Экономикалық-математикалық әдістер    118 3. ДИНАМИКАЛЫҚ ПРОГРАММАЛАУ ƏДІСІ

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
118
3. ДИНАМИКАЛЫҚ ПРОГРАММАЛАУ ƏДІСІ 
 
Бұл  əдіс  экономика  саласындағы  көп  нұсқалы,  комбинаторлы 
сипат алатын тапсырмаларды шешу барысында, яғни шешімдердің 
көп  мөлшерін  зерттеу  жəне  бағалау  қажеттігі  туған  кезде 
қолданылады.  Динамикалық  бағдарламалау  негізінде  Беллманның 
тиімділік принципі жатыр, ол былайша сипатталады:  
Егер  белгілі  бір  кезең  ішінде  алдындағы  шешімдер  қандай 
болғанына қарамастан, енді қабылдау керек шешімдер алғашқы 
шешімдерге  қрағанда  тиімді  саясатты  құрса,  кез  келген  саясат 
тиімді болып табылады. 
 
 
3.1.  Есептеу  əдісінің  табиғаты.  Беллманның  рекурентті 
қатынастары. 
Есептеу əдісінің табиғатын қарастырайық. 
Мынаны анықтау керек:  
)
(
max
,...
,
max
1
2
1
x
x
x
x
Z
i
i
n
i
n
f
Σ
=
=
 
Бұл жерде мынадай шектеулер бар: 
 
,
,
0
,
0
1
≥
>
=
=
Σ
x
a
где
b
x
a
i
i
i
i
n
i
 
мұндағы в – бүтін сандар 
 Z* = max Z арқылы белгілейік. 
+
=
)
(
x
f
n
n
Z
)
(
1
1
x
i
i
n
i
f
Σ
−
=
 делік, 
онда Z  x
n  
-нің нақты мəні үшін мынадай түрге ие болады: 
)
(
max
,...
,
)
(
)
(
)
(
max
,...
,
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
Z
i
i
n
i
n
n
n
i
i
n
i
n
n
n
f
x
f
f
x
f
Σ
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
Σ
+
=
−
=
−
−
=
−
=
 
x
x
x
x
n
i
i
n
i
f
1
2
1
1
,...
,
)
(
max
−
=
Σ
    соммасы  үшін   
y
x
a
b
x
a
n
n
n
i
i
n
i
1
1
1
−
=
−
=
−
=
Σ
шарты 
орындалады.  

Әлжанова Н.Ш., Сәбитова Х.К. 
 
119
х
n 
көлемдеріне барлық мүмкін болар 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
÷
=
a
a
x
n
n
n
b
где
b
,
0
  
мəндерін береміз, мұндағы ............осы мəннің толық мағынасын 
ғана білдіреді.  
Осы жағдайда, көріп отырғанымыздай,  
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Σ
+
=
−
=
−
)
(
max
,...
,
)
(
max
*
1
1
1
2
1
x
x
x
x
x
Z
i
i
n
i
n
n
n
n
f
x
f
. мұндағы 
Осының  барысында  x
n 
–  нің  мəніне  байланысты  көптеген 
тапсырмалар 
туындайды, 
яғни 
түрлі 
x
n
 
үшін  
yn
i
ai
n
i
x
1
1
1
−
−
=
=
Σ
шарты  арқылы  мынадай  тапсырманы  шешуге 
тура келеді: 
)
(
max
,...
)
(
1
1
1
1
1
1
x
x
x
i
i
n
i
n
n
n
f
x
Σ
=
−
=
−
−
−
λ
  
Осылайша, алдыңғы тапсырмаға 1-ге кем айнымалылар саны 
арқылы ұқсас тапсырманы алдық. Осыған орай,  
[
]
)
(
)
(
max
*
y
x
x
Z
i
n
i
n
n
n
n
f
−
−
+
=
λ
    
тапсырмасы орындалады. 
,
1
b
x
i
i
n
i
a
=
Σ
=
 шарты орындалған кезде, өз 
кезегінде 
)
( y
i
n
i
n
−
−
λ
мəнін былайша елестетуге болады: 
,
,
1
1
1
y
x
n
i
i
n
i
a
−
−
=
=
Σ
 
шарты 
арқылы 
)
(
1
1
y
n
n
−
−
λ
=   
[
]
)
(
)
(
max
2
2
1
1
1
y
x
x
n
n
n
n
n
f
−
−
−
−
−
+
λ
; 
,
,
2
2
1
y
x
n
i
i
n
i
a
−
−
=
=
Σ
 
