О понятии и толкованиях дивергенции поля векторных физических

7 
только при неизменности модуля вектора 
A

. Это определяется свойством любого вектора - 
сохранять свое значение по модулю при любых поворотных изменениях системы координат. 
Заметим, прямо противоположное качество у функции ротора вектора. 
Осознание ложности привязки понятия дивергенции лишь к источникам и стокам по-
ля уже появилось в гидродинамике [5]. По мнению автора, не за горами признание анало-
гичного положения и в других областях физики, в частности, в электростатике и магнитоста-
тике. Отмеченное соответствует математическому положению о том, что «всякое векторное 
поле А дает некоторое скалярное поле divA, а именно поле своей расходимости» [4, стр.359]. 
Если векторное поле непрерывно и дифференцируемо в своей области, то в той же области 
должно существовать и быть непрерывным скалярное поле его дивергенции. 
К сожалению, большинство математических и физических источников трактуют се-
годня понятие дивергенции совершенно иначе. Например [6, пример 7.10, стр.406]: «Сило-
вое поле, создаваемое в пустоте помещенным в начало координат электрическим зарядом q
0 
, 
имеет аналогичный вид …, дивергенция рассмотренных силовых полей при 
0

r
равна ну-
лю». Правда наблюдаются и попытки вынести понятие дивергенции из «прокрустова ложа» 
истоков и стоков поля. В источнике [7, стр.171] приводится такая формула: 




1
1
)
(
lim
)
(
1
V
S
dV
r
F
S
d
r
F
div





при 
0


(4) 
где: 
1
V - область, содержащая точку (
r

), 
1
S - замкнутая поверхность, ограничивающая об-
ласть 
1
V ,  - наибольшее расстояние от точки (
r

) до точек поверхности 
1
S . 
В формуле (4) имеет место уход от устремления объема в точку, анализируются по-
верхность и объем, внутри которых расположена рассматриваемая точка поля. При пра-
вильной интерпретации этой формулы и применительно к полям центрального типа она да-
ет результат, близкий к верному.
В источнике [8] для физических полей приводится еще одно, несколько иное, опре-
деление дивергенции. Здесь дивергенция определяется как показатель объемной плотности 
потока векторной величины в той или иной точке пространства векторного поля. Диверген-
ция в этом случае математически выражается так: 
V
Ф
F
div
F


lim

при 
0

S
(5) 
где: 
F
Ф

– поток векторного поля 
F

через сферическую поверхность площадью S, ограничи-
вающую объем V. Считается, что такое определение дивергенции применимо не только к 

8 
декартовым системам координат. Надо отметить, что здесь не очень понятно требование 
сферичности, а не замкнутости поверхности.
В чем-то аналогичный подход обнаруживается и в работе [9, стр.22]: «… диверген-
ция векторного поля а(М) является объемной плотностью потока векторного поля а(М) в 
данной точке М». По мнению автора, такой подход более близок к истине.
В источнике [8] приводится интересный пример наглядной физической модели ди-
вергенции: «Например, если в качестве векторного поля взять совокупность направлений 
наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение 
вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спус-
ка расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска 
сходятся)».
По мнению автора, такая модель дивергенции не совсем логична. На вершинах и впа-
динах наискорейшего спуска совсем нет, а в источниках или стоках дивергенция по модулю 
должна быть максимальна. Кроме того, данная модель, во-первых, исключает гладкость 
вершин и впадин, поскольку значения дивергенции скачут от плюса к минусу, а правило пе-
рехода не обозначено. Во-вторых, надо заметить, принимая пространственное направление 
за векторную величину, ее нельзя определять в том же пространстве направлений. Пример из 
логики: нельзя определить понятие через само это понятие, иначе получится тавтология. 
В наглядных примерах по рис.1 и рис.2 видно, что дивергенция (расходимость) элек-
трических и магнитных силовых линий есть и заведомо есть плавное уменьшение модуля 
вектора при отдалении рассматриваемых точек окружающего пространства от источника и 
стока поля. Для центральных полей вычислить дивергенцию как объемную плотность пото-
ка вектора в той или иной точке поля не сложно. Но для соленоидального магнитного поля 
определение дивергенции как объемной плотности потока векторного поля затруднительно, 
поскольку это поле не сферично. К тому же заметим, дивергенция, по сути, должна быть не 
плотностью потока векторного поля, что присуще и однородным векторным полям, а про-
странственным изменением плотности потока вектора в той или иной точке поля. Матема-
тически это можно выразить так: 
F
n
d
F
d
V
S
F
F
div









)
(
lim
при
0

V
и
0

S
(6) 
где: 
V
S
F
n
)
(



- изменение плотности потока векторной величины 
F

в рассматриваемом объ-
еме 
V
предельно малого размера; 
F


- единичный вектор, касательный к направлению век-
тора 
F

в данной точке.

9 
Кажется не вполне осознаваемое, но почти полное соответствие авторскому понима-
нию дивергенции удалось обнаружить в источнике [10, стр.206]: «Дивергенцию векторной 
функции … еще называют расходимостью. Она определяет скорость изменения каждой 
компоненты вектора в своем «собственном» направлении». Но если есть изменения компо-
нентов вектора в своем «собственном направлении», то не замечать или отрицать такое же 
изменение самого вектора – просто грешно.
В заключение приведем и рассмотрим для сравнения в табличном формате различ-
ные варианты определения дивергенции, в том числе, предлагаемые автором и защищаемые 
им как наиболее подходящие (см. таблицу 1).
Таблица 1. Возможные определения и толкования дивергенции 
Определение
дивергенции 
Математическое
определение 
Условие
определения 
Физический смысл 
дивергенции 
Общепринятое и 

жүктеу/скачать 412,16 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: