Свободное падение без начальной скорости ( =0) (рис. 26).
При выбранной системе координат движение тела описывается
уравнениями:
.
Из последней формулы можно найти время падения тела с высоты h:
.
Подставляя найденное время в формулу для скорости, получим модуль
скорости тела в момент падения:
.
Движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной
скоростью (рис. 27)
Рис.26 Рис.27
Движение тела описывается уравнениями:
Из уравнения скорости видно, что тело движется равнозамедленно вверх,
достигает максимальной высоты, а затем движется равноускоренно вниз.
Учитывая, что при y=hmax скорость
и в момент достижения телом
первоначального положения у=0, можно найти:
—
время подъема тела на максимальную высоту;
—
максимальная высота подъема тела;
—
время полета тела;
—
проекция скорости в момент достижения телом
первоначального положения.
Движение тела, брошенного горизонтально
Если скорость направлена не вертикально, то движение тела будет
криволинейным.
Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально с высоты h со
скоростью (рис. 28). Сопротивлением воздуха будем пренебрегать. Для
описания движения необходимо выбрать две оси координат — Ох и Оу. Начало
отсчета координат совместим с начальным положением тела. Из рис.28 видно,
что
,
,
,
.
96
Рис.28
Тогда движение тела опишется уравнениями:
,
(3)
,
(4)
Анализ этих формул показывает, что в горизонтальном направлении
скорость тела остается неизменной, т.е. тело движется равномерно. В
вертикальном направлении тело движется равноускоренно с ускорением g, т.е.
так же, как тело, свободно падающее без начальной скорости. Найдем
уравнение траектории. Для этого из уравнения (3) найдем время
и, подставив его значение в формулу (4), получим:
Это уравнение параболы. Следовательно, тело, брошенное горизонтально,
движется по параболе. Скорость тела в любой момент времени направлена по
касательной к параболе (см. рис. 28). Модуль скорости можно рассчитать по
теореме Пифагора:
Зная высоту h, с которой брошено тело, можно найти время t1, через
которое тело упадет на землю. В этот момент координата у равна высоте у
1
=h.
Из уравнения (4) находим:
Отсюда
Формула (5) определяет время полета тела. За это время тело
пройдет в горизонтальном направлении расстояние l, которое называют
дальностью полета и которое можно найти на основании формулы (3),
учитывая, что l=x
1
. Следовательно,
—
дальность полета тела. Модуль
скорости тела в этот момент
.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Пусть тело брошено под углом α к горизонту со скоростью . Как и в
предыдущих случаях, будем пренебрегать сопротивлением воздуха. Для
описания движения необходимо выбрать две оси координат — Ох и Оу (рис.
29).
Рис.29
97
Начало отсчета совместим с начальным положением тела. Проекции
начальной скорости на оси Оу и Ох:
,
. Проекции
ускорения:
,
Тогда движение тела будет описываться уравнениями:
(6)
(7)
(8)
(9)
Из этих формул следует, что в горизонтальном направлении тело
движется равномерно, а в вертикальном — равноускоренно.
Траекторией движения тела будет парабола. Учитывая, что в верхней
точке параболы
, можно найти время подъема тела до верхней точки
параболы:
Подставив значение t
1
в уравнение (8), найдем максимальную высоту
подъема тела:
—
максимальная высота подъема тела.
Время полета тела находим из условия, что при t=t
2
координата у
2
=0.
Следовательно,
. Отсюда,
—
время полета тела.
Сравнивая эту формулу с формулой (10), видим, что t
2
=2t
1
.
Время движения тела с максимальной высоты t
3
=t
2
-t
1
=2t
1
-t
1
=t
1
.
Следовательно, сколько времени тело поднимается на максимальную высоту,
столько времени оно опускается с этой высоты. Подставляя в уравнение
координаты х (6) значение времени t
2
, найдем:
-
дальность полета тела.
Мгновенная скорость в любой точке траектории направлена по
касательной к траектории (см. рис. 29), модуль скорости определяется по
формуле
Таким образом, движение тела, брошенного под углом к горизонту или в
горизонтальном направлении, можно рассматривать как результат двух
независимых движений — горизонтального равномерного и вертикального
равноускоренного (свободного падения без начальной скорости или движения
тела, брошенного вертикально вверх).
98
|