Линейные уравнения второго порядка

Общее  решение  неоднородного  уравнения  (2)    x(t)  складывается  из 
общего решения x
1
(t
) соответствующего однородного уравнения и какого-либо 
частного решения x
2
(t
) неоднородного уравнения (2) 
x(t) = x
1
(t) + x
2
(t).   
                              (3) 
Для  выполнения  индивидуальных  заданий  необходимо  уметь  решать 
дифференциальное уравнение вида 
 
которое является линейным неоднородным уравнением второго порядка с 
постоянными  коэффициентами.  Для  нахождения  общего  решения 
дифференциального  уравнения  (4)  необходимо  знать  общее  решение 
однородного линейного уравнения 
x''(t) + 2bx'(t) + k
2
x(t) = 0,   
 
              (5) 
которое  ищется  в  виде 
.  В  результате  его  подстановки  в 
уравнение (5) получается характеристическое уравнение 
.                                      (6) 
При решении данного уравнения возможны три случая: 
1)  k  <  b
,  когда  характеристическое  уравнение  (6)  имеет  два  неравных 
действительных  корня 
.  В  этом  случае  имеется  два  линейно 
независимых  решения  и  общее  решение  уравнения  (5)  является  их  линейной 
комбинацией 
;  
                        (7) 
2) k = b
, когда характеристическое уравнение (6) имеет два равных корня 
. Общее решение тогда имеет вид 
x
1
;  
 
                (8) 
3)  k > b
, когда характеристическое уравнение (5) имеет два комплексных 
корня 
. Общее решение уравнения (5) снова является 
линейной комбинацией соответствующих частных 
.  
  (9) 
Далее, используя формулу Эйлера, 
, можно показать, что 
решение (9) сводится к следующему 
,    
           
(9а) 
где D
1
, D
2
 – 
некоторые постоянные. 
В  частном  случае,  когда  b = 0  и 
,  общее  решение  уравнения  (5) 
принимает вид 
.   
 
        (10) 
Для  нахождения  общего  решения  неоднородного  дифференциального 
уравнения  (4)  необходимо  еще  найти  какое-либо  его  частное  решение.  В 
индивидуальных  заданиях  встречаются  варианты,  в  которых  R(t)=A=const  и 
R(t)=Acos(pt+
). В первом случае частное решение уравнения (4) можно искать 
в виде 
. Действительно, подставив это выражение в уравнение (4), 
убеждаемся, что при B=A/k
2
 
оно удовлетворяется при любом t. 
В случае, когда R(t)=Acos(pt+ ) и 
, частное решение можно искать в 
виде: 
, где K и   – постоянные. Если же R(t)=Acos(pt+ ), но p=k, 
частное решение следует искать в виде 
. 
150 
 

жүктеу/скачать 4,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: