Өрістің математикалық теориясы скалярлық және векторлық өрістер

Өрістің бұлай аталуы өрісте зерттелетін процестің көрінісі жазықтығында да, не оған параллель кез келген жазықтықта да бірдей болуымен байланысты.

2. 
   
   Сфералық өріс. Егер өрісті анықтайтын скалярлық не векторлық функция тек айнымалы нүктенің координаталар системасының басына дейінгі қашықтықтан тәуелді, яғни түрінде болса, оны сфералық өріс деп атайды.
   
3. 
   
   Өске симметриялы өріс. Егер цилиндрлік системасында өрісті анықтайтын функция – ден тәуелсіз де, тек пен шамаларынан тәуелді болса, оны өске симметриялы өріс деп атайды.
   
4. 
   
   Цилиндрлік өріс. Егер цилиндрлік координаталар системасында өріс – ден ғана емес, – тен де тәуелсіз , яғни түрінде болса, оны цилиндрлік өріс деп атайды.
   

Айталық, скалярлық өріс берілген болсын.

Тұрақты шамасының әр түрлі сандық мәніне әр түрлі деңгейлік бет сәйкес келеді, демек, кеңістіктегі стационар скалярлық өрісті деңгейлік беттердің қабаттамасы деп қарауға болады.

Мысалы, өрісі үшін, мәні бірге тең деңгейлік беті жазықтығы, ал мәні үшін жазықтығы деңгейлік беті болып табылады т.с.с.
Скалярлық функцияның бағыт бойынша туындысы.
Скалярлық функциясының өзгеру жылдамдығы өзінің анықталу аймағында жатқан әр түрлі қисықтың бойында әр түрлі болуы мүмкін.
Алдымен доға бойынша алынған туынды деген ұғымды енгізейік.


Анықтама. скалярлық функциясының нүктесінде доғасы бойынша алынған туындысы деп төмендегі шекті айтады:
Енді есептейік.
Функцияның толық өсімшесі: , (4)
мұндағы мен салыстырғанда жоғары ретті өте аз шама.

Сонда (5)

Сондықтан (6)

Осылайша (7)
Болатынын дәлелдеу оңай.
(6), (7) формулаларды (5) –ке қойсақ, мынадай формуланы шығарып аламыз:

(8)
Өйткені

Скалярлық өрістің градиенті.

(9)
Мұндағы (10)