Образовательная программа основного общего образования муниципального бюджетного орбщеобразовательного учреждения

379

 

 

История математики 

Возникновение  математики  как  науки,  этапы  еѐ  развития.  Основные 

разделы  математики.  Выдающиеся  математики  и  их  вклад  в  развитие 

науки. 

Бесконечность  множества  простых  чисел.  Числа  и  длины  отрезков. 

Рациональные  числа.  Потребность  в  иррациональных  числах.  Школа 

Пифагора 

Зарождение  алгебры  в  недрах  арифметики.  Ал-Хорезми.  Рождение 

буквенной  символики.  П.Ферма,  Ф.  Виет,  Р.  Декарт.  История  вопроса  о 

нахождении  формул  корней  алгебраических  уравнений  степеней,  больших 

четырѐх. Н. Тарталья, Дж. Кардано, Н.Х. Абель, Э.Галуа. 

Появление 

метода 

координат, 

позволяющего 

переводить 

геометрические объекты на язык алгебры. Появление графиков функций. Р. 

Декарт, П. Ферма. Примеры различных систем координат. 

Задача  Леонардо  Пизанского  (Фибоначчи)  о  кроликах,  числа 

Фибоначчи.  Задача  о  шахматной  доске.  Сходимость  геометрической 

прогрессии. 

Истоки  теории  вероятностей:  страховое  дело,  азартные  игры.  П. 

Ферма, Б.Паскаль, Я. Бернулли, А.Н.Колмогоров. 

От  земледелия  к  геометрии.  Пифагор  и  его  школа.  Фалес,  Архимед. 

Платон и Аристотель. Построение правильных многоугольников. Триссекция 

угла.  Квадратура  круга.  Удвоение  куба.  История  числа  π.  Золотое  сечение. 

«Начала» Евклида. Л Эйлер, Н.И.Лобачевский. История пятого постулата. 

Геометрия 

и 

искусство. 

Геометрические 

закономерности 

окружающего мира. 

Астрономия  и  геометрия.  Что  и  как  узнали  Анаксагор,  Эратосфен  и 

Аристарх о размерах Луны, Земли и Солнца. Расстояния от Земли до Луны и 

Солнца. Измерение расстояния от Земли до Марса.  

Роль  российских  учѐных  в  развитии  математики:  Л.Эйлер. 

Н.И.Лобачевский, П.Л.Чебышев, С. Ковалевская, А.Н.Колмогоров.  

Математика  в  развитии  России:  Петр  I,  школа  математических  и 

навигацких  наук,  развитие  российского  флота,  А.Н.Крылов.  Космическая 

программа и М.В.Келдыш. 

 

Содержание  курса  математики  в  7-9  классах  (углублѐнный 

уровень) 

Алгебра 

Числа 

Рациональные числа 

380

 

 

Сравнение  рациональных  чисел.  Действия  с  рациональными  числами. 

Конечные  и  бесконечные  десятичные  дроби.  Представление  рационального 

числа в виде десятичной дроби.  

Иррациональные числа 

Понятие  иррационального  числа.  Распознавание  иррациональных 

чисел.  Действия  с  иррациональными  числами.  Свойства  действий  с 

иррациональными  числами.  Сравнение  иррациональных  чисел.  Множество 

действительных чисел. 

Представления о расширениях числовых множеств.  

Тождественные преобразования 

Числовые и буквенные выражения 

Выражение  с  переменной.  Значение  выражения.  Подстановка 

выражений вместо переменных.  

Законы  арифметических  действий.  Преобразования  числовых 

выражений, содержащих степени с натуральным и целым показателем.  

Многочлены 

Одночлен,  степень  одночлена.  Действия  с  одночленами.  Многочлен, 

степень  многочлена.  Значения  многочлена.  Действия  с  многочленами: 

сложение,  вычитание,  умножение,  деление.  Преобразование  целого 

выражения  в  многочлен.  Формулы  сокращѐнного  умножения:  разность 

квадратов,  квадрат  суммы  и  разности.  Формулы  преобразования  суммы  и 

разности  кубов,  куб  суммы  и  разности.  Разложение  многочленов  на 

множители:  вынесение  общего  множителя  за  скобки,  группировка, 

использование  формул  сокращѐнного  умножения.  Многочлены  с  одной 

переменной. Стандартный вид многочлена с одной переменной.  

