20. Дифференциалдық теңдеуді кластарға бөлу
Жалпы түрде жазылған (1.1) мен (1.2) дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердегі көп аргументті функция Ф-ның құрамына қарай теңдеулер мынадай кластарға бөлінеді:
Анықтама 5. Дифференциалдық теңдеу (1.1) сызықты дейміз, егер де (1.1) теңдеу,
(1.6)
түрде жазылса, яғни функция Ф белгісіз функция U(x) және оның барлық туындалары бойынша сызықты болса, коэффициенттері және бос мүше f(x) аймағында анықталған белгілі нақты функциялар.
Анықтама 6. Дифференциалдық теңдеу (1.2) сызықты дейміз, егер де (1.2) теңдеу,
(1.7)
түрінде жазылса, ал коэффициенттері aij(x), bi(x),c(x) және f(x) аймағында анықталған белгілі нақты функциялар болса.
Екі айнымалы U(x,y) функциясы үшін 2-ретті сызықты дифференциалдық теңдеуді
a11(x,y)Uxx+2a12(x,y)Uxy+a22(x,y)Uyy+b11(x,y)Ux+b21(x,y)Uy+c(x,y)U=f(x,y) (1.8)
түрінде жазуға болады.
Анықтама 7. Егер де функция f(x)0 болса, онда сызықты теңдеулер (1.6)-(1.7)-(1.8) біртекті деп, ал егер f(x)0 болса, онда біртекті емес деп аталады.
Егер де сызықты теңдеулердің (1.6)-(1.7)-(1.8) барлық коэффициенттері тұрақты нақты сандар болса, онда коэффициенттері тұрақты, ал егер коэффициенттерінің біреуі айнымалы функция болса, онда коэффициенттері айнымалы сызықты дифференциалдық теңдеулер деп аталады.
Анықтама 8. Егер m-ретті дифференциалдық теңдеу
(1.9)
ал 2-ретті теңдеу
(1.10)
түрінде берілсе, онда олардың жоғарғы ретті туындылары боынша сызықты немесе жартылай сызықты теңдеулер дейміз.
Екі айнымалы U(x,y) функциясы үшін 2-ретті жартылай сызықты теңдеу
a11(x,y)Uxx+2a12(x,y)Uxy+a22(x,y) Uyy +F(x ,y, U, Ux, Uy)=0 (1.11)
түрінде жазылады.
Анықтама 9. Егер де (1.9)-(1.10)-(1.11) теңдеулердегі коэффициенттер Ak(aij) белгісіз функция U(x) және оның реті < m (реті < 2) туындыларына тәуелді болса, онда (1.9)-(1.10)-(1.11) теңдеулері квазисызықты дейді.
Жоғарыда келтірілген кластарға жатпайтын дифференциалдық теңдеулерді сызықты емес дейді.
Достарыңызбен бөлісу: |