шарты 
арқылы 
)
(
2
2
y
n
n
−
−
λ
=
[
]
)
(
)
(
max
3
3
2
2
2
y
x
x
n
n
n
n
n
f
−
−
−
−
−
+
λ
; 
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
 

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
120
y
x
i
i
i
a
3
3
1
=
Σ
=
 шарты арқылы
)
(
3
3
y
λ
=
[
]
)
(
)
(
max
2
2
3
3
3
y
x
x
f
λ
+
 
y
x
i
i
i
a
2
2
1
=
Σ
=
 шарты арқылы
)
(
2
2
y
λ
=
[
]
)
(
)
(
max
1
1
2
2
2
y
x
x
f
λ
+
; 
у
х
а
условиях
при
x
f
y
1
1
1
)
1
(
1
)
1
(
1
=
=
λ
арты арқылы 
Ары  қарай  кері  үрдіс  жүреді.  Бұл  қатынастар  Беллманның 
рекурентті қатынастары деп аталады.  
Бұл  əдістің  капитал  құюдың  орнын  ауыстыру  жөніндегі 
есептерді  шешуді  мысалға  ала  отырып,  нақты  экономикалық 
тапсырмаларды  шешу  барысында  қалай  қолданылатынын 
қарастырайық.  Тапсырма  мынадай  сипат  алады: 10 млн.  теңге 
берілген, оларды 4 экономикалық объект арасында бөліске салу 
керек.  Əр  объектіге  бүтін  санды  теңге  көлеміндегі  сомма 
құйылады,  осының  барысында  алынуы  мүмкін  табыс  көлемі 
белгілі  болады.  Капитал  құюды  объектілер  арасында  бөліске 
салуда  сомалық  табыс  ең  жоғарғы  мəнге  ие  болу  керектігі 
ескерілуі тиіс. Табыстың əр объектіге капитал құюға байланыс-
тылығы кесте түрінде көрсетілген (32-кесте). 
 
32-кесте 
Табыс 
 
Капитал құю 
1 2 
3 4 
0 0 
0 
0 
0 
1 
12 11 
10 12 
2 
21 20 
22 21 
3 
32 31 
30 32 
4 
40 41 
42 43 
5 
51 52 
53 50 
6 
61 63 
60 62 
7 
73 72 
71 70 
8 
82 80 
81 82 
9 
90 91 
93 92 
10 101 
100 
103 
102 
 
Бұл тапсырма өз табиғаты жағынан комбинаторлы жəне оны 
шешу үшін 10 санын 4 топқа жіктеуді бүтін сандар ішінен теріп 

Әлжанова Н.Ш., Сәбитова Х.К. 
 
121
ала  отырып  бағалау  қажет,  яғни  мына  сияқты  барлық  мүмкін 
болар нəтижелер үшін сомалық табысты есептеп шығу шарт: 
 
 (10,0,0,0); (0,10,0,0); … 
(9,1,0,0) ; (9,0,1,0) ; 
………………………… 
(7,2,1,0) ; (7,1,2,0) ;… 
………………………… 
(4,3,2,1) ; (4,2,3,1) ; … 
 
Осы  тапсырманы  динамикалық  бағдарламалау  əдісі  арқылы 
шешеміз. 
Былайша белгілейік: 
f
1
(x
1
) – табыстың 1-объектіге  капитал  құюға  тəуелділігі 
функциясы; 
f
2
(x
2
) - табыстың 2-объектіге  капитал  құюға  тəуелділігі 
функциясы; 
f
3
(x
3
) - табыстың 3-объектіге  капитал  құюға  тəуелділігі 
функциясы; 
f
4
(x
4
) - табыстың 4-объектіге  капитал  құюға  тəуелділігі 
функциясы. 
Бұл  тапсырманың  математикалық  моделі  мынадай  түрге  ие 
болады: 
10
4
1
=
Σ
=
x
i
i
 
шарты 
орындалған 
кезде 
)
(
max
,
,
,
max
4
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
Z
i
i
i
f
Σ
=
=
  мəнін табу керек.  
Көріп  отырғанымыздай,  бұл – динамикалық  бағдарламалау 
тапсырмасы.  Оны  Беллманның  рекурентті  қатынастарын 
қолдана отырып шешеміз. 
Беллманның 
рекурентті 
қатынастарына 
сəйкес, 
10
,
0
,
0
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
=
=
=
у
у
х
у
х
где
x
f
y
λ
 мұндағы 
Ары  қарай 
)
(
2
2
y
λ
мəнін  анықтайық.  Беллманның  рекурентті 
қатынастарының негізінде:  