Квадратный  трѐхчлен.  Корни  квадратного  трѐхчлена.  Разложение  на 

множители  квадратного  трѐхчлена.  Теорема  Виета.  Теорема,  обратная 

теореме  Виета.  Выделение  полного  квадрата.  Разложение  на  множители 

способом выделения полного квадрата.  

Понятие тождества 

Тождественное  преобразование.  Представление  о  тождестве  на 

множестве. 

Дробно-рациональные выражения 

Алгебраическая  дробь.  Преобразования  выражений,  содержащих 

степени  с целым показателем.  Допустимые  значения переменных  в  дробно-

рациональных выражениях. Сокращение алгебраических дробей. Приведение 

алгебраических дробей к общему знаменателю. Действия с алгебраическими 

дробями: сложение, умножение, деление.  

Преобразование выражений, содержащих знак модуля. 

Иррациональные выражения 

381

 

 

Арифметический 

квадратный 

корень. 

Допустимые 

значения 

переменных в выражениях, содержащих арифметические квадратные корни. 

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.  

Корни  n-ых  степеней.  Допустимые  значения  переменных  в 

выражениях, содержащих корни n-ых степеней. Преобразование выражений, 

содержащих корни n-ых степеней.  

Степень  с  рациональным  показателем.  Преобразование  выражений, 

содержащих степень с рациональным показателем. 

Уравнения  

Равенства 

Числовое  равенство.  Свойства  числовых  равенств.  Равенство  с 

переменной.  

Уравнения 

Понятие 

уравнения 

и 

корня 

уравнения. 

Представление  о 

равносильности уравнений и уравнениях-следствиях. 

Представление  о  равносильности  на  множестве.  Равносильные 

преобразования уравнений. 

Методы решения уравнений 

Методы  равносильных  преобразований,  метод  замены  переменной, 

графический  метод.  Использование  свойств  функций  при  решении 

уравнений, использование теоремы Виета для уравнений степени выше 2. 

Линейное уравнение и его корни 

Решение  линейных  уравнений.  Количество  корней  линейного 

уравнения. Линейное уравнение с параметром. 

Квадратное уравнение и его корни 

Дискриминант  квадратного  уравнения.  Формула  корней  квадратного 

уравнения.  Количество  действительных  корней  квадратного  уравнения. 

Решение квадратных уравнений: графический метод решения, использование 

формулы для нахождения корней, разложение на множители, подбор корней 

с  использованием  теоремы  Виета.  Биквадратные  уравнения.  Уравнения, 

сводимые  к  линейным  и  квадратным.  Квадратное  уравнение  с  параметром. 

Решение  простейших  квадратных  уравнений  с  параметрами.  Решение 

некоторых типов уравнений 3 и 4 степени.  

Дробно-рациональные уравнения 

Решение дробно-рациональных уравнений.  

Простейшие 

иррациональные 

уравнения 

вида: 

 

f x

a



; 

 

 

f x

g x



и их решение. Решение иррациональных 

уравнений вида 

 

 

f x

g x



. 

382

 

 

Системы уравнений 

Уравнение с двумя переменными. Решение уравнений в целых числах. 

Линейное  уравнение  с  двумя  переменными.  Графическая  интерпретация 

линейного уравнения с двумя переменными.  

Представление о графической интерпретации произвольного уравнения 

с двумя переменными: линии на плоскости.  

Понятие системы уравнений. Решение систем уравнений.  

Представление о равносильности систем уравнений.  

Методы  решения  систем  линейных  уравнений  с  двумя  переменными 

графический  метод,  метод  сложения,  метод  подстановки.  Количество 

решений  системы  линейных  уравнений.  Система  линейных  уравнений  с 

параметром.  

Системы нелинейных уравнений. Методы решения систем нелинейных 

уравнений. Метод деления, метод замены переменных. Однородные системы.  

Неравенства 

Числовые  неравенства.  Свойства  числовых  неравенств.  Проверка 

справедливости неравенств при заданных значениях переменных.  

Неравенство  с  переменной.  Строгие  и  нестрогие  неравенства. 

Доказательство неравенств. Неравенства о средних для двух чисел. 

Понятие о решении неравенства. Множество решений неравенства. 

Представление о равносильности неравенств.  

Линейное  неравенство  и  множества  его  решений.  Решение  линейных 

неравенств. Линейное неравенство с параметром. 

Квадратное  неравенство  и  его  решения.  Решение  квадратных 

неравенств: использование свойств и графика квадратичной функции, метод 

интервалов. Запись решения квадратного неравенства. 

Квадратное неравенство с параметром и его решение.  

Простейшие  иррациональные  неравенства  вида: 

 

f x

a



; 

 

f x

a



; 

 

 

f x

g x



. 

Обобщѐнный метод интервалов для решения неравенств. 

Системы неравенств 

Системы неравенств с одной переменной. Решение систем неравенств с 

одной 

переменной: 

линейных, 

квадратных, 

дробно-рациональных, 

иррациональных.  Изображение  решения  системы  неравенств  на  числовой 

прямой. Запись решения системы неравенств. 

Неравенство  с  двумя  переменными.  Представление  о  решении 

линейного  неравенства  с  двумя  переменными.  Графическая  интерпретация 

383

 

 

неравенства  с  двумя  переменными.  Графический  метод  решения  систем 

неравенств с двумя переменными. 

Функции 

Понятие зависимости 

Прямоугольная  система  координат.  Формирование  представлений  о 

метапредметном понятии «координаты». График зависимости. 

Функция 

Способы  задания  функций:  аналитический,  графический,  табличный. 

График  функции.  Примеры  функций,  получаемых  в  процессе  исследования 

различных процессов и решения задач. Значение функции в точке. Свойства 

функций:  область  определения,  множество  значений,  нули,  промежутки 

знакопостоянства, чѐтность/нечѐтность, возрастание и убывание, промежутки 

монотонности,  наибольшее  и  наименьшее  значение,  периодичность. 

Исследование функции по еѐ графику.  

Линейная функция 

Свойства,  график.  Угловой  коэффициент  прямой.  Расположение 

графика линейной функции в зависимости от еѐ коэффициентов. 

Квадратичная функция 

Свойства.  Парабола.  Построение  графика  квадратичной  функции. 

Положение  графика  квадратичной  функции  в  зависимости  от  еѐ 

коэффициентов. Использование свойств квадратичной функции для решения 

задач. 

Обратная пропорциональность 

Свойства  функции 

k

y

x



.  Гипербола.  Представление  об 

асимптотах.  

Степенная функция с показателем3 

Свойства. Кубическая парабола.  

Функции

y

x



, 

3

y

x



, 

y

x



.Их  свойства  и  графики.  Степенная 

функция с показателем степени больше 3. 

Преобразование графиков функций: параллельный перенос, симметрия, 

растяжение/сжатие, отражение.  

Представление о взаимно обратных функциях.  

Непрерывность функции и точки разрыва функций. Кусочно заданные 

функции. 

Последовательности и прогрессии 

Числовая 

последовательность. 

Примеры. 

Бесконечные 

последовательности. 

Арифметическая 

прогрессия 

и 

еѐ 

свойства. 

384

 

 

Геометрическая  прогрессия.  Суммирование  первых  членов  арифметической 

и  геометрической  прогрессий.  Сходящаяся  геометрическая  прогрессия. 

Сумма  сходящейся  геометрической  прогрессии.  Гармонический  ряд. 

Расходимость гармонического ряда.  

Метод математической индукции, его применение для вывода формул, 

доказательства равенств и неравенств, решения задач на делимость. 

Решение текстовых задач 

Задачи на все арифметические действия 

Решение  текстовых  задач  арифметическим  способом.  Использование 

таблиц, схем, чертежей, других средств представления данных при решении 

задачи. 

Решение задач на движение, работу, покупки 

Анализ возможных ситуаций взаимного расположения объектов при их 

движении, соотношения объѐмов выполняемых работ при совместной работе.  

Решение задач на нахождение части числа и числа по его части 

Решение  задач  на  проценты,  доли,  применение  пропорций  при 

решении задач. 

Логические задачи 

Решение  логических  задач.  Решение  логических  задач  с  помощью 

графов, таблиц.  

Основные методы решения задач 

Арифметический,  алгебраический,  перебор  вариантов.  Первичные 

представления  о  других  методах  решения  задач  (геометрические  и 

графические методы). 

Статистика и теория вероятностей 

Статистика 

Табличное  и  графическое  представление  данных,  столбчатые  и 

круговые  диаграммы,  извлечение  нужной  информации.  Диаграммы 

рассеивания. 

Описательные 

статистические 

показатели: 

среднее 

арифметическое,  медиана,  наибольшее  и  наименьшее  значения  числового 

набора.  Отклонение.  Случайные  выбросы.  Меры  рассеивания:  размах, 

дисперсия и стандартное отклонение. Свойства среднего арифметического и 

дисперсии.  Случайная  изменчивость.  Изменчивость  при  измерениях. 

Решающие правила. Закономерности в изменчивых величинах. 

Случайные опыты и случайные события 

Случайные  опыты  (эксперименты),  элементарные  случайные  события 

(исходы).  Вероятности  элементарных  событий.  События  в  случайных 

экспериментах  и  благоприятствующие  элементарные  события.  Вероятности 

случайных событий. Опыты с равновозможными элементарными событиями. 

Классические  вероятностные  опыты  с  использованием  монет,  кубиков. 

385

 

 

Представление  событий  с  помощью  диаграмм  Эйлера.  Противоположные 

события,  объединение  и  пересечение  событий.  Правило  сложения 

вероятностей.  Случайный  выбор.  Независимые  события.  Последовательные 

независимые  испытания.  Представление  эксперимента  в  виде  дерева, 

умножение  вероятностей.  Испытания  до  первого  успеха.  Условная 

вероятность. Формула полной вероятности. 

Элементы комбинаторики и испытания Бернулли 

Правило  умножения,  перестановки,  факториал.  Сочетания  и  число 

сочетаний.  Треугольник  Паскаля  и  бином  Ньютона.  Опыты  с  большим 

числом равновозможных элементарных событий. Вычисление вероятностей в 

опытах  с  применением  элементов  комбинаторики.  Испытания  Бернулли. 

Успех и неудача. Вероятности событий в серии испытаний Бернулли.  

Геометрическая вероятность 

Случайный  выбор  точки  из  фигуры  на  плоскости,  отрезка  и  дуги 

окружности. Случайный выбор числа из числового отрезка. 

Случайные величины 

Дискретная  случайная  величина  и  распределение  вероятностей. 

Равномерное  дискретное  распределение.  Геометрическое  распределение 

вероятностей.  Распределение  Бернулли.  Биномиальное  распределение. 

Независимые  случайные  величины.  Сложение,  умножение  случайных 

величин. Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия и стандартное 

отклонение  случайной  величины;  свойства  дисперсии.  Дисперсия  числа 

успехов  в  серии  испытаний  Бернулли.  Понятие  о  законе  больших  чисел. 

Измерение вероятностей и точность измерения. Применение закона больших 

чисел  в  социологии,  страховании,  в  здравоохранении,  обеспечении 

безопасности населения в чрезвычайных ситуациях.  

Геометрия 

Геометрические фигуры 

Фигуры в геометрии и в окружающем мире 

Геометрическая  фигура.  Внутренняя,  внешняя  области  фигуры, 

граница.  Линии  и  области  на  плоскости.  Выпуклая  и  невыпуклая  фигуры. 

Плоская и неплоская фигуры.  

Выделение  свойств  объектов.  Формирование  представлений  о 

метапредметном  понятии  «фигура».  Точка,  отрезок,  прямая,  луч,  ломаная, 

плоскость,  угол,  биссектриса  угла  и  еѐ  свойства,  виды  углов, 

многоугольники, окружность и круг. 

Осевая  симметрия  геометрических  фигур.  Центральная  симметрия 

геометрических фигур. 

Многоугольники 

386

 

 

Многоугольник,  его  элементы  и  его  свойства.  Правильные 

многоугольники.  Выпуклые  и  невыпуклые  многоугольники.  Сумма  углов 

выпуклого многоугольника.  

Треугольник. 

Сумма 

углов 

треугольника. 

Равнобедренный 

треугольник,  свойства  и  признаки.  Равносторонний  треугольник.  Медианы, 

биссектрисы,  высоты  треугольников.  Замечательные  точки  в  треугольнике. 

Неравенство треугольника. 

Четырѐхугольники.  Параллелограмм,  ромб,  прямоугольник,  квадрат, 

трапеция.  Свойства  и  признаки  параллелограмма,  ромба,  прямоугольника, 

квадрата. Теорема Вариньона.  

Окружность, круг 

Их элементы и свойства. Хорды и секущие, их свойства. Касательные и 

их  свойства.  Центральные  и  вписанные  углы.  Вписанные  и  описанные 

окружности  для  треугольников.  Вписанные  и  описанные  окружности  для 

четырѐхугольников. Вневписанные окружности. Радикальная ось. 

Фигуры в пространстве (объемные тела) 

Многогранник  и  его  элементы.  Названия  многогранников  с  разным 

положением и количеством граней. Первичные представления о пирамидах, 

параллелепипедах,  призмах,  сфере,  шаре,  цилиндре,  конусе,  их  элементах  и 

простейших свойствах.  

Отношения 

Равенство фигур 

Свойства  и  признаки  равенства  треугольников.  Дополнительные 

признаки равенства треугольников. Признаки равенства параллелограммов. 

Параллельность прямых 

Признаки  и  свойства  параллельных  прямых.  Аксиома  параллельности 

Евклида.  Первичные  представления  о  неевклидовых  геометриях.  Теорема 

Фалеса. 

Перпендикулярные прямые 

Прямой угол. Перпендикуляр к прямой. Серединный перпендикуляр к 

отрезку.  Свойства  и  признаки  перпендикулярности  прямых.  Наклонные, 

проекции, их свойства. 

Подобие 

Пропорциональные  отрезки,  подобие  фигур.  Подобные  треугольники. 

Признаки подобия треугольников. Отношение площадей подобных фигур.  

Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. 

Измерения и вычисления 

Величины 

387

 

 

Понятие  величины.  Длина.  Измерение  длины.  Единцы  измерения 

длины. 

Величина угла. Градусная мера угла. Синус, косинус и тангенс острого 

угла прямоугольного треугольника.  

Понятие  о  площади  плоской  фигуры  и  еѐ  свойствах.  Измерение 

площадей. Единицы измерения площади. 

Представление  об  объѐме  пространственной  фигуры  и  его  свойствах. 

Измерение объѐма. Единицы измерения объѐмов. 

Измерения и вычисления 

Инструменты  для  измерений  и  построений;  измерение  и  вычисление 

углов, длин (расстояний), площадей, вычисление элементов треугольников с 

использованием  тригонометрических  соотношений.  Площади.  Формулы 

площади  треугольника,  параллелограмма  и  его  частных  видов,  трапеции, 

формула  Герона,  формула  площади  выпуклого  четырѐхугольника,  формулы 

длины окружности и площади круга. Площадь кругового сектора, кругового 

сегмента. Площадь правильного многоугольника. 

Теорема  Пифагора.  Пифагоровы  тройки.  Тригонометрические 

соотношения  в  прямоугольном  треугольнике.  Тригонометрические  функции 

тупого угла. 

Теорема косинусов. Теорема синусов.  

Решение  треугольников.  Вычисление  углов.  Вычисление  высоты, 

медианы и биссектрисы треугольника. Ортотреугольник. Теорема Птолемея. 

Теорема Менелая. Теорема Чевы. 

жүктеу/скачать 2,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: