Можно, впрочем, определить величину
S
A
и
S
C
и без масштабной
линейки, если просто решить построенный треугольник.
С этой целью воспользуемся теоремой синусов:
откуда, заменяя синус дополнительного угла косинусом, получим:
То есть, результат графического решения совпадает с аналитическим,
значит задача решена правильно.
Пример 5. Центр невесомого идеального блока удерживается при
помощи двух стержней, соединенных шарнирно в точке
В. Через блок
переброшена нить, один конец которой закреплен, а к другому – подвешен груз
весом
Q (рис.10,
а)
. Определить реакции стержней, пренебрегая размерами
блока.
Решение. Рассмотрим равновесие блока
В, к которому приложены силы
натяжения нитей
Т
1
и
Т
2
и реакции отброшенных стержней
S
A
и
S
С
, которые, как
и в предыдущем примере мы считаем растянутыми (рис.10,
б).
Фактически в качестве активной силы выступает вес груза
Q, который
приложен к блоку с помощью нити, поэтому
Т
1
=
Q
. По поводу силы
Т
2
надо
отметить, что идеальным – то есть без трения блоком называется механизм,
который меняет направление силы натяжения нити, но не ее величину, поэтому
Т
1
=
Т
2
=
Q.
Пренебрегая размерами блока, получим уравновешенную систему
сходящихся сил,
приложенных в точке В (рис.10,
в).
Определим реакции
S
A
и
S
С
аналитически. Отметим, что если в первое из
аналитических уравнений равновесия входят оба неизвестных, то в уравнение
Σ
Y
i
= 0 неизвестная реакция
S
С
не войдет, поэтому имеет смысл начать решение
задачи именно с этого уравнения:
S
A
cos30
°+
Т
2
cos60
°−
Т
1
= 0.
Подставляя сюда значения тригонометрических функций и
Т
1
=
Т
2
=
Q,
получим:
Откуда
Теперь вернемся к уравнению Σ
X
i
= 0:
−
S
A
cos60
°+
Т
2
cos30
°+
S
С
= 0,
или
Подставив найденное выше значение
S
A
, получим:
29
При этом минус в последнем выражении означает, что стержень
ВС не
растянут, как мы предполагали, а сжат.
Для проверки полученного результата решим эту задачу графически. С
этой целью от центра
О последовательно откладываем в масштабе известные
силы
Т
1
и
Т
2
, затем от начала первого и от конца последнего вектора проводим
прямые, параллельные
S
A
и
S
С
до их пересечения (рис.10,
г).
Рис.10
Нетрудно видеть, что построенный силовой многоугольник имеет ось
симметрии и |
S
A
|=|
S
С
|. При этом направление вектора
S
С
на силовом
многоугольнике противоположно первоначальному направлению, указанному
на чертеже, то есть стержень
ВС не растянут, а сжат.
Примечания.
1. В системе аналитических уравнений равновесия оси координат не
обязательно должны быть взаимно перпендикулярными, поэтому, если в
последнем примере выбрать ось
Ох, совпадающую по направлению с силой
Т
2
,
мы получим систему уравнений, из которых неизвестные
S
A
и
S
С
находятся
независимо одно от другого.
2. Впоследствии мы увидим, что аналитическое решение можно
проверить не только с помощью графического решения, но и аналитически.
Впрочем, для системы сходящихся сил изложенный
метод решения задач
является, по-видимому, оптимальным.
Достарыңызбен бөлісу: