I тарау. Кіріспе. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді квалификациялау §1. Негізгі ұғымдар мен анықтамалар
10. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер. Rn- деп n өлшемді нақты евклидтік кеңістікті белгілейік, ал -декарттық ортогонал координаталары x1,x2,…,xn болатын нүктелер x=(x1,x2,…,xn)Rn жиынынан тұратын аймақ (облыс). Белгісіз функция U(x) аймақ анықталған. Координаталары теріс емес бүтін сандардан тұратын вектор k=(k1,k2,…,kn)-мультинидекс деп аталады. Көп айнымалы функциялардың жоғарғы ретті дербес туындыларын қысқаша жазу үшін мына белгілеуді:
, |k|=k1+k2+…+kn ал бірінші мен екінші ретті дербес туындылары үшін:
,
белгілеулері жиі пайдаланылады.
Анықтама 1. Белгісіз функция U(x) және оның туындыларын байланыстыратын теңдеуді дифференциалдық теңдеу деп атайды.
Егер де функция U(x)- бір аргументті болса, онда жай (қарапайым), ал функция U(x) көп аргументті болса, онда дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп атайды.
Анықтама 2. Теңдеудегі белгісіз функцияның туындыларының ең жоғарғы реті m-ге тең болса, онда дифференциалдық теңдеу m-ретті дейді.
Жалпы m-ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеуді
(1.1) түрінде жазуға болады.
Жалпы 2-ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеуді
(1.2) түрінде жазуға болады. Мұндағы бірінші ретті туындылары =бәрі бірдей нөлге тең емес, ал көп аргументті нақты мәнді функция және соңғы аргументі бойынша бірінші ретті туындылары бәрі бірдей нөлге тең емес.
