ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ, ТЕХНИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ, ТЕХНИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 
 
 
Вестник
 
КАСУ
 
196 
 
Вероятность  появления  хотя  бы  одного 
из событий – P(А), следует вычислять по 
этой  формуле,  если  противоположное 
событие 
A
 распадается на меньшее чис-
ло вариантов, чем событие А. 
 
Формула полной вероятности 
 
или 
 
или    .       .       . 
 
 
 
Формула Байеса 
 
 
По формуле Байеса определяют веро-
ятности того, что причиной осуществления 
события А стало то или иное событие H
i
. 
Формула  Байса  позволяет  «переоце-
нить»  вероятности  каждой  из  гипотез  H
i
 
после  поступления  новой  «информации» 
относительно осуществления тех или иных 
наблюдаемых событий. 
 
Логическая схема решения задач, связан-
ных со случайными событиями 
При  вычислении  вероятностей  слож-
А 
Ā
 
Н
1 
Н
2 
Н
3 
. . .
 
Н
n 
u 
A
 
Н
1 
Н
2 
Н
3 
. . .
 
Н
n 
u 
A
 
Н
1 
Н
2 
Н
3 
. . .
 
Н
n 
u 
A
 
опыта)
 
до
 
ти
(вероятнос
 
и
вероятност
 
априорные
 
-
 
)
(
  
,
1
)
(
)
/
(
)
(
)
(
1
1
i
n
i
i
i
n
i
i
H
P
H
P
H
A
P
H
P
A
P
∑
∑
=
=
=
⋅
=
 
Событие А может произойти с одним 
из событий 
n
i
H
i
,
1
,
=
, образующих 
полную группу попарно несовместных 
событий: 
k
i
V
H
H
U
H
H
H
k
i
n
≠
=
⋅
=
+
+
+
   
,
,
...
2
1
 
∑
=
⋅
⋅
=
n
i
i
i
i
i
i
H
A
P
H
P
H
A
P
H
P
A
H
P
1
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
 
P(H
i
/A) – апостериорные вероятности (вероятности после опыта) 

ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ, ТЕХНИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 
 
 
Вестник
 
КАСУ
 
197 
ных событий необходимо: 
1) по условию задачи описать события; 
2) записать события в алгебре событий, об-
ращая внимание на союзы: «и» и «или»; 
3)  выяснить  зависимость  (независимость), 
совместность (несовместность) событий; 
4)  перейти  к  вероятности  в  алгебре  собы-
тий, применив основные теоремы теории 
вероятностей. 
Задача. 
Прибор состоит из четырех узлов А
1
, 
А
2
, А
3
, А
4
, выходящих из строя независимо 
друг  от  друга,  причем  узел  А
2
  дублирует 
узел  А
1
,  узел  А
4
  дублирует  узел  А
3
.  При 
выходе из строя любого из основных узлов 
(А
1
  или  А
3
)  происходит  автоматическое 
переключение  на  дублирующий  узел.  На-
дежность  (вероятность  безотказной  рабо-
ты)  в  течение  заданного  времени  каждого 
из узлов соответственно равна Р
1
, Р
2
, Р
3
, Р
4
. 
Надежность  каждого  из  переключающих 
устройств равна Р. Определить надежность 
прибора. 
Решение. 
Составим схему работы прибора. 
 
 
1. По условию задачи опишем события: 
А – безотказная работа прибора; 
А
i
 – безотказная работа узлов А
i
, 
4
,
1
=
i
; 
В
i
  –  безотказная  работа  переключающих 
устройств, i=1, 2; 
С
i
 - безотказная работа обобщенных узлов, 
i=1, 2. 
2. События А
i
 , B
i
 и C
i
 – независимы. 
3. Запишем события в алгебре событий: 
 
⇒





⋅
⋅
+
=
⋅
⋅
+
=
⋅
=
4
2
3
3
2
2
1
1
1
1
2
1
,
A
B
A
A
C
A
B
A
A
C
C
C
A
 
)
(
)
(
4
2
3
3
2
1
1
1
A
B
A
A
A
B
A
A
A
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
=
 
 
4. Перейдем к вероятности в алгебре событий, имея в виду независимость событий: 
(
) (
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
4
2
3
3
2
1
1
1
A
P
B
P
A
P
A
P
A
P
B
P
A
P
A
P
A
P
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
=
. 
По условию имеем: 
,
2
,
1
    
,
)
(
,
4
,
1
   
,
1
)
(
   
,
)
(
=
=
=
−
=
=
i
P
B
P
i
P
A
P
P
A
P
i
i
i
i
i
 
тогда 
(
) (
)
4
3
3
2
1
1
)
1
(
)
1
(
)
(
P
P
P
P
P
P
P
P
A
P
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
−
+
=
 -  вероятность  безотказной 
работы прибора. 
 
 
 

ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ, ТЕХНИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 
 
 
Вестник
 
КАСУ
 
198 
УДК 519.2 
ИССЛЕДОВАНИЕ УПОРЯДОЧИВАЮЩИХСЯ СПЛАВОВ И 
ИНТЕРМЕТАЛЛИДОВ НА МИКРОСКОПИЧЕСКОМ УРОВНЕ 
Денисова Н.Ф., Дёмина И.А. 
 
Многие направления в физике разви-
вались  на  базе  двух  основных  подходов: 
эксперимент,  который  когда-то  был  ре-
зультатом  наблюдения,  и  теория.  Теория, 
как правило, должна была базироваться на 
определённых  математических  положени-
ях,  чтобы  при  наличии  относительно  про-
стых  решений  позволять  предсказывать 
развитие некоторой физической системы во 
времени.  Как  правило,  простая  математи-
ческая  модель  определённого  физического 
явления  оказывалась  результатом  накопле-
ния  большого  количества  эксперименталь-
ных сведений. В настоящее время с разви-
тием современных компьютерных техноло-
гий в физике широко применяется компью-
терный эксперимент. 
Компьютерный  эксперимент  часто 
оказывается  единственным  способом  дать 
определённые 
объяснения. 
Результаты 
компьютерных  экспериментов  ставят  зада-
чи  перед  реальным  экспериментом  и  раз-
вивают  фундаментальные  теоретические 
положения.  В  свою  очередь,  совершенст-
вование  последних  ставит  перед  компью-
терным  экспериментом  новые  задачи  и 
проблемы.  В сочетании трёх данных  мето-
дов происходит развитие фундаментальных 
представлений  в  физике  конденсированно-
го  состояния,  особенно  в  проблемах,  свя-
занных  с  созданием  новых  материалов,  с 
набором интеллигентных свойств. 
При решении теоретических и экспе-
риментальных  задач  материаловедения 
компьютерное  моделирование  осуществля-
ется  на  трёх  структурных  уровнях:  макро-
уровне (уровне исследования объекта в це-
лом),  мезоуровне  (уровне  развития  и  взаи-
модействия отдельных элементов объекта), 
микроуровне  (уровне,  учитывающем  изме-
нения  состояния  и  свойств  отдельных  ато-
мов  или  их  групп).  Решение  задач  на  каж-
дом  из  этих  уровней  осуществляется  с  ис-
пользованием  соответствующего  матема-
тического  аппарата  и  определенными  ме-
тодами численного моделирования [1]. 
Целью  настоящей  работы  является 
обобщение  методов  компьютерного  моде-
лирования  и  результатов  исследования 
упорядоченных сплавов и интерметаллидов 
на микроскопическом уровне. 
Остановимся  более  подробно  на  ос-
новных положениях и результатах компью-
терного  моделирования  на  микроскопиче-
ском уровне. Прежде всего, основные стар-
товые  параметры,  с  использованием  кото-
рых  реализуется  компьютерный  экспери-
мент,  должны базироваться на использова-
нии  наиболее  достоверно  полученных  экс-
периментальных  сведениях,  характери-
зующих  свойства  материала.  Данные  све-
дения должны находиться в соответствии с 
фундаментальными  теоретическими  пред-
ставлениями по проблемам физики конден-
сированного  состояния.  Наиболее  важные 
из  таких  параметров  определяет  геометри-
ческое  построение  исследуемой  системы, 
выбор  оптимального  блока  системы,  тако-
го,  чтобы  полученные  результаты  были  не 
связаны с его размерами.  Так как компью-
терный  эксперимент  имеет  определённые 
ограничения  во  времени  к  границам  рас-
чётного блока, в зависимости от задачи ис-
следования  накладываются  определённые 
граничные  условия.  Таковыми  являются 
периодические,  гибкие,  жёсткие и возмож-
ные  их  комбинации.  Фактически  введение 
подобных  условий  соответствует  решению 
задач  компьютерного  моделирования  в 
рамках  одного  из  четырёх  ранее  перечис-
ленных  подходов,  применяемых  в  методе 
МД. При использовании  метода МД обыч-
но ограничиваются выделением расчётного 
блока  системы  состоящего  из  10
3
-  10
8
  ато-
мов.  Конечно,  размер  данного  расчётного 
блока  с  макроскопических  представлений 
является  малым.  Поэтому  к  границам  вы-
деленного  расчётного  блока  могут  быть 
применены  пять  вариантов  граничных  ус-
ловий: периодические, жесткие, свободные, 
гибкие и вязкие. 
Далее, в компьютерном эксперименте 
необходимо задать определённый тип меж-
атомных  и  межмолекулярных  взаимодей-

ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ, ТЕХНИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 
 
 
Вестник
 
КАСУ
 
199 
ствий. В случае применения метода Монте-
Карло  взаимодействие  между  атомами  за-
даются  набором  дискретных  значений 
энергии  связей  атомов  в  нескольких  коор-
динационных сферах [25]. При использова-
нии  других  методов  компьютерного  моде-
лирования  межатомные  взаимодействия 
задаются  в  виде  определённой  функции, 
непрерывно  меняющейся  с  расстоянием. 
Желательно  такие  функции  построить  на 
основе  первопринципных,  ab-initio  мето-
дов; однако только в идеальном  состоянии 
материала,  когда  действуют  определённые 
упрощающие  задачу  правила  симметрии 
подобные  функции  можно  построить.  При 
структурно-  энергетических  превращениях 
в  материале  идеальное  состояние  его  на-
рушается,  и  в  каждом  случае  должно  про-
исходить  изменение  в  функции  межчас-
тичного  взаимодействия.  То  есть,  каждый 
раз такие функции должны пересчитывать-
ся  с  учётом  определённых  структурных 
состояний  материала.  Такая  задача  являет-
ся сложной и в настоящее время часто тех-
нически неразрешимой проблемой. Авторы 
[26]  для  описания  многочастичного  взаи-
модействия  предложили  несколько  упро-
щённый  вариант  относительно  первоприн-
ципного подхода, позволяющий применять 
его  в  задачах  компьютерного  моделирова-
ния.  В  основе  их  подхода  лежит  метод 
сильной  связи  в  приближении  вторых  мо-
ментов  в  плотности  состояния,  а  энергия 
взаимодействия  i-того  атома  с  соседями 
состоит из двух  слагаемых. Первое слагае-
мое  определяет  многочастичный  вклад  в 
энергию  в  виде  функции  от  параметра, 
имеющего  смысл  усреднённого  координа-
ционного  числа  и  парных  межатомных 
взаимодействий.  Обе  составляющие  вкла-
дов  находятся  подгонкой  по  таким  экспе-
риментально  определённым  параметрам, 
как  энергия  связи,  упругие  постоянные, 
параметры  решётки,  фононные  частоты. 
Формально, представление взаимодействия 
между  атомами,  предложенное  авторами 
[27]  аналогично  модели,  предложенной  в 
[26],  однако  интерпретация  первой  состав-
ляющей  имеет  другой  смысл  -  изменение 
энергии при введении атома в электронный 
газ  с  плотностью  ρ.  Проведённые  сравни-
тельные расчёты показали, что применение 
многочастичных  потенциалов  не  вызывает 
качественного  различия  в  результатах,  по 
сравнению с использованием только второ-
го  парного  межатомного  слагаемого  энер-
гии  взаимодействия  при  условии,  если 
плотность  в  «ядре»  исследуемого  дефекта 
незначительно  отличается  от  плотности  в 
идеальной  структуре  материала.  Парные 
взаимодействия  представляются  различ-
ными  типами  парных  потенциальных 
функций  в  зависимости  от  типа  материала 
и  задачи  исследования.  Это  -  парные  по-
тенциалы  типа  Морзе,  Борна-Майера,  Ле-
нарда–Джонса,  Ми–Грюнайзена  и  различ-
ные  степенные  функции.  При  применении 
полуэмпирических  парных  потенциалов  с 
использованием  их  подгонки  по  трём  ти-
пам  экспериментально  известных  парамет-
ров удаётся исследовать структурные и си-
ловые  изменения,  имеющие  место  в  мате-
риале.  Различие  структурной  конфигура-
ции  материала  вблизи  дефекта  при  приме-
нении  только  парных  потенциалов  и  по-
тенциалов,  учитывающих  многочастичные 
вклады  можно  свести  к  нулю,  если  к  гра-
ницам  расчётного  блока  кристалла  прило-
жить  дополнительную  внешнюю  силу,  ко-
торая  формально  должна  представлять 
многочастичный  вклад  в  энергию  связи 
[28].  К  энергетическим  характеристикам 
материала  следует  относиться  осторожно, 
рассматривать  результаты  компьютерного 
моделирования  только  по  относительному 
изменению  этих  параметров  при  структур-
но  –  фазовых  превращениях,  особенно  в 
случае  исследования  нанокристаллов.  При 
переходе  от  однокомпонентных  материа-
лов к многокомпонентным  сложность  кон-
струирования и задания межатомных взаи-
модействий во много раз возрастает. Здесь 
также  требуется  найти  набор  надёжных 
экспериментально  определяемых  парамет-
ров,  которые  характеризуют  многокомпо-
нентный  материал.  Чаще  всего,  если  базо-
вые кристаллические решётки атомов ком-
понент  и  сплава  оказываются  идентичны-
ми,  то  параметры  парных  потенциалов 
описывающих  связи  между  атомами  одно-
го типа определяются из экспериментально 
известных  свойств  чистых  составляющих 
сплава. 
Структурными  характеристиками  ма-
териала служат параметры решётки и меж-
атомные  расстояния.  Отметим,  что  данные 

ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ, ТЕХНИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 
 
 
Вестник
 
КАСУ
 
200 
параметры  определяются  эксперименталь-
но  очень  точно  методами  рентгенострук-
турного  анализа  или  электронной  микро-
дифракции.  Точность  экспериментального 
определения  таких  параметров  весьма  вы-
сока, и ошибка измерений равна 10-4%. За 
структурными  параметрами  следуют  сило-
вые.  Это,  прежде  всего,  экспериментально 
определяемое  значение  модуля  упругости 
или  модуля  всестороннего  сжатия  при  ус-
ловии  равновесного  состояния  кристалла 
все  силы  межатомных  взаимодействий 
должны  быть  скомпенсированы.  Однако, 
результат воздействия силовых параметров 
приводит к перестройке структурно - энер-
гетического  состояния  системы.  Точное 
определение  таких  параметров  при  внеш-
них  условиях  воздействия  оказывается  не-
сколько  меньшим,  по  сравнению  со  струк-
турными параметрами и выражается только 
в  процентах.  Более  сложной  задачей  явля-
ется  экспериментальное  определение  энер-
гетических  характеристик  материала.  В 
зависимости  от  методов  эксперименталь-
ного  определения,  реального  состояния 
материала  на  котором  производились  ис-
следования и методов определения разброс 
данных  может  колебаться  в  приделах 
вплоть до 100 процентов [29, 30]. 
Важным  элементом  компьютерного 
моделирования является подбор соответст-
вующих  критериев  и  параметров,  по  кото-
рым  должен  происходить  анализ  результа-
тов  компьютерного  эксперимента.  Анализ 
энергетических  составляющих  компьютер-
ного  эксперимента  выполняется  посредст-
вом расчёта энергии всей системы в интер-
валах времени компьютерного эксперимен-
та. При этом желательно, если есть необхо-
димость  разделить  кинетическую  и  потен-
циальную  составляющие  энергии  системы. 
Так как, при внешних воздействиях должно 
происходить перераспределение  плотности 
в  размещении  атомов,  то  энергия,  прихо-
дящаяся  на  отдельный  атом  или  группы 
атомов,  может  быть  также  неоднородной. 
Для  оценки  степени  неоднородности  рас-
пределения  энергии  по  системе  применя-
ются  различные  визуализаторы.  Так,  на-
пример,  по  оттенкам  от  белого  до  чёрного 
можно  рассматривать  перераспределение 
энергии в системе, введя соответствующие 
масштабные  коэффициенты.  Подобным  же 
образом  можно  показать  перераспределе-
ние сил в локальных областях исследуемой 
системы.  Другой  способ  визуализации 
вблизи каждого атома можно выделить ли-
нии,  вдоль  которых  энергия  взаимодейст-
вия с соседями постоянна, то есть изоэнер-
гетические линии, по плотности их распре-
деления  просматриваются  зоны  энергети-
ческих  неоднородностей  в  материале.  За 
изменением структуры в материале следят, 
вводя  определённые  визуализаторы  струк-
туры.  В  компьютерном  эксперименте  тре-
буется  выделить  наиболее  существенные 
элементы, по которым можно оценить кор-
реляцию  компьютерного  эксперимента  с 
реальным.  Такими  параметрами  могут 
быть: температуры различных фазовых пе-
реходов,  энергии  активации  различных 
процессов, параметры ближнего и дальнего 
порядка,  энергии  образования  различных 
типов  дефектов  (дефекты  возникают  в  ма-
териале  в  зависимости  от  величины  и  вре-
мени внешнего воздействия на материал) и 
другие.  Часто  проблема  визуализации  ре-
зультатов  компьютерного  эксперимента 
оказывается  трудноразрешимой,  поэтому 
целесообразно на первых этапах предельно 
упростить  компьютерный  эксперимент  с 
тем,  чтобы  найти  необходимый  метод  и 
способ его анализа. Так, например, при ре-
шении  задач  связанных  с  диффузией  ато-
мов за их траекториями удобно наблюдать, 
используя  модель  двумерной  гексагональ-
ной  упаковки  материала.  В  реальности  в 
кристалле  с  ГЦК  решёткой  термоактиви-
руемая  диффузия  развивается  вдоль  плот-
ноупакованных  направлений,  таковыми 
являются  плоскости  {111}  в  гексагональ-
ной  упаковке.  Двумерная  модель  может 
быть представлена как развёртка тетраэдра 
Томсона  со  сторонами  соответствующими 
плоскости {111}. 
Рассмотрим  некоторые  результаты 
компьютерного  моделирования  на  микро-
скопическом атомном уровне. Для большой 
группы  упорядоченных  сплавов  на  основе 
различных  типов  сверхструктур,  на  основе 
ГЦК,  ОЦК  и  ГПУ  решёток  рассчитана 
энергия  и  атомная  конфигурация  большой 
группы  планарных  дефектов  имеющих  ме-
сто в них, таких, как: антифазные границы 
(консервативные  и  неконсервативные),  де-
фекты  упаковки  вычитания  и  внедрения, 

жүктеу/скачать 2,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: