Теорема Вариньона о моменте равнодействующей. Докажем следующую теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любого центра равен алгеб- раической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра.
Рис.12
Рассмотрим систему сил , сходящихся в точке А (рис.12).
Возьмем произвольный центр О и проведем через него ось Ох,
перпендикулярную к прямой ОА; положительное направление оси Ох выбираем
так, чтобы знак проекции любой из сил на эту ось совпадал со знаком ее
момента относительно центра О.
Для доказательства теоремы найдем соответствующие выражения
моментов m
0
( ), m
0
(
), … . По формуле
. Но, как видно
из рисунка,
где F 1x
-
проекция силы на ось Ох;
следовательно
.
Аналогично вычисляются моменты всех других сил.
Обозначим равнодействующую сил
, через, где
.
Тогда, по теореме о проекции суммы сил на ось, получим
. Умножая
обе части этого равенства на ОА, найдем:
