Олимпиада есептері 8 сынып І тур есеп

1. 
   Кез – келген натурал саны үшін 2∙3ⁿ ≤ 2ⁿ + 4ⁿ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер. Теңдік қашан орындалады?
   

n=1, 2∙3¹ = 2¹ +4¹, 6 = 6

n = R, 2∙3^R ≤ 2^R + 4^R ақиқат делік, ендеше n = R+1 болғанда

2∙3^R+1 ≤ 2 ^{R +1} + 4^R+1 дұрыс екенін дәлелдейік

2∙3∙3^R ≤ 2∙2^R + 4∙4^R, 3∙3^R ≤ 2^R + 2∙4^R, 3^R + 2∙3^R ≤ (2^R + 4^R) + 4^R өйткені

3^R < 4^R д.к.о.е.

деп тіл қатты:- Бүгін ұлымның жасы, менің жасым және сіздің жасыңыз-бәрі жай сандар.-Иә, ал бес жылдан соң біздің жастарымыздың бәрі толық квадраттар болады,- деп атасы жауап қайтарды. Немересі туған кезде атасы қанша жаста еді?

Бес жылдан соң немересі 16-да, әкесі 36-да, атасы 64-те болады.

Шешуі: 1) алдымен Р нүктесінің бойында жататын нүктелерді салайық. Шеңбер сызамыз. Шеңбердің бойында жатқан А және В нүктелерін центр етіп алып, радиустары әртүрлі шеңбердің доғаларын сызамыз. (1 – сурет).Бұл доғалардың қиылысу нүктесін Р, ал шеңбермен қиылысу нүктелерін Р₁,Р₂,Р₃ деп белгілейміз. Сонда Р₁,Р₂,Р₃ нүктелері Р нүктесіне үшбұрыштың қабырғаларына қатысты симметриялы нүктелер және А, Р, Р₁, сол сияқты В, Р,Р₂ нүктелері сәйкесінше бір түзудің бойында жатады. АР₁∩ ВР₂ = Р

2. 
   РР₃ кесіндісінің ортасы О₁ нүктесі арқылы осы кесіндіге перпендикуляр түзу жүргізейік. (2 – сурет). Бұл түзу А және В нүктелерінен өтеді, өйткені
   

2. 
   РО₂ = Р₁О₂ , РО₃ = Р₂О₃ . ВО₂ ⊥ РР₁ , АО₃ ⊥РР₂
   

АО₃ ∩ ВО₂ = С АО₂ ∩ ВО₃ = Р. Сонымен, Р₃Р ∩РРРРР АО₃ ∩ ВО₂ = С, демек Р нүктесі үшбұрыш биіктіктерінің қиылысу нүктесі.

1