Олимпиада есептері 8 сынып І тур есеп
жүктеу/скачать 1,35 Mb.
|
Олимпиада есептері (2)
- Бұл бет үшін навигация:
- ІІІ тәсіл. Есептің бұл шешімі ғаламтордан алынды. Енді осы шешімге тоқталайық
- І В(-5;h) C(5;h) Y K ІІ тәсіл.
- 2 есеп.
- Жауабы
- 5 есеп.
| 11 сынып
І тур Шеңберге іштей сызылған трапецияның бүйір қабырғаларының ұзындықтарының қосындысы , биіктігі 6, ал ауданы 72 болса, шеңбердің радиусын табыңдар Шешуі: І тәсіл. Тек теңбүйірлі трапецияға ғана сырттай шеңбер сызуға болатындығы бізге белгілі, олай болса, АВ = СД = 2 ∆
В АВМ – нен АМ2 = АВ2 – ВМ2, АМ2 = (2)2 – 36 = 4, АМ = 2, АД = ВС + 2АМ, яғни АД = ВС + 4 е
АД = 14. sin (∠A) = , sin (∠A) = = , sin (∠A) = ∆МВД – дан ВД2 = ВМ2 +ДМ2, ВД2 = 36 + 144 = 180 , ВД = = 6 ∆АВД –дан = 2R, R = , R = = = 5 Жауабы: 5 ІІ тәсіл. R = = немесе = АД ∙АВ∙ sin (∠A) = 14∙2 ∙ = 42 R = = 5 R = 5 ІІІ тәсіл. Есептің бұл шешімі ғаламтордан алынды. Енді осы шешімге тоқталайық ( авторы Х. Утешов ) Шешуі: АЕ=2см бұдан а=10см, ВС=10см. жүйені шешкенде х=1 шығады, радиусты табамыз: R2=49+1=50см2 В K С O
E
Есептің шешімінде шеңбердің центрі КF кесіндісінің бойындағы О нүктесі, яғни шеңбердің ішінде деп қарастырылған. Теңбүйірлі трапеция болғандықтан шеңбердің центрі трапецияның ішінде жатпауы да мүмкін ғой. Осыған байланысты келесі қосымша есепке тоқталайық. Есеп: Тең бүйірлі трапецияның табандарының ұзындықтары 14см және 10см. Биіктігінің ұзындығы қандай болғанда трапецияға сырттай сызылған шеңбердің центрі:а) Трапецияның үлкен табанында: Y 9 ә) Трапециядан тысқары б В(-5;h) 9 В(5;h) 9 ) Трапецияның ішінде жатады. Шешуі: І тәсіл. Трапеция тең бүйірлі б
9 олғандықтан, оған сырттай шеңбер
9 O 9 сызылған. Оның центрі трапецияның үлкен табанында жатқан О нүктесі болсын. Төбелерінің координаталары А
(-7; 0), В(-5;һ), С(5;һ), Д(7;0) болатындай етіп тікбұрышты координаттар жүйесін еңгізейік(һ трапеция биіктігінің ұзындығы) 1а – сурет. А мен С және С мен Д нүктелерінің арақашықтықтарын d= формуласы бойынша есептейміз. Сонда АС= = , СД = = болады. АСД үшбұрышында = 90° болғандықтан =, яғни + = 196 , бұдан һ = 2 ІІ тәсіл.СА мен СД – ны өзара перпендикуляр векторлар деп қарастырайық. Онда және болады. Перпендикуляр векторлардың скаляр көбейтіндісі - 24 + һ2 = 0, осыдан һ = 2 І В(-5;h) C(5;h) Y K ІІ тәсіл. О(0;y0) шеңбердің центрі болсын. = = һ болады. (1ә – сурет) ∆ОNД ⇒∠N = 90°, = y0 О(0;y) = 7 , + ⇒ ⇒
Д(7;0) N y02 +49 = В(-5;h) ∆
OKC⇒∠K = 90°, = h - y0 , + = ⇒ +52 = һ2 – 2һy0 + y02 + 25 = өрнегін аламыз y02 + 49 = һ2 – 2һy0 + y02 + 25⇒ һ2 – 2һy0 – 24 = 0, осыдан, y0 = Сонымен, а) Егер y0 > 0 болса, > 0 яғни һ > 2 болғанда шеңбердің центрі трапецияның ішінде жатады. Бізде һ = 6, 6 > 2 ә) Егер 0< h < 2 болса , онда шеңбердің центрі трапециядан тысқары жатады, себебі y0< 0 б) Егер һ = 2 болса, онда шеңбердің центрі трапецияның үлкен табнында жатады. Бұл есепті басқа да бірнеше тәсілмен шығаруға болады. Қорыта айтқанда, қосымша есепті шығармай жатып трапецияға сырттай сызылған шеңбердің центрінің орнын алдын – ала анықтау жаңсақ пікір деп есептеймін. Сонымен, 6 > 2 болғандықтан, трапецияға сырттай сызылған шеңбердің центрі трапецияның ішінде жатады, ендеше R = 5 Қай тәсілдің тиімді екендігін оқырман өзі анықтай жатар. 2 есеп. Бізге * амалының мынадай қасиеттері белгілі: және өрнегінің мәнін табыңдар Шешуі: 100 = 100 ∗( 9+ 1) = 100∗9 + (100 – 9 ) = 100∗9 + 91 100∗9 = 100∗( 8+ 1) = 100∗8 + (100 – 8 ) = 100∗8 + 92 ............................................................................................ 100∗2 = 100∗( 1+ 1) = 100∗1 + (100 – 1 ) = 100∗1 + 99 100∗1 = 100∗( 0+ 1) = 100∗0 + (100 – 0 ) = 0 + 100 = 100 Бұдан 100 = 91 + 92 + ∙∙∙ +100 = 995, демек, 100 = 995 Жауабы: 100 = 995 3 есеп. 10х+11х+12х=13х+14x теңдеуін нақты сандар жиынында шешіңдер. Шешуі: Дербес жағдайларды қарастырайық. x = 0 100 + 110 +120 = 130 + 140, 3≠2 x = 1 101 + 111 +121 = 131 + 141, 33≠27 x = 2 102 + 112 +122 = 132 + 142, 365 = 365 Берілген теңдеуді түрлендіреміз ++= + 1 Теңдеудің сол жағында , ал оң жағында өспелі функция, сондықтан бұл функциялар бір ғана нүктеде қиылысады, олай болса, x = 2 теңдеудің шешімі болады Жауабы: x = 2 11 сынып ІІ тур 4 есеп. Ондық жазбасы тек қана 0,1,2 цифрларынан құрылған, 3-ке қалдықсыз бөлінетін қанша алты-таңбалы сан бар? Шешуі. Тек 0,1,2 цифрларынан ғана тұратын 3 – ке бөлінетін 6 орынды санның құрамындағы әр цифрдың саны әртүрлі болады. Мысалы 122220, 112200, 111120, 120000. Осы төрт санның цифрларының орнын алмастырып (ауыстырып) әртүрлі қанша алты орынды сан алуға болатындығын табайық. 122220 санына байланысты қайталанатын алмастырулар саны (число всех перестановок с повторениями) . С6(1,4,1) = = = 30. Санның алғашқы цифры нолге тең бола алмайтындықтан, С5(1,4) табамыз С5(1,4) = = = 5. С6(1,4,1) – С5(1,4) = 30 – 5 = 25 Сонымен, 122220 санының цифрларының орнын алмастырып әртүрлі 25 алты орынды сан аламыз. Екінші санға қатысты қайталанатын алмастырулар санын анықтайық. С6(2,2,2) = = 90. С5(2,2,1) = = = 30 С6(2,2,2) – С5(2,2,1) =90 – 30 = 60 Үшінші санға тиісті қайталанатын алмастыру саны да 25 болады. Төртінші санға қатысты алмастырулар саны С6(1,1,4) – С5(1,1,3) =30 – 20 = 10 Демек, 0,1,2 цифрларынан тұратын 3 –ке бөлінетін 25 + 60 + 25+10 = 120 алты орынды сан бар. Жауабы: 120 5 есеп. 2а·3в-3в+1+2a=13 теңдеуін теріс емес бүтін сандар жиынында шешіңдер. Шешуі: теңдеуді түрлендіріп жазайық. 2а(3в+1) – 3(3в+1) =10, (3в+1)(2а - 3) =10 , 10 – ды да көбейткіштерге жіктеп,келесі түрлендірулерді шешейік. 3в+1 =10, 2а-3 =1 3в =9, 2а=4 ⇒ в=2, а=2. 3в+1 =2, 2а-3 =5 3в =1, 2а=8 ⇒ в=0, а=3. 3в+1 =1, 2а-3 =10 ⇒ 3в≠0, 2а≠13 3в+1 =5, 2а-3 =2 ⇒ 3в≠4, 2а≠5 Өйткені а мен в теріс емес бүтін сандар. Жауабы: (2;2), (3;0) 6 есеп. Үшбұрыш қабырғаларының ұзындықтары теңдігін қанағаттандырады. Осы үшбұрыштың мәні ортаншы болатын бұрышын табыңыз. Шешуі: = ⇒ (а+2в+с)(а+в+с)=3(а+в)(в+с)⇒ а2+3ав+2ас+ 3вс+ + 2в2+с2 =3ав+3ас+3вс+3в2. Теңдіктің екі жағындағы ұқсас мүшелерін біріктіріп алатынымыз: а2-ас-в2+с2=0 Сонымен, осыдан, ас = яғни, = ,=60° Жауабы: =60° жүктеу/скачать 1,35 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|