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
122
)
(
2
2
y
λ
=
[
]
)
(
)
(
max
1
1
2
2
2
y
x
x
f
λ
+
    болады, мұндағы  
10
,
0
0
2
2
2
2
2
1
,
=
−
=
=
y
x
x
y
y
y
  мысалы 
)
1
(
2
λ
табу  үшін  мынадай 
сомаларды есептеп шығару қажет: 
 
,
12
]
11
,
12
max[
)
1
(
,
12
0
11
)
0
(
)
1
(
12
12
0
)
1
(
)
0
(
2
1
2
1
2
=
=
=
+
=
+
=
+
=
+
λ
λ
λ
тогда
f
f
 
 
онда 2 объектіге бір мезгілде енгізілген 1 млн. теңге көлеміндегі 
капитал құюдың тиімді саясаты мынадай болады: 1 млн. теңге 1-
объектіге құйылады (1,0). 
)
2
(
2
λ
 анықтау үшін келесі сомаларды есептеп шығарамыз: 
 
 
23
]
20
,
23
,
21
max[
)
2
(
20
0
20
)
0
(
)
2
(
23
12
11
)
1
(
)
1
(
21
21
0
)
2
(
)
0
(
2
1
2
1
2
1
2
=
=
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
λ
λ
λ
λ
тогда
f
f
f
 
 
Капитал  құюдың  тиімді  саясаты  осының  барысында 
мынадай болады: 1 млн. теңгені 1-объектіге жəне 1 млн. теңгені 
2-объектіге құю керек (1,1). 
Мысалы, 
)
5
(
2
λ
  қалай  есептеліп  шығатынын  көрсетейік.  Ол 
үшін мынадай сомаларды анықтау қажет:  
 
53
]
52
,
53
,
52
,
52
,
51
,
51
max[
)
2
(
52
0
52
)
0
(
)
5
(
53
12
41
)
1
(
)
4
(
52
21
31
)
2
(
)
3
(
52
32
20
)
3
(
)
2
(
51
40
11
)
4
(
)
1
(
51
51
0
)
5
(
)
0
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
=
=
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
f
f
f
f
f
f
              
 

Әлжанова Н.Ш., Сәбитова Х.К. 
 
123
Есептеуді  осылайша  жалғастыра  келе,  алғашқы 2 объектіге 
бір  мезгілде 0,1,2,..., 10 млн.  теңге  ақша  құю  жағдайындағы 
сомалық  табыс  пен  капитал  құюдың  тиімді  саясатын  аламыз. 
Есептеулер нəтижелерін 33-кестеге орналастырамыз.   
 
 33-кесте 
Капитал құю 
λ
1
=f
1
(x
1
) 
f
2
(x
2
) f
3
(x
3
) 
0 0 0 0 
1 12 11 
12(1,0) 
2 21 20 
23(1,1) 
3 32 31 
32(2,1) 
4 40 41 
43(3,1) 
5 51 52 
53(1,4) 
6 61 63 
64(1,5) 
7 73 72 
75(1,6) 
8 82 80 
84(1,7) 
9 90 91 
95(3,6) 
10 101 100 
104(3,7) 
 
Кестенің  бірінші  бағанында  капитал  құюдың  шамалары 
жазылған,  екінші  жəне  үшінші  бағандарда  табыстың  сəйкес 
мəндері берілген, ал төртінші бағанда есептеулердің нəтижелері: 
капитал  құюдан  екі  объектіге  бір  мезгілде  түскен  ең  жоғарғы 
сомалық  табыстың  мəндері  жазылған  жəне  жақшаның  ішінде 
тиімді  саясат  көрсетілген.  Есептеудің  келесі  кезеңінде  капитал 
құю  үш  объект  арасында  бөліске  түскендегі  капитал  құюдың 
тиімді  саясатын  анықтаймыз.  Беллманның  рекурентті  қатынас-
тарының негізінде мыналар белгілі болады:   
 
)
(
3
3
y
λ
=
[
]
)
(
)
(
max
2
2
3
3
3
y
x
x
f
λ
+
, мұндағы 
  
х
у
у
у
х
у
3
3
2
3
3
3
1
,
0
10
0
,
−
=
=
=
 
 
Есептеулердің  нəтижелерін 33-кестеге  ұқсас 34-кестеге 
жазамыз: 
       

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
124
34-кесте 
Капитал құю 
f
3
(x
3
) 
2
λ
=(у
2
) 
3
λ
=(у
3
) 
0 0 0(0,0) 0(0,0,0) 
1 10 
12(1,0) 12(1,0,0) 
2 22 
23(1,1) 23(1,1,0) 
3 30 
32(2,1) 34(1,0,2) 
4 42 
43(3,1) 45(1,1,2) 
5 53 
53(1,4) 54(2,1,2) 
6 60 
64(1,5) 65(3,1,2) 
7 71 
75(1,6) 76(1,1,5) 
8 81 
84(1,7) 86(1,5,2) 
9 93 
95(3,6) 97(1,6,2) 
10 103 
104(3,7) 106(1,7,2) 
 
Мысалы,  
3
λ
(4) қалай анықталғанын көрсетеміз. 
f
3
(0)+ 
2
λ
(4) = 0 + 43 + = 43 
f
3
(1)+ 
2
λ
(3) = 10 + 32 = 42 
f
3
(2)+ 
2
λ
(2) = 22 + 23 = 45 
f
3
(3)+ 
2
λ
(1) = 30 + 12 = 42 
f
3
(4)+ 
2
λ
(0) = 0 + 42 = 42 
3
λ
(4) = max[43.42.45.42.42] = 45, 
 
Осының  барысында тиімді саясат мынадай  болады: 2 млн. 
теңгені - алғашқы 2 объектіге, 2 млн.  теңгені  үшінші  объектіге 
құю керек. Алғашқы 2 объектіге 2 млн. теңге құю саясаты тиімді 
болатынын ескере отырып (1,1), 4 млн. теңгені үш объектіге бір 
мезгілде құюдың келесідей тиімді саясатын аламыз: 1 илн. теңге 
– бірінші объектіге, 1 млн. теңге – екінші объектіге жəне 2 млн. 
теңге  үшінші  объектіге  құйылады,  яғни 34-кестенің 4-
графасында көрсетілген (1,1,2) мəнін аламыз.  
Есептеулерді  жалғастыра  отырып,  мыналарды  анықтауға 
болады: 
 
)
(
4
4
y
λ
=
[
]
)
(
)
(
max
3
3
4
4
4
y
x
x
f
λ
+
 , мұндағы 

Әлжанова Н.Ш., Сәбитова Х.К. 
 
125
  
х
у
у
у
х
у
4
4
3
4
4
4
1
,
0
10
0
,
−
=
=
=
 
35-кесте 
Капитал құю 
f
4
(x
4
) 
3
λ
=(у
3
) 
4
λ
=(у
4
) 
0 0 
0(0,0,0) 
 
1 12 
12(1,0,0) 
 
2 21 
23(1,1,0) 
 
3 32 
34(1,0,2) 
 
4 43 
45(1,1,2) 
 
5 50 
54(2,1,2) 
 
6 62 
65(3,1,2) 
 
7 70 
76(1,1,5) 
 
8 82 
86(1,5,2) 
 
9 92 
97(1,6,2) 
 
10 102 
106(1,7,2) 
109(1,6,2,1) 
 
Осылайша, 10 млн. теңгені 4 объектіге бір мезгілде құюдан 
ең көп пайда түсіру оларды келесідей бөлгенде жүзеге асады: 1 млн. 
теңген – бірінші  объектіге, 6 млн.  теңге – екінші  объектіге, 2 млн. 
теңге – үшінші  объектіге  жəне 1 млн.  теңге – төртінші  объектіге 
құлуы керек. Осының барысында табыс 109 бірлікті құрайды. 
              
 

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
126
4. ЭКОНОМИКАНЫ ТАЛДАУДЫҢ БАЛАНСТЫҚ ƏДІСІ 
 
 
Салааралық  баланстық  модельдер  макроэкономикалық 
талдаудың негізін құрайды. Бұл модельдер елдің экономикалық 
дамуының  ең  маңызды  деген  сапалық  жəне  құрылымдық 
сипаттарын  болжамдау  үшін  қолданыла  алады.  Олардың 
негізінде  салалардың  арасындағы  өзара  байланыстарды  жүйелі 
түрде  талдау  жүргізіледі,  негізгі  экономикалық  пропорциялар 
анықталады,  экономикадағы  баға  туындауының  ерекшеліктері 
мен  құрылымдық  алға  жылжулар  қарастырылып,  өндірістің 
экономикалық тиімділігі зерттеледі. 
Өзара  байланысты  n  саладан  немесе  өндірістен  тұратын 
кейбір  экономикалық  жүйені  қарастырайық.  Əр  сала  өнімінің 
бір бөлігі жүйенің ішінде өндіріс құралдары, шикізат, жартылай 
фабрикаттар  жəне  т.б.  ретінде  қолданылады  (өндірісішілік 
қолданыс),  ал  жекелей  сыртқы  қолданысқа  жіберіледі  (соңғы 
өнім).  Осылайша,  зерттеліп  отырған  экономикалық  жүйенің 
əрбір  саласы  немесе  өндірісі,  бір  жағынан,  өнімді  өндіруші 
ретінде, екінші жағынан, оны тұтынушы ретінде көрінеді. 
Тапсырманың берілуінің екі нұсқасы болуы мүмкін. 
1. Жүйенің барлық салалары өндірісінің валдық деңгейлері 
берілген, əр саланың соңғы өнімінің көлемін анықтау қажет; 
2.  Жүйенің  барлық  салаларының  соңғы  өнімінің  жоспар 
бойынша  белгіленген  деңгейі  берілген,  валдық  өнімнің  соңғы 
өнім  бойынша  құрылған  тапсырмаларға  да,  өндірістің  технология-
лық құрылымына да негізделген сəйкес шамаларын анықтау қажет. 
х
і
 
арқылы – і-інші  саланың  валдық  өндірісін,  у
і 
арқылы 
оның соңғы өнімін белгілейміз (і = 1,n ). 
Онда  x
i
 - у
i 
  i - інші    саланың  осы  саланы  қоса  алғанда 
жүйенің  басқа  салаларының  тұтынуына,  яғни  өндірісішілік 
тұтынуға  жіберілетін  өнімнің  бөлігін  көрсетеді.  x
i j
  арқылы  i – 
інші саланың j –інші сала тұтынатын өнімінің көлемін көрсетеді 
(
n
ij
,
1
=
).  Осы  белгілеулерді  ескере  отырып,  тапсырманың 
барлық берілгендерін кестеге орналастырамыз (36-кесте).  
 
 
 

Әлжанова Н.Ш., Сәбитова Х.К. 
 
127
36-кесте 
Тұтыну 
 
 
 
Саланың
 
№
 
 
1 
 
2 
 
… 
 
j 
 
… 
 
n 
Өндірісі-
шілік  
тұтыну 
 
Соңғы 
өнім 
Вал-
дық 
өнім 
Өндіріс
 
n
i
Μ
Μ
2
1
 
x
x
x
x
n
i
1
1
21
11
Λ
Λ
 
x
x
x
x
n
i
2
2
22
12
Λ
Λ
 
Λ
Λ
Λ
Λ
Κ
Κ
 
x
x
x
x
nj
ij
j
j
Λ
Λ
2
1
 
Λ
Λ
Λ
Λ
Κ
Κ
 
x
x
x
x
nn
in
n
n
Λ
Λ
2
1
 
x
x
x
x
nj
n
j
ij
n
j
j
n
j
j
n
j
Σ
Σ
Σ
Σ
=
=
=
=
1
1
2
1
1
1
Λ
Λ
 
y
y
y
y
n
i
Κ
Κ
2
1
 
x
x
x
x
n
i
Κ
Κ
2
1
 
 
Көріп  отырғанымыздай  кестенің  жолдарында  орналасқан 
шамалар келесі баланстық теңдіктермен байланысты:  
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
2
2
22
21
2
1
1
1
12
11
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
+
+
+
+
−
=
+
+
+
+
−
=
+
+
+
+
+
−
=
+
+
+
+
+
−
+
y
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
n
nn
nj
n
n
n
i
in
ij
i
i
i
n
j
n
j
Κ
Κ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Κ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
 
Осы  кестені,  сонымен  қатар  баланстық  қатынастарды (1) 
өткен кезеңнің экономикалық жүйесі үшін құруға болады. (Ары 
қарай жүйенің барлық өлшемдері ақшалай көрініс табу арқылы 
қарастырылады  деген  болжам  жасауға  болады).  Баланстық 
əдістердің  тапсырмасы  болып  болашақтағы  (жоспарланған) 
кезеңге арналған жүйенің негізгі өлшемдерін анықтау табылады. 
Алайда  жүйе (1) берілген  мəндер  бойынша,  мысалы,  соңғы 
өнімді  у
i
(і=1,n),  x
i
  (і=1,n)  салаларының  валдық  өнімдерінің 
көлемін  анықтауға  мүмкіндік  бермейді,  өйткені  x
i 
белгісіздері-

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
128
нен басқа жүйе  n
2
  x
ij 
белгісіздерін қамтиды, бұлар өз кезегінде 
x
i 
мəніне тəуелді.  
Сондықтан жүйені (1) келесі түрде құрамыз. а
ij
 шамаларын 
енгіземіз, олар мына формула бойынша анықталады:  
)
2
(
,
1
,
;
n
j
i
x
x
a
j
ij
ij
=
=
 
Бұл  шамалар  тікелей  шығындардың  коэффициенті  деп 
аталады.  Олар  i-інші  сала  өнімдерінің    j-інші  сала  өнімдерінің 
бірліктерін  өндіруге  кеткен  шығындарды  анықтайды  жəне  ең 
бастысы      j-інші  саланың  өндіріс  технологиясына  байланысты. 
Сондықтан бұл коэффициенттер технологиялық деп те аталады. 
Бұл коэффициенттер өткен уақытты да, болашақты да қамтитын 
уақыт кезеңінің ішінде еш өзгермейді деп санауға болады, яғни 
ол былайша көрініс табады:  
)
3
(
const
x
x
a
j
ij
ij
=
=
 
Осыдан мынадай теңдік аламыз:  x
ij
 = а
ij
 x
j              
(4) 
 
(4) негізінде жүйе (1) мынадай түрге ие болады:  
 
)
5
(
)
1
(
2
2
1
1
)
1
(
2
2
1
1
2
2
2
2
)
22
1
(
1
21
1
1
1
2
12
1
)
12
1
(
)
2
2
1
1
(
)
2
2
1
1
(
2
)
2
2
2
22
1
21
(
2
1
)
1
1
2
12
1
11
(
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
+
−
−
−
−
−
=
−
−
−
+
−
−
−
=
−
−
−
−
−
+
−
=
−
−
−
−
−
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
+
+
+
+
−
=
+
+
+
+
+
−
=
+
+
+
+
+
−
=
+
+
+
+
+
−
yn
xn
ann
x j
anj
x
an
x
an
yi
xn
ain
x j
aij
x
ai
x
ai
y
xn
a n
x j
a j
x
a
x
a
y
xn
a n
x j
a j
x
a
x
a
или
yn
xn
ann
x j
anj
x
an
x
an
xn
yi
xn
ain
x j
aij
x
ai
x
ai
xi
y
xn
a n
x j
a j
x
a
x
a
x
y
xn
a n
x j
a j
x
a
x
a
x
Λ
Κ
Μ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Κ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Κ
Κ
Λ
Κ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Κ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Κ
Λ
Κ
 

Әлжанова Н.Ш., Сәбитова Х.К. 
 
129
Жүйені (5) жинақталған матрица түрінде жазамыз: 
 
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
−
y
y
y
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
nn
n
n
n
n
y
x
A
E
где
y
x
A
E
Μ
Μ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
2
1
2
1
2
1
2
22
21
1
12
11
;
;
)
6
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
,
)
(
 
 
А матрицасын тікелей шығындар матрицасы, құрылымдық 
немесе технологиялық матрица деп атайды.  
(6) жүйені шеше отырып, мына теңдікті аламыз: 
 
Х = (Е - А)
-1
у              (7) 
 
(
)
nxn
ij
b
B
A
E
=
=
−
−1
деп  белгілей  отырып, (7) жүйені 
жазамыз: 
 
Х = Ву                    (8) 
 
Осылайша, (6) жəне (8) желілік теңдіктер жүйесі зерттеліп 
отырған  экономикалық  жүйенің  баланстық  модельдерін 
білдіреді. Олар болашақ (жоспарланған)  кезең үшін соңғы өнім 
векторын  тудыра  отырып,  жүйе  салаларының  валдық 
өнімдерінің қажетті көлемдерін анықтауға мүмкіндік береді.  
Сонымен  қатар  В  матрицасының  элементтері  үлкен 
экономикалық  мазмұнға  ие.  Шындығында,  осы  экономикалық 
жүйеде 1-саланың  соңғы  өнімінің  бір  бірлігі  өндіріледі  делік, 
яғни: 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
0
0
1
Μ
y
,  онда  у    мəнін (8) жүйесіне  қоя  отырып,  жүйе 

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
130
салаларының  валдық  өнімінің  соңғы  өнімнің  осы  бірліктерінің 
өндірілуін қамтамасыз ететін шамаларын аламыз: 
 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
x
x
x
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
n
n
nn
n
n
n
n
x
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
2
1
1
21
11
2
1
2
22
21
1
12
11
0
1
 
 
Осы  жерден  мынадай  теңдіктер  шығады:  x
1
 = b
11
 , x
2
 = b
21
 
,..., x
n
 = b
n1 
,  яғни 1-саланың  соңғы  өнімінің  бір  бірлігін  өндіру 
үшін 1-сала өнімінің b
11 
бірлігін, 2-сала өнімінің b
21 
бірлігін жəне 
n саласы өнімінің b
n1 
бірлігін шығындау қажет.  
Осы  берілген  экономикалық  жүйеде 2-саланың  соңғы 
өнімінің  бір  бірлігі,  яғни 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
0
1
0
Μ
y
  өндіріледі  делік.  у-тің  осы 
мəнін (8) жүйесіне қоя отырып, мына теңдікті аламыз:  
 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⋅
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
x
x
x
n
nn
n
n
n
n
n
y
B
x
2
22
12
2
1
2
22
21
1
12
11
2
1
0
1
0
Μ
Μ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Μ
 
 
Бұдан  шығатыны:  x
1
 = b
12
 , x
2
 = b
22
 ,..., x
n
 = b
n2
  ,  яғни 2-
саланың  соңғы  өнімінің  бір  бірлігін  дайындау  үшін 1-сала 
өнімінің  b
12 
  бірлігін, 2-сала  өнімінің  b
22 
бірлігін  жəне n-сала 
өнімінің b
n2
 бірлігін шығындаймыз, жəне соңында осыған ұқсас 
жолмен  қарастыра  отырып,  бұл  экономикалық  жүйеде  n-інші 
саланың соңғы өнімінің бір бірлігі өндіріледі деуімізге болады, 
яғни 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1
0
0
Μ
y
. у-тің осы мəнін (8) жүйесіне қоя отырып, жүйеде 

Әлжанова Н.Ш., Сәбитова Х.К. 
 
131
n-інші  саланың  соңғы  өнімінің  бір  бірлігін  өндіру  үшін 1-
саланың  b
1n
 бірлігін, 2-саланың b
2n
 бірлігін жəне n-інші саланың 
b
nn 
бірлігін шығындау қажет екендігін анықтаймыз. 
Осылайша,  В = (Е – А)
-1
  матрицасының  элементтері 
қарастырылып  отырған  экономикалық  жүйе  салаларының  осы 
жүйенің  соңғы  өнім  бірліктерін  өндіруге  кеткен  шығындарын 
көрсетеді  жəне  толық  шығындар  коэффициенті  деп  аталады. 
Олар тікелей шығындарды да, жанама шығындарды да қамтиды. 
Егер 
nxn
ij
S
S
=
арқылы жанама шығындар матрицасын бел-
гілесек, онда 
nxn
ij
ij
nxn
ij
a
b
S
S
−
=
=
екендігі анықталады.  
Жоғарыда  айтылғандарды 2 өндірістік  саладан  тұратын 
келесі тапсырманы шешу барысында талқылаймыз: 
37-кесте 
Тұтыну 
 
1 2 
Соңғы 
өнім 
Валдық 
өнім 
1 100 
160  240 
500 
Өндіріс 
2 275 40  85 
400 
 
Осы  берілгендер  бойынша  тікелей  шығындар  коэффи-
циенттерін есептеп шығарамыз: 
 
1
,
0
400
40
,
55
,
0
500
275
4
,
0
0
40
0
16
,
2
,
0
0
0
5
0
0
1
2
22
22
1
21
21
2
12
12
1
11
11
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
 
 
Тікелей шығындар матрицасы: 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
1
,
0
55
,
0
4
,
0
2
,
0
A
 
 
Онда желілік баланстық модель мынадай болады: 
(Е – А)х = у мынадай түрге ие болады: 
 
 

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
132
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
−
=
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
−
y
y
A
E
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
y
y
x
x
x
x
x
x
0,9
 
0,55
0,4
0,8
0,9
 
0,55
0,4
0,8
0,9
0,55
0,4
0,8
A)x
E
(
9
,
0
55
,
0
4
,
0
8
,
0
1
,
0
55
,
0
4
,
0
2
,
0
1
0
0
1
 
Бұл 2 белгісізі  бар 2 теңдік  жүйесі  соңғы  өнім 
құрылымындағы  кез  келген  өзгерстің  валдық  өнімге  əсерін 
зерттеу  үшін  соңғы  өнімнің  у
1
 , у
2
  берілген  мəндері  бойынша 
зерттеліп  отырған  x
1
  жəне  х
2
  экономикалық  жүйелері 
салаларының валдық өнімдерін анықтау үшін қолданыла алады.  
Енді  толық  өндірісішілік  шығындарды  жəне 2-баланстық 
модельді анықтаймыз:  
)
(
1
)
(
.
)
(
1
1
A
E
A
E
A
E
y
A
E
x
−
−
=
−
−
=
−
−
, 
мұндағы 
А
Е
−
- (Е-А)  матрицасының  анықтағышы.  біріккен 
матрица алгебралық қосымшалар 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
−
=
−
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
=
−
−
−
−
+
+
+
+
6
,
1
1
,
1
8
,
0
8
,
1
8
,
0
55
,
0
4
,
0
9
,
0
2
8
,
0
55
,
0
4
,
0
9
,
0
5
,
0
1
)
(
8
,
0
55
,
0
4
,
0
9
,
0
)
(
5
,
0
22
,
0
72
,
0
8
,
0
)
1
(
)
(
4
,
0
)
4
,
0
(
)
1
(
)
(
55
,
0
)
5
,
0
(
)
1
(
)
(
9
,
0
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
22
22
2
2
22
21
21
1
2
21
12
12
2
1
12
11
11
1
1
11
22
12
21
11
A
E
A
E
A
E
M
M
A
E
M
M
A
E
M
M
A
E
M
M
A
E
M
A
E
дополнения
ские
алгебраиче
A
E
A
E
A
E
A
E
A
E
A
E
матрица
еная
присоединн
A
E
ij
ij
ij
ij
 

Әлжанова Н.Ш., Сәбитова Х.К. 
 
133
Онда теңдік мынадай түрге ие болады: 
 
 
Бұл  модельді  валдық  өнімнің  зерттеліп  отырған  жүйенің 
соңғы өнімінің құрылымына əсерін талдау үшін қолдануға болады.  
Толық шектеу əдісі арқылы қолданылатын қайта жасау  
үрдістерінің  жиынтығы  осы  жүйе  мен 
,
)
(
1
−
− A
E
мəніне 
көбейтіндісіне тең, яғни  
y
A
E
x
y
A
E
y
A
E
x
A
E
A
E
Еy
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
−
−
−
−
−
=
⇒
−
=
⇒
−
=
−
−
 
  Кеңейтілген матрица түрін құрайық:  
 
)
(
y
E
A
E
−
 
Енді  толық  шектеу  əдісін  осы  матрицаға  қолдансақ, 
мынадайтеңдік аламыз: 
(
) (
)
x
A
E
E
y
A
E
E
A
E
A
E
A
E
y
E
A
E
А
Е
1
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
⋅
−
 
Осылайша,  қайта  жасаудың  нəтижесінде  (Е-А)  матри-
цасының  орнына  –бірліктік  матрица,  ал  бірліктік  матрицаның 
орнына    –  (Е-А)
-1 
  кері  матрицасы,  ал  у  векторының  орнына  х 
векторы  келеді.  Осы  есептеулерді  Гаусс  кестесінде  көрсету 
ыңғайлы. Алғашқы кестеде кеңейтілген матрицаны жазамыз. 
Есептеулерді алдындағы мысал негізінде орналастырамыз. 
 
38-кесте 
Итерация № 
Е-А 
Е 
у 
 
1 
0,8                   -0,4 
-0,55                 0,9 
1 
                0 
0                        1 
240 
85 
 
2 
1 
             -0,5 
0                    0,625 
1,25                   0 
0,6875               1 
300 
250 
 
3 
1                         0 
0                         1 
1,8                   0,8 
1,1                   1,6 
500 
400 
 
Е 
(Е-А)
-1 
х 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
=
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⇒
=
−
−
x
y
y
x
y
y
x
x
y
y
y
y
y
y
x
y
A
E
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
6
,
1
1
,
1
8
,
0
8
,
1
6
,
1
1
,
1
8
,
1
8
,
1
6
,
1
1
,
1
8
,
0
8
,
1
)
(

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
134

жүктеу/скачать 1,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: