§8. Қисық сызықты координаталардағы ротор

Әуелі –ның нүктесіндегі және бағытындағы проекциясын есептелік. Ал бізге ротордың қандай да бір бағыттағы проекциясының векторының сол бағыттағы циркуляциясының тығыздығына тең екндігі белгілі. бағытындағы циркуляция тығыздығын есептеу үшін нүктесін қоршаған тұйық контур бойынша алынған циркуляцияның сол контурмен шектелген аймағының ауданына қатынасын табамыз. Ал аймағы, беттің нүктесіндегі нормаль векторының бойымен бағытталатындай бетте жатуы қажет.

Бұл бет ретінде нүктесі арқылы өтетін координаталық бетін, ал аймағы ретінде координаттық сызықтармен шектелген аймағын алған ыңғайлы болады. (20 – сурет)

Бұл бетте: екені анық.

Олай болса бетінің ауданы былай анықталады:

(– Ламе коэффициенттері).

Енді аймағының контуры бойынша вектордың циркуляциясын есептейміз, яғни

Бірінші интеграл

Үшінші интеграл

(10) –мен (11) –ді қоссақ,

Онан кейін интегралдың орта мәні туралы теореманы қолдансақ, болады. Мұндағы бетіндегі белгілі бір нүкте.

Осылайша пайымдап,

(12) мен (13) – ті қоссақ, векторының – ның контуры бойындағы толық циркуляциясын табамыз:

Бұл нәтижені бетінің ауданы –ға бөліп, дағы шекке көшсек, онда

Осыған ұқсас түрде –ның бағыттарындағы проекциялары былайша өрнектеледі:

Демек,

1. 
   Декарт координаталар жүйесінде:
   
2. 
   Цилиндрлік координаталар жүйесіндегі ротор:
   

3. 
   Сфералық координаталар жүйесіндегі ротор:
   

1. 
   Векторлық өрістің роторын есептеп табыңыздар.
   
2. 
   Күш өрісінің теңдеулерімен берілген винттік сызық дің бір айнымалы бойындағы жұмысын табыңыздар.
   
3. 
   Векторлық өрісінің теңдеулерімен берілген контуры бойынша циркуляциясын табыңыздар.
   

Бұны былайша түсіндіруге болады: дивергенцияны есептеуге мүмкіндік беретін аналитикалық формулалардың әр түрлі координаталар жүйесінде түрліше болатындығына қарамастан, олардың барлығы бір скалярлық өрісті кескіндейді, себебі кеңістіктің әрбір нүктесінде дивергенцияның мәні берілген алғашқы өрісі бойынша бір мәнді түрде анықталады.

Осыған ұқсас түрде өрісінің роторы туралы да пайымдауға болады.