Өрістің математикалық теориясы скалярлық және векторлық өрістер

Ал жазған уақытта және орнына және деп жазу ыңғайлырақ болады, сонда тензорлық есептеуде, қайталанатын ? бойынша қосынды белгісін жазбауға келісімен, яғни соңғы формуланы былайша жазуға болады:

Базисті ауыстырған кезