Методическое пособие. Астана: нао имени
жүктеу/скачать 1,55 Mb. Pdf көрінісі
|
Задача 1. Вы отправились в путешествие на лодке. Составьте текст задачи, которую можно решать с помощью данного уравнения, и решите ее.
На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали – значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку в какой день будет более теплая погода и в котором часу?
66
Задача 3. Ваш друг отправился в город на грузовом автомобиле, а вы на легковом. Расстояние в 360 км легковой автомобиль прошел на 2 часа быстрее, чем грузовой. Если скорость каждого автомобиля увеличить на 30 км/ч, то грузовой затратит на весь путь на 1 час больше, чем легковой. Найдите скорость каждого из автомобиля. Задание 1: ввести неизвестные величины и обозначить через x и y и составить краткую запись задачи в таблице (скорость, путь, время). (2 случая). Задание 2: составить систему двух уравнений с двумя неизвестными. Задание 3: решить систему уравнений, исключив те корни, которые не подходят по условию задачи. Задача 4. Определите по карте расстояние, которое будет пройдено автомобилем от г.Костанай дл г.Астана. Используя свойство пропорции, рассчитать количество бензина, которое будет затрачено на дорогу, если известно, что на 100 км требуется 8 литров. Задача 5. 1 литр бензина в 2008 г. стоило 70 тенге. В 2011 г. он подорожал на 12%. Вычислите стоимость бензина в 2013 г.
Фермер на садовом участке высаживает яблони в форме квадрата, как показано на рисунке 1. Для защиты яблонь от ветра он сажает по краям участка хвойные деревья. Ниже на рисунке изображены схемы посадки яблонь и хвойных деревьев для нескольких значений n, где n – количество рядов высаженных яблонь. Эту последовательность можно продолжить для любого числа n. n =1 n =2 n =3 n =4
Рисунок 1 Вопрос 1: ЯБЛОНИ
67
Заполните таблицу: n Количество яблонь Количество хвойных деревьев 1 1 8 2 4 3
4
5
Оценка выполнения задания Деятельность: второй уровень компетентности (Установление связей и интеграция информации для решения задач) Содержание: изменения и зависимости Ситуация: обучение
Таблица имеет вид n Количество яблонь Количество хвойных деревьев 1 1 8 2 4 16 3 9 24 4 16 32 5 25 40
Код 1: все 7 значений в таблице указаны верно. Код 0: другие ответы. Вопрос 2: Яблони В рассмотренной выше последовательности количество посаженных яблонь и хвойных деревьев подсчитывается следующим образом: количество яблонь = n 2 ,
где n – число рядов высаженных яблонь. Для каждого значения n число яблонь будет равно числу посаженных вокруг них хвойных деревьев? Запишите решение. Оценка выполнения задания Деятельность: второй уровень компетентности (установление связей и интеграция для решения задачи) Содержание: изменения и зависимости Ситуация: обучение Код 1(1): n =8, явно использован алгебраический метод решения. Примеры ответов: - «n
2 =8n, n
2 - 8n =0, n =0 и n =8, отсюда n =8» Код 1(2): n =8, явно не показан алгебраический метод решения или решение не дано вовсе. 68
Примеры ответов: - «n
2 =8
2 =64, 8n =8·8 =64» -« n 2
- «8·8 =64, n =8» - «n =8» - «8·8 =8 2 » Код 1(3): n =8, использован другой, метод с помощью предложения числовой последовательности или последовательности рисунков. (Последующими кодами кодируются верный ответ: «n =8» и «n =0»,
Код 1(4): Как для кода 1(1) (явно виден алгебраический метод), но указаны два ответа «n =0» и «n =8». Примеры ответов: - «n 2
2 -8n =0, n(n -8) =0, n =0 и n =8» Код 1(5): Как для кода 1(2) (явно не алгебраический метод решения), но указаны два ответа «n =8» и «n =0» Код 0(0): Другие ответы, включая ответ «n =0». Примеры ответов: - «n 2
- «n 2 =8» - «n =0. Вы не можете получить такое же значение, потому что вокруг каждой яблони сажается 8 хвойных деревьев». Вопрос 3: Яблони Предположим, что фермер решил постепенно увеличивать число рядов яблонь на своем участке. Что при этом будет увеличиваться быстрее: количество высаживаемых яблонь или количество хвойных деревьев? Запишите объяснение своего ответа.
Код 2(1): Верный ответ (число Яблонь) сопровождается верным обоснованием. Примеры ответов:
«Число яблонь = n·n и хвойных деревьев =8n. В обеих формулах имеется множитель n, но в формуле для подсчета числа яблонь есть еще один множитель n, значение которого увеличивается в то время, как множитель 8 остается неизменным».
квадрат, а не умножается на 8»
«Число яблонь квадратичного. Число хвойных деревьев – линейно. Таким образом, яблони возрастают быстрее».
2
возрастает быстрее, чем 8n». 69
Задание 2. Айжан проехала на своем велосипеде от дома до реки, которая находится на расстоянии 4 км. Ей потребовалось 9 минут. Она поехала домой по короткому маршруту в 3 км. На это ей потребовалось 6 минут. Какова средняя скорость Айжан (в км/ч) до реки и обратно. Средняя скорость ……………….. км/ч.
пройденных пути и потраченное время. Математическая область: изменения и отношение. Контекст: личностный. Вид учебно-познавательной деятельности: применение. Формат вопроса: конструированный. Сложность: 6 уровень. Полный ответ: 28 км/ч. Ответ не принимается: 28,3 (Неверный метод: средняя скорость для 2 поездок (26.67 и 30)), нет ответа. Комментарии: данный вопрос требует более глубокого понимания значения средней скорости. Средняя скорость не может быть получена только путем усредненной скорости, несмотря на неправильный ответ в данном конкретном случае (28,3 км/час), полученного путем усреднения скорости (26,67 км/ч и 30 км/ч).
ходьбы по тропе Готемба. Его педометр показал, что он прошел 22 500 шагов по дороге вверх. Высчитайте среднюю длину шага Марата, когда он поднимался вверх на 9 км по тропе Готемба. Напишите ответ в сантиметрах. Ответ: ................................................. см.
соотношение в сантиметрах. Математическая область: количество. Контекст: социальный. Вид учебно-познавательной деятельности: применение. Формат вопроса: конструированный. Сложность: 5 уровень. Полный ответ: 40 см. Ответ не принимается: ответы с 4 цифрами неверно переведенные в сантиметры. 0,4 (ответ дан в метрах), 4000 (неправильный перевод в см), другие ответы, нет ответа.
шагов*средняя длина шага. Чтобы использовать эту формулу для решения, необходимо преобразовать ее, найдя среднюю длину шага из расстояния и количества шагов. Задание 4. «ВРАЩАЮЩАЯСЯ ДВЕРЬ». Вращающаяся дверь состоит из трех внутренних дверей, которые вращаются внутри круглого пространства. Внутренний диаметр составляет 2 метра (200 сантиметров). Три перегородки двери разделяют пространство на 70
три равных сектора. План, представленный ниже с видом сверху, показывает расположение дверных перегородок в трех разных позициях (Рис.2).
Вопрос: В минуту дверь делает 4 полных вращения. Каждый из трех секторов двери вмещает в себя по 2 человека. Каково максимальное число людей, которое может войти в здание через дверь в течение 30 минут? A) 60 B) 180 C) 240 D) 720 Описание: определить информацию и сконструировать количественную модель для вычисления задачи. Математическая область: количество. Контекст: научный. Вид учебно-познавательной деятельности: рассуждение. Формат вопроса: простой с выбором ответа. Сложность: 4 уровень. Полный ответ: D 720. Ответ не принимается: другие ответы, нет ответа. Комментарии: вопрос 3 задания «Вращающаяся дверь» требует знание понятий «доля» и «пропорции». За одну минуту дверь вращается 4 раза, в результате чего 4*3=12 секторов для входа позволяют 12*2=24 людям войти в здание. За 30 минут может войти 12*30=720 человек. Следовательно, правильным ответом является ответ вариант D. Многие реальные контексты связаны прямо пропорционально, доли часто используются в цепи рассуждений. Обучающийся должен представить реальную ситуацию, визуализируя вращение дверей. Вопрос представлен в контексте научной категории, включающей элементы, объясняющие фактическую причину вещей в реальном мире. Задание 5. Какова величина угла в градусах между двумя перегородками? Величина угла: ............................ . Описание: вычислить центральный угол сектора круга. Математическая область: пространство и форма. Контекст: научный. Вид учебно-познавательной деятельности: применение. Формат вопроса: конструированный. Сложность: 3 уровень. 71
Полный ответ: 120 .. Ответ не принимается: другие ответы, нет ответа. Комментарии: этот вопрос может показаться очень простым - найти угол 120 градусов между двумя крыльями двери. При этом в решении данной задачи необходимо знание логической геометрии. Контекст трехмерных вращающихся дверей должен быть уяснен с письменного описания. Обучающиеся должны визуализировать реальные вращающиеся двери. Данный вопрос не был представлен в тестовых буклетах для казахстанских участников PISA-2012. Задание 6. В своей поездке Айжан проехала 4 км за первые 10 минут, а затем 2 км за последующие 5 минут. Какое из следующих утверждений верно? A) Средняя скорость Айжан была больше в первые 10 минут, чем в последующие 5 минут. B) Средняя скорость Айжан была одинаковая в первые 10 минут и в последующие 5 минут. C) Средняя скорость Айжан была меньше в первые 10 минут, чем последующие 5 минут. D) Невозможно ничего сказать о средней скорости Айжан из данной информации. Описание: сравните среднюю скорость, пройденное расстояние и время. Математическая область: изменения и отношения. Контекст: личностный. Вид учебно-познавательной деятельности: применение. Формат вопроса: простой с выбором ответа. Сложность: 2 уровень. Полный ответ: В - средняя скорость Айжан была одинаковая в первые 10 минут и в последующие 5 минут. Ответ не принимается: другие ответы, нет ответа. Комментарии: задание простого выбора требует сравнение скорости во время путешествия в 4 км за 10 минут с 2 км за 5 минут. Здесь требуется точное математическое понимание скорости как коэффициента, пропорциональность которого является ключевым фактором. Этот вопрос может быть решен путем простейшей пропорции (2 км-4 км, 5 км-10 км). При данном вопросе обучающиеся демонстрируют общее представление о скорости и пропорции. Задание 7. «ГАРАЖ» относится к 1 уровню математической сложности (рис.3). «Основная» серия производителя гаража включает модели только с одним окном и с одной дверью. Марат выбирает следующую модель из «основной» серии. Расположение окна и двери показано здесь ниже. 72
Рис.3
Вопрос 1: Рисунки ниже показывают вид разных «основных» моделей с заднего вида. Только один из этих рисунков соответствует модели, выбранной Маратом выше. Какую модель выбрал Марат? Обведите A, B, C или D.
А) В) С)
D)
Описание: использование пространственных умений для определения изображения в 3Д формате. Математическая область: пространство и форма. Контекст: профессиональный. Вид учебно-познавательной деятельности: интерпретация. Формат вопроса: простой с выбором ответа. Сложность: 1 уровень. Полный ответ: С (Рисунок С). Ответ не принимается: другие ответы, нет ответа. Комментарии: данное задание требует от обучающегося определить картину здания с задней стороны с наличием вида спереди. Такие задачи мысленного вращения решаются обучающимися с помощью интуитивно-пространственной визуализации и использования определенных процессов рассуждения. Они могут анализировать соответствующее расположение компонентов (двери, окна, ближайший угол). Другие могут определить общее представление, а затем исследовать вращение на практике.
На фотографии виден жилой дом, у которого крыша имеет форму пирамиды. Ниже изображена сделанная учащимся математическая модель крыши дома и указаны длины некоторых отрезков. 73
На данной модели пол у чердака дома - квадрат ABCD. Балки, на которые опирается крыша, являются сторонами бетонного блока, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда EFGHKLMN. E - середина ребра AT, F - середина BT, G - середина CT, H - середина DT. Все ребра пирамиды равны 12 м.
Вопрос 1: ЖИЛОЙ ДОМ. Вычислите площадь пола чердака - ква рата ABCD.
Площадь пола чердака - квадрата ABCD = м 2 . Оценка выполнения задания Деятельность: первый уровень компетентности (воспроизведение, определения, вычисления) Содержание: зависимости и связи Ситуация: научная Код 1: 144. Код 0: Другие ответы.
Вопрос 2: ЖИЛОЙ ДОМ Найдите длину отрезка EF - горизонтальной стороны бетонного блока. Длина отрезка EF = м. Оценка выполнения задания Деятельность: второй уровень компетентности (установление связей и интеграция информации для решения задачи)
74
Содержание: пространство и форма Ситуация: профессия Ко 1: 6. Код 0: Другие ответы.
Ниже изображены два игральных кубика.
выполняется следующее правило: Сумма очков, изображенных на двух любых противоположных сторонах кубика, равна семи. Вы можете сделать обычный игральный кубик, вырезая, складывая и склеивая кусочки картона. Это можно сделать разными способами. Ниже изображены четыре развертки куба, на которых нанесены очки. Из каких разверток можно сложить кубик, у которого сумма очков на противоположных сторонах будет равна 7? Обведите слово «Да» или «Нет» в каждой строке следующей таблицы.
2.2 Методические рекомендации по развитию математической грамотности учащихся на основе заданий исследования TIMSS
Образовательные достижения математической подготовки школьников в исследовании TIMSS интерпретируются также в контексте четырехуровневой системы оценивания – продвинутый, высокий, средний и низкий. Стандарт TIMSS достаточно четко распределяет международную шкалу баллов в
75
соответствии с регламентированными требованиями каждого уровня, который приводиться в следующей таблице 2 [9, 10].
Таблица 2 – Уровень математической подготовки 4 класс Продвинутый уровень Учащиеся способны применить знания и демонстрируют:
умения решать сложные задачи и объяснять алгоритм действий;
умения рассуждать при решении ситуативных задач;
умения выбирать соответствующую информацию необходимую для решения многошаговой текстовой задачи;
необходимые для решения обозначенной проблемы;
геометрические знания о некоторых плоских и пространственных фигурах;
понимание обыкновенных и десятичных дробей. Высокий уровень Учащиеся демонстрируют:
умения выполнять решение многошаговых текстовых задач, требующих проведения вычислений с натуральными числами;
также несложных обыкновенных дробей;
способности определения зависимости между данными парами чисел;
умения интерпретировать и использовать данные, представленные в таблицах, диаграммах и графиках. Средний уровень Учащиеся умеют и способны:
поставленным прямым вопросом;
прочитать, проинтерпретировать и использовать различные представления чисел;
продолжить несложные числовые последовательности и последовательности, состоящие из геометрических фигур;
прочитать и интерпретировать одни и те же данные, представленные в различной форме. Низкий уровень Учащиеся демонстрируют:
понимание сложения и вычитания натуральных чисел;
первоначальные знания о простых геометрических фигурах и неформальных координатных плоскостях;
способности понимать информацию, представленную на простых столбчатых диаграммах и таблицах. 76
Результаты учащихся 8-х классов международными экспертами также оценивались по четырем уровням математической подготовки указанной в таблице 3.
Таблица 3 – Уровень математической подготовки 8 класс Продвинутый уровень Учащиеся умеют и демонстрируют:
обобщения и решения нестандартных задач;
решение разнообразных задач, связанных с применением отношений, пропорций и процентов;
применение знаний о числах, алгебраических понятиях и зависимостях;
составление алгебраической модели предложенной ситуации;
применение знаний по геометрии для разрешения сложных задач;
использование данных из различных источников для решения многошаговых задач. Высокий уровень Учащиеся умеют и способны:
устанавливать связи и производить вычисления с обыкновенными и десятичными дробями и процентами;
выполнять действия с целыми отрицательными числами и решать задачи с использованием пропорциональной зависимости величин;
использовать знания свойств геометрических фигур для решения задач на вычисление площади, объема и величины углов;
интерпретировать данные, представленные в графиках и таблицах, решать простые задачи, связанные с вероятностью событий. Средний уровень Учащиеся умеют:
определенных ситуациях;
производить сложение и умножение целых чисел и десятичных дробей для решения одношаговых текстовых задач;
понимать простые алгебраические зависимости;
владеют базовыми геометрическими понятиями, демонстрируют понимание свойств треугольника;
читать и интерпретировать таблицы и графики;
имеют базовые представления о вероятности. Низкий уровень Учащиеся демонстрируют некоторые знания о натуральных числах, десятичных дробях и действиях с ними, стандартных графиках и диаграммах. 77
Одновременно с содержательными областями, в TIMS оцениваются показатели результативности участников тестирования по видам учебно- познавательной деятельности – знание, применение и рассуждение [9]. Теперь остановимся на каждом из видов учебно-познавательной деятельности: 1. Применению отводится максимальный процент заданий, так как главной целью обучения математике является, прежде всего, формирование у школьников способности использовать полученные знания для решения различных задач повседневной жизни. Данный вид включает в себя применение математических инструментов для выполнения широкого круга задач со знакомыми, либо с несколько измененными ситуациями. Представление ситуации формирует основу математического мышления, способность создать аналогичные ситуации является показателем успешности освоения предмета. В данной категории определены пять видов деятельности - выбор, представление, моделирование, выполнение указаний и решение стандартных задач. Содержание каждого вида деятельности отражено в таблице 4.
Таблица 4. Описание тестовых заданий «Применение» Виды деятельности Содержание деятельности Выбор
Выбирать продуктивный метод или стратегию решения задачи, когда известен алгоритм или метод решения, формула или единица измерения. Представление Представлять для себя математическую информацию и данные задания, используя различные модели: диаграммы, таблицы, схемы или графики, создавать эквивалентные формы представления математического объекта илиотношения. Моделирование Создавать соответствующую модель (уравнение, диаграмму, график) для решения стандартной задачи. Выполнение Выполнять логическую последовательность математических указаний и инструкций для построения необходимых фигур. Решение стандартных задач Решать стандартные задачи, используя свойства геометрических фигур. Использовать данные, представленные в форме таблицы, диаграммы, схемы, и графика.
2. Вид деятельности знание сфокусирован на математических фактах, понятий и процедур. Данная категория включает в себя понимание математического языка, которое составляет основу мышления. Следовательно, чем больше соответствующих знаний воспроизводит ученик и шире круг понятий, которыми он может оперировать, тем больше его потенциальная возможность справиться с различными проблемами, требующими использования знаний из области математики.
78
Содержание тестовых заданий отражено в таблице 5.
Таблица 5. Описание тестовых заданий «Знание» Виды деятельности Содержание деятельности Воспроизведение Воспроизводить определения, термины, свойства чисел, геометрические свойства и математические соотношения. Распознавание (идентификация) Распознавать математические объекты, формы, числа и выражения (равные знакомые обыкновенные и десятичные дроби и проценты; тождественно равные алгебраические выражения; простые геометрические фигуры, имеющие различную ориентацию). Вычисление Выполнять алгоритмы простых арифметических действий и их комбинации с натуральными числами, обыкновенными и десятичными дробями и целыми числами. Округлять числа для оценки результатов вычислений и измерений. Выполнять стандартные арифметические и алгебраические процедуры (разделить число в заданном отношении, увеличить или уменьшить число на данный процент, решить уравнение, найти значение выражения, сделать подсчеты по формулам, упростить, разложить на множители, раскрыть скобки,
продолжить алгебраические и числовые выражения). Извлечение информации Извлекать информацию из графиков, таблиц и других источников; читать простейшие шкалы измерения. Использование инструментов Использовать измерительные инструменты (проводить прямые, строить углы или фигуры, имеющие определенные свойства, пользоваться линейкой и циркулем, для построения перпендикуляра к середине отрезка, биссектрисы угла, построения треугольников и четырехугольников по известным элементам этих фигур); адекватно использовать единицы измерения; проводить оценку результатов измерений. Классификация / упорядочивание Классифицировать или группировать объекты, фигуры, числа и выражения согласно общим для них свойствам; выносить верные суждения относительно принадлежности объекта к определенному классу; упорядочивать объекты и числа по их свойствам и признакам. 3. Тестовые задания, предполагающие мыслительную деятельность, как
жүктеу/скачать 1,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|