В кристаллографии часто приходится описывать взаимное расположение отдельных плоскостей кристалла, его направлений, для чего удобно пользоваться кристаллографическими индексами. Кристаллографические индексы дают представление о расположении плоскости или направления относительно системы координат. При этом не имеет значения, прямоугольная или косоугольная система координат, одинаковые или разные масштабные отрезки по координатным осям. Представим себе ряд параллельных плоскостей, проходящих через одинаковые узлы пространственной решетки. Эти плоскости расположены на одинаковом расстоянии друг от друга и составляют семейство параллельных плоскостей (рис. 2.1). Они одинаково ориентированы в пространстве и потому характеризуются одинаковыми индексами.
Рис. 2.1. К определению кристаллографических индексов семейства параллельных плоскостей
Выберем из этого семейства какую-либо плоскость и введем в рассмотрение отрезки, которые плоскость отсекает по координатным осям (координатные оси x, y, z обычно совмещают с ребрами элементарной ячейки, масштаб по каждой оси равняется соответствующей осевой единице — периоду a, или b, или c). Величины отрезков выражают в осевых единицах.
Кристаллографические индексы плоскости (индексы Миллера) — это три наименьших целых числа, которые обратно пропорциональны числу осевых единиц, отсекаемых плоскостью на координатных осях.
Индексы плоскости обозначаются буквами h, k, l, записываются подряд и заключаются в круглые скобки—(hkl).
Для семейства параллельных плоскостей (рис. 2.1) имеем (табл. 2.1):
Таблица 2.1
Определение индексов плоскостей по отсекаемым отрезкам
Номер Отрезки по осям Отношение Индексы плоскости x y z индексов плоскости (hkl)
1 1/2 1/3 ∞ 2:3:0 (230)
2 1 2/3 ∞ 1:3/2:0 (230)
3 3/2 1 ∞ 2/3:1:0 (230)
4 2 4/3 ∞ 1/2:3/4:0 (230)
Индексами (hkl) характеризуются все плоскости семейства параллельных плоскостей. Этот символ означает, что семейство параллельных плоскостей рассекает осевую единицу вдоль оси x на h частей, вдоль оси y на k частей и вдоль оси z на l частей.
При этом плоскость ближайшая к началу координат, отсекает на координатных осях отрезки 1/h (по оси x), 1/k (по оси y), 1/l (по оси z).
Порядок нахождения кристаллографических индексов плоскости.
Находим отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях, измеряя их в осевых единицах.
2. Берем обратные значения этих величин.
3. Приводим отношение полученных чисел к отношению трех наименьших целых чисел.
Пример. Найти индексы плоскости, которая отсекает на координатных осях следующие отрезки: 1/2; 1/4; 1/4. Поскольку длины отрезков выражены в осевых единицах, имеем 1/h=1/2; 1/k=1/4; 1/l=1/4.
Находим обратные значения и берем их отношение
h : k : l = 2 : 4 : 4.
Сократив на два, приведем отношение полученных величин к отношению трех целых наименьших чисел: h : k : l = 1 : 2 : 2. Индексы плоскости записываем в круглых скобках подряд, без запятых — (122). Они читаются порознь — "один, два, два".
Если плоскость пересекает кристаллографическую ось в отрицательном направлении, над соответствующим индексом сверху ставится знак "минус". Если плоскость параллельна какой-либо координатной оси, то в символе плоскости индекс, соответствующий этой оси, равен нулю. Например, символ (hko) означает, что плоскость пересекается с осью z в бесконечности и индекс плоскости по этой оси будет 1/∞ = 0.
Плоскости, отсекающие на каждой оси по равному числу осевых единиц, обозначаются как (111). В кубической сингонии их называют плоскостями октаэдра, т. к. система этих плоскостей, равноотстоящих от начала координат, образует восьмигранник – октаэдр (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Октаэдр
Плоскости, отсекающие по двум осям равное число осевых единиц и параллельные третьей оси (например, оси z) обозначаются (110). В кубической сингонии подобные плоскости называют плоскостями ромбического додекаэдра, так как система плоскостей типа (110) образует двенадцатигранник (додека – двенадцать), каждая грань которого – ромб (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Ромбический додекаэдр
Плоскости, пересекающие одну ось и параллельные двум другим (например, осям y и z), обозначают — (100) и называют в кубической сингонии плоскостями куба, то есть система подобных плоскостей образует куб.
При решений различных задач, связанных с построением в элементарной ячейке плоскостей, систему координат целесообразно выбрать так, чтобы искомая плоскость располагалась в заданной элементарной ячейке. Например, при построении плоскости (211) в кубической ячейке начало координат удобно перенести из узла О в узел О’ (рис 2.4).
Рис. 2.4 Плоскость куба (211 )
Иногда индексы плоскости записывают в фигурных скобках {hkl}.Эта запись означает символ совокупности идентичных плоскостей. Такие плоскости проходят через одинаковые узлы в пространственной решетке, симметрично расположены в пространстве и характеризуются одинаковым межплоскостным расстоянием (понятие о межплоскостном расстоянии рассматривается в следующей теме).
Плоскости октаэдра в кубической сингонии принадлежат к одной совокупности {111}, они представляют грани октаэдра и имеют следующие индексы: {111} →(111), (111), (111), (111), (111), (111), (111 ), (111 ).
Символы всех плоскостей совокупности находят путем перестановки местами и изменения знаков отдельных индексов.
Для плоскостей ромбического додекаэдра обозначение совокупности: {110} → (110), (110), (110),
