Международный научно-образовательный электронный журнал «образование и наука в XXI веке»

722 
ФИО автора: Кабилжанова Фируза Азимовна 
и.о.доцента кафедры Прикладной
математики и компьютерного анализа
Национального университета Узбекистана
имени Мирзо Улугбека, 
кандидат физико-математических наук
Название публикации: «ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ 
НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ ТЕПЛА В НЕДИВЕРГЕНТНОМ СЛУЧАЕ» 
Kabiljanova F.A. 
Numerical modeling of the problem of nonlinear heat 
diffusion in the non-divergent case. 
In this article the process of diffusion which described by a degenerate type 
quasilinear equation with gradient nonlinearity in the not divergent case is 
investigated. The results of calculations executed for the researched problem are 
resulted.
Аннотация. В работе исследуется процесс диффузии, описываемый 
квазилинейным 
уравнением 
вырождающегося 
типа 
с 
градиентной 
нелинейностью в недивергентном случае. Приведены результаты расчетов, 
выполненных для исследуемой задачи.
Аннотация. 
Мазкур мақолада нодивергент ҳолатда градиент 
чизиқсизликка эга бузилувчан квазичизиқли тенглама билан ифодаланувчи 
диффузия жараёни ўрганилади. Кўрилган масала учун ҳисоблаш эксперименти 
натижалари келтирилган. 
 
Рассмотрим 
в 
области 
0
,
R
),
T
,
(
D
N







2
1
0
,
,
b
x








уравнение


0







)
u
(
Q
)
x
,
t
(
u
)
u
(
K
x
)
u
(
P
u
Lu
m
t


,


x
, (1) 
с начальными и краевыми условиями
 
,
x
u
)
x
,
(
u
0
0
0




b
x


0
,
2
1,


, 


x
, (2) 
)
t
,
x
(
u
Г


,
)
T
,
(
t
0

, Г – граница 

. (3) 

723 
Здесь 
,
p
,
u
)
u
(
P
p
1
0




u
)
u
(
Q
u
K(u)



,
1
-
n
, 
N
R
C
x
t




)
,
0
(
)
,
(
0

,
1



. 
(.),
grad
(.)
x


коэффициент 
m
x
, где m>0 – характеризует неоднородность 
среды. 
Задача (1)-(3) является основой для моделирования различных процессов 
нелинейной диффузии тепла, магнитной гидродинамики, фильтрации газа и 
жидкости, нефти и газа, в теории неньютоновских жидкостей и т.д. 
Уравнение (1) имеет недивергентный вид, и является вырождающимся, из-
за чего, оно в области, где 
0
v( t ,x )

может не иметь решения в классическом 
смысле. Поэтому следует изучать те обобщенные решения, обладающие 
свойствами 
1
0
n
m
k
v( x,t ), x
v
v
C( Q )



 
, где 
1 p
v
u


, 


( , ) :
0,
N
Q
t x
t
x
R



. 
Важной особенностью уравнения (1) является его недивергентность, и для 
него не имеет место закон сохранения. 
Исследованием математических моделей системы реакции-диффузии 
занимались многие авторы [1-3], в частности в двух работах [1], [2] установлены 
двусторонние оценки решения и в зависимости от поведения плотности на 
бесконечности для решения задачи Коши свойства конечной скорости 
распространения возмущений, либо разрушение носителя за конечное время. 
Решения таких задач на компьютере показывают, что решение их в 
непосредственном линеаризованном виде не даёт тот или иной нелинейный 
эффект. Поэтому для численного решения нелинейных задач сначала изучаются 
качественные свойства решений путем построения автомодельных и 
приближенно-автомодельных решений, а затем в качестве начального 
приближения используется приближенное решение построенное при помощи 
метода нелинейного расщепления. 
Существенную роль при исследовании задачи Коши и краевых задач для 
уравнения (1) играют автомодельные решения [4]. Под автомодельным в 

724 
дальнейшем понимаются частные решения уравнения, зависящие от комбинации 
t и x. Знание их играет порой решающую роль в исследовании различных свойств 
решений исходного уравнения. Несмотря на то, что автомодельные решения 
удовлетворяют специальным начальным и граничным условиям, они часто 
превращаются в глобальные характеристики уравнения благодаря теоремам 
сравнения решений. Доказано, что при 


t
решения задачи Коши с 
начальными данными из широкого класса сходятся в определенных нормах к 
автомодельным.
Для 
проведения 
вычислительных 
экспериментов 
задача 
(1)-(3) 
аппроксимирована по неявной схеме переменных направлений (продольно-
поперечная схема). 
Рассмотрим двумерный случай (N=2). В 

построим равномерную сетку 
h

по 
)
,
,
x
2
1
(



с шагами 
1
1
1
n
b
h

и 
2
2
2
n
b
h

: 




2
1
1
0
2
2
1
1
2
1

жүктеу/скачать 12,18 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: