x1 = – arccos = - ; x1 = arccos =

x1 = – arccos = - ; x1 = arccos = .

Косинустың периодтылығын ескере отырып,

(- + 2 πk; + 2 πk), k ∈ Z шешімі ретінде ақырлы интервал аламыз

Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктерді формула бойынша шешу

Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктерді шешу үшін қолданылатын тригонометриялық функциялардың қасиеттері

• y = сtgx  функциясы (0;) кемиді;
• периоды

III. y = tgx

• y = tgx функциясы (-; ) өседі;
• периоды

Қарапайым тригонометриялық теңсіздікті шешудің алгоритмі:

1) sinx, tgx болса, теңсіздік таңбасы сақталады, ал cosx, ctgx болса, теңсіздік таңбасы өзгереді;

2) sinx, cosx үшін теңсіздіктің екі жағына да 2πn; ал tgx, сtgx үшін πn қосамыз;

3) sinx үшін х1 = arcsinх= α десек, х2 = π-α ,

cosx үшін х1= arccosх = α болса, х2= - α ;

tgx үшін х1 = arctgх = α болса, х2 = - π /2 немесе π /2

сtgx үшін х1 = arcсtgх = α болса, х2 = 0 немесе π

болады;

 Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктерді шешу мысалдары

Мысал 1: sinx ≤

• ≤ X ≤
• = arcsin

≤ X ≤ +2πk

• = π - =

+2πk ≤ X ≤ +2πk

бірақ > болғандықтан оны кішірейту үшін 2π-ге азайтамыз:

- - 2π = -

- + 2πk ≤ X ≤ +2πk, k ∈ Z

Мысал 2: cosx <

• > X >
• = arccos

> X > +2πk

• = -

- +2πk > X > +2πk

бірақ - < болғандықтан оны үлкейту үшін 2π-ге қосамыз:

- + 2π =

+2πk > X > +2πk, k ∈ Z

мысал 3 : tgx ≥

мысал 3 : tgx ≥

• ≥ X ≥
• = arctg =

> X ≥ + πk

• = +πk

+πk > X ≥ + πk, k ∈ Z

• y = tgx функциясы (-; ) өседі;
• периоды

мысал 4 : ctgx ≤ 1

мысал 4 : ctgx ≤ 1

• ≥ X ≥
• = arсctg 1=

> X ≥ + πk

• = π+πk

π+πk > X ≥ + πk, k ∈ Z

• y = сtgx  функциясы (0;) кемиді;
• периоды

Тәсілдерді салыстыру cos x > теңсіздігін шешу

Бірлік шеңбер және cos x > (себебі бірлік шеңберде косинустың мәніне абсцисса осі келеді) түзуін салайық. Түзу мен шеңбердің қиылысу нүктелерін Px1 және Px2 деп белгілейік. Берілген теңдеудің шешімі абциссасының мәні мәнінен кіші болатын нүктелер жиыны болады. Сағат тіліне қарама-қарсы бағытта x1< x2 болатындай, x1 және x2 мәндерін табайық:

x1 = – arccos = - ; x1 = arccos = .

Косинустың периодтылығын ескере отырып,

(- + 2 πk; + 2 πk), k ∈ Z шешімі ретінде ақырлы интервал аламыз.

Бір координаталық жүйеде теңсіздіктің оң және сол жақ бөліктерін, яғни

y = cosx және y = -ге қатысты функциялардың графиктерін салайық. y = түзуінің графигінен y = cos x косинус функциясының графигі жоғары орналасқан бөліктерін аралықтармен белгілейік.

Аралықтардың бірінің ұштары болатын және x1 = – arccos = – ; 

x2 = arccos = теңдіктері орындалатындай, y = cos x және y = функцияларының графиктері қиылысқан нүктелерінің x1 және x2 абсциссаларын табайық.

Косинус 2 π периодты функция екенін ескерсек, теңсіздіктің жауабы

(– + 2 πk; + 2 πk), k ∈ Z аралықтағы x-тің мәндері болады.

• < X <
• = arccos

< X < +2πk

• = -

- +2πk < X < +2πk
k ∈ Z

Тест есебін ауызша шығару мысалы:

• (- k ∈ Z
• (- ; k ∈ Z
• (- - k ∈ Z
• (- ; k ∈ Z

Тригонометриялық теңсіздіктерді шешудің ең тиімді – монотондылық қасиетін пайдаланып шешу тәсілі анықталды. Өз сыныбымда тригонометриялық теңсіздіктерді монотондылық қасиетін пайдаланып шешудің нәтижелігі байқалды.

Ұсыныс: Мектеп бағдарламасына факультативтік сабақтар, элективті курстар, олимпиадаға дайындық сабақтары, SAT, ішкі және сыртқы жиынтық бағалау жұмыстарына дайындалуға және мұғалімдерге әдістемелік құрал ретінде енгізу