Екі еселі интегралдың қасиеттері - 5) Егер облысында f(x, y) 0 болса, онда
- 6) Егер f1(x, y) f2(x, y) болса, онда
- 7)
Екі еселі интегралдың есептелуі. - Теорема. Егер f(x, y) функциясы тұйықталған облысында үзіліссіз болып және х = a, x = b, (a < b) түзулермен шектелсе,
- y = (x), y = (x), мұндағы және - үзіліссіз функциялар , онда
- , тогда
Мысал. -
- интегралын есептеңіз, егер тұйықталған облысы келесі түзулермен шектелсе
- y = 0, y = x2, x = 2.
- Шешуі:
Екі еселі интегралдың есептелуі. - Теорема. Егер f(x, y) функциясы тұйықталған облысында үзіліссіз болып және y = c, y = d (c < d), x = (y), x = (y) ((y) (y)),түзулермен шектелсе, онда
Мысал: -
- интегралын есептеңіз, егер тұйықталған облысы келесі түзулермен шектелсе
- y = x, x = 0, y = 1, y = 2.
- Шешуі:
Мысал. - интегралын есептеңіз, егер тұйықталған облысы келесі түзулермен шектелсе
- х = 0, х = у2, у = 2.
- Шешуі:
Екі еселі интегралда айнымалыны ауыстыру. - түріндегі екі еселі интегралды қарастырайық, мұндағы х айнымалысы а дан b-ға өзгерсе, ал у айнымалысы –у1(x) ден у2(х) өзгереді, яғни
-
- х = х(u, v); y = у(u, v) деп алсақ, онда
Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид ( при первом интегрировании полагаем v = const, - Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид ( при первом интегрировании полагаем v = const,
- dv = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:
Үш еселі интеграл. - Үш еселі интегралды табу кезіндегі бір ерекшелігі, мұнда екі айнымалы бойынша емес, үш айнымалы арқылы жүргізіледі және интегралдау облысы ретінде жазықтықтың бір бөлігі емес, үш өлшемді кеністіктің кейбір аймағы алынады. (x, y, z) = 0 кейбір бетпен шектелген v облысы бойынша қосынды іске асады.
- Мұндағы х1 және х2 – тұрақты шамалар, у1және у2 – х-тен тәуелді кейбір функциялар, имогут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z1 және z2 –х және у-тен тәуелді кейбір функциялар немесе тұрақты айнымалылар.
Мысал. - интегралын есептеу қажет.
-
- Шешуі:
Замена переменных в тройном интеграле. - Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответсвующей операции для двойного интеграла.
- Можно записать:
- где
Геометрические и физические приложения кратных интегралов. - Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:
Пример. - Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
- y2 = 4x + 4; x + y – 2 = 0.
- Решение: построим графики заданных функций:
- Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до
- х = 2 – у, а по оси
- Оу – от –6 до 2.
Тогда искомая площадь равна: 2) Вычисление площадей в полярных координатах. 3) Вычисление объемов тел. - Пусть тело ограничено снизу плоскостью ху, а сверху– поверхностью
- z = f(x,y), а с боков – цилиндрической поверхностью. Такое тело называется цилиндроид.
Мысал. - x2 + y2 = 1;
- x + y + z =3 беттерімен және ХОY жазықтығымен шектелген ауданды табу керек.
- Интегралдау шектері: ОХ осі бойынша:
-
- ОYосі бойынша:
- x1 = -1; x2 = 1;
- Шешуі:
4) Вычисление площади кривой поверхности. - Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле:
- Если поверхность задана в неявном виде, т.е. уравнением z = (x, y), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле:
5) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла. - Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по формуле:
- при этом z1 и z2 – функции от х и у или постоянные, у1 и у2 – функции от х или постоянные, х1 и х2 – постоянные.
Достарыңызбен бөлісу: |
