын қарастырамыз. Сыртқы күш f(x,t) әсерінен шектін горизонталь қалпынан t мезетте ауытқуын U(x,t) деп белгілейік. Шектің аз тербеліс дегеніміз ауытқу U(x,t) мен оның туындысы Ux салыстырғанда U2(x,t), Ux2, U Ux жоғарғы ретті аз шамалар, оларды теңдеуді қорытқанда (бірінші ретті дәлдікпен) ескермеуге болады. Шектің тығыздығын r(x), керу күшін T(x,t) деп белгілейік. Шектің кез-келген аз бөлігі [x1,x2] әсер ететін күштердің шамасын есептейік. Абсициссалары x1 мен x2 арасында жатқан ауытқу профилінің доғасының ұзындығы x2 ________ S=ò Ö1+Ux2 dx »x1-x2 x1 болғандықтан, яғни бірінші ретті дәлдікпен шектің доға ұзармайды. Сондықтан Гук заңы бойынша керу күші T уақыт t-ға тәуелді емес. Керу күші T айнымалы x-қа тәуелді болмайтын көрсетуге болады. Абсициссалары xi нүктелеріндегі керу күштерді T(xi) болсын. Шек иілгіш серпімді болғандықтан керу күштері абсициссалар xi нүктелерге жүргізілген жанамен бағытталған. (1 сурет) Шектен ғана көлденен тербелетін болғандықтан [x1,x2] арасындағы доғаға әсер ететтін керу күштерінің горизонталь бағыттағы құраушылар T(x2) cos a(x2)-T(x1) cosa(x1)=0 Мұндағы a(xi) абсициссалары xi нүктелерге жүргізілген жанамалардың x осімен жасайтын бұрыштар. Белгілі теңдік ____________ _____________ cosa(xi)=1/Ö1+tg2a(xi) =1/Ö1+Ux2a(xi) »1 ескерсек, онда T(x1)=T(x2) болады. Айнымалар x1 мен x2 –кез-келген нүктелер болғандықтан T(x)=T0=const Керу күшінің U осіне бағытталған құраушысы x2 ∂U/∂x|x=x2-T(x1) ∂U/∂x|x=x1=ò∂/∂x (T(x) ∂U/∂x) dx (3.1) x1 Сыртқы күштің [x1,x2] кесіндісі әсері x2 F2=ò f(x,t) dx (3.2) x1 Шектің тығыздығы r(x), үдеуі w=Utt болғандықтан инерциялық күш x2 F3=-ò r(x) Utt dx (3.3) x1 Ортаның кедергі күші жылдамдық Ut пропорционал деп алсақ, онда [x1,x2] аралыққа әсер ететін кедергі күші x2 F4=-òk(x) Ut dx (3.4) x1 Даламбер қағидасы бойынша U осіне бағыттағы барлық күштердің қосындысы нөлге тең x2 x2 x2 x2 ò ∂/∂x (T ∂U/∂x) dx+ò f(x,t)dx-òr(x) Uttdx-ò k(x) Utdx=0 (3.5) x1 x1 x1 x1 осыдан орта мән туралы теореманы пайдаланып және [x1,x2]-кез-келген кесінді болғандықтан rUtt+kUt=∂/∂x (T ∂U/∂x)+f(x,t) (3.6) теңдеуін аламыз. Егер r=r0, T=T0, k=0 болса, онда Utt=a2Uxx+F(x,t) (3.7) теңдеу (3.7) шектің еріксіз тербелісінің теңдеуі дейді. Егер F(x,t)=0 болсаб онда Utt=a2Uxx (3.8) Теңдеу (3.8) шектің еркін тербелісінің теңдеуі дейді. Теңдеулер (3.7)-(3.8) гиперболалық типке жатады. 20. Мембрананың көлденен аз тербелісінің теңдеуі. Мембрана деп созылмайтын, иілгіш жұқа жазық қаңылтырды айтамыз. Мембрана алғашында координаталық XOY жазықтықта жатсын, онда көлденен тербелісі мембрана нүктелерінің XOY жазықтығына перпендикуляр бағытта қозғалысы. Сыртқы күштін әсерімен нүкте (x,y) мезет t горизонталь жазықтықтан ауытқуын U(x,y,t)белгілейік. Мембраның тербелісінің теңдеуін қорыту үшін кез-келген S доғасымен қоршалған D бөлігін алып, осы D бөлігіне перпендикуляр бағытта әсер ететін күштерді есептейміз. Керу күшін T белгілейік. S доғаға әсер ететін керілу күші шамасы T*=S TdS. Көлденен аз тербеліс болғандықтан, керу күш тұрақты, яғни t,x,y тәуелді емес. D0 мен S0 деп D бөлік пен S доғаның XOY проекцияларын белгілейік. M нүктесіне әсер ететін керу күшінің U бағыттағы проекциясы _______ _______________ TU=T sin=T tg/1+tg=T U/N/1+( U/N)2T U/N, N-нормаль. Сондықтан F1=TUds=T U/N ds= T U/N dS0/cos S S S0 -доға dS пен dS1 арасындағы бұрыш, аз қозғалыс үшін cos1. Остроградский формуласын пайдаланып F1=T U/N ds1=T(Uxx+Uyy)dxdy=T∆U dxdy S0 D0 D0 Сыртқы әсер ететін күштің тығыздығы f(x,y,t), ал мембраның тығыздығы (x,y) болса, онда Ньютонның 2-заңы бойынша ∆t=t2-t1 уақытта D бөлігіне әсер ететін күштер мына теңдікті қанағаттандырады. t1 t2 t2 dt T∆Udxdy+dt f(x,y,t)dxdy=[Ut(x,y,t2)-Ut(x,y,t1)](x,y) dxdy==dt Uttdxdy t2 D0 t1 D0 D0 t1 D0 Осы интегралдық теңдіктен орта мән туралы теорема пайдаланып, мемраның тербелісінің теңдеуі Utt=T∆U+f(x,y,t) аламыз. 30. Сымдағы электрлік тербелістің теңдеуі Электрөткізгіштік сымдағы тербелістерді анықтайтын шамалар ток күші i(x,t). Сым бойымен ток жүргенде Ом заңы бойынша dx бөлігінде кернеудің төмендеуі электр қозғаушы күштер қосындысына тең -Vx dx=iRdx+itLdx (3.9) R-кедергі, L-индуктивтілік коэффиценті Сымның ∆x бөлігінен ∆t уақытта өткен токтін шамасы [i(x,t)-i(x+∆,t)]∆t=-ix dxdt (3.10) ∆x бөлігін зарядтауға кететін ток пен изоляцияның нашарлығынан жоғалатын токтың қосындысына тең C[V(x,t+∆t)- V (x,t)] ∆x+Gdx Vdt=(C V t+G V) dxdt (3.11) C-сыйымдылық коэфффицент, G-кему коэффиценті Изоляция арқылы бірлік уақыттағы жоғалатын зарядтын мөлшері кернеуге пропорционал. Шамалар (3.10) мен (3.11) теңеп, мына теңдеуді аламыз ix(x,t)+С V t(x,t)+G V(x,t)=0 (3.12) Теңдеулер (3.9) мен (3.12) тұратын жүйені телеграфтық теңдеулер дейді. Ток i(x,t) бойынша дифференциалдық теңдеу алу үшін (3.9) теңдеуді t бойынша, ал (3.12) теңдеуді x бойынша дифференциалдап {Vxt+Rit+Litt=0 {ixt+G Vtx+G Vx=0 жүйені аламыз. Бірініші C көбейтіп екінші теңдеуден алсақ, онда ixx+GVx-CLitt-CRit=0 (3.13) Теңдеу (3.9) туынды Vx мәнін (3.13) қойып ixx=CLitt+(CR-GL)it+GRi (3.14) теңдеу аламыз. Теңдеулер жүйесінен (3.9) мен (3.12) функция i(x,t) жойып, функция V(x,t) үшін мына Vxx=(CLVtt+(CR+GL)Vt+GRV (3.15) теңдеуді алуға болады. Теңдеулер (3.14) мен (3.15) телеграфтық теңдеу деп аталады. Егерде G=0 мен R=0 болса, онда itt=a2ixx a2=1/GL Vtt=a2Vxx гиперболалық теңдеулер жүктеу/скачать 0,96 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|