На математических олимпиадах нередко предлагаются задачи, в которых рассматриваются либо угол и вписанная в него окружность, либо равнобедренный треугольник, касающийся некоторой окружности в двух своих вершинах. При этом обычно присутствует еще один элемент: секущая угла, касающаяся окружности в некоторой точке. Наблюдательный читатель уже заметил, что описанная здесь конструкция – ни что иное, как треугольник и вневписанная окружность.
При решении задач бывает полезно следующее свойство, которое кажется очевидным: длина отрезка DE равна сумме длин отрезков DB и EC.
О кружность, касающаяся одной из сторон треугольника в вершине
Так как угол между хордой и касательной к окружности равен половине центрального угла, опирающегося на хорду, то изображенные на чертеже треугольники ABD и ABC имеют равные углы при вершинах B и C соответственно. А если учесть, что угол при вершине A у них общий, то нетрудно заметить, что два этих треугольника подобны.
Упражнение 23. Дайте строгое доказательство сформулированного выше утверждения.
Еще раз о высотах треугольника
Через точку пересечения высот треугольника (ортоцентр), основания двух высот и третью вершину проходит окружность. Отрезок AH является диаметром этой окружности.
Рассмотрим теперь сразу две окружности, проходящие через основания высот.
Упражнение 24.Докажите, что прямая O1O2 перпендикулярна прямой C1B1.
Продолжение темы о двух окружностях
С парой пересекающихся окружностей и треугольником связан ряд интересных конфигураций.
Первая конструкция. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена секущая CD.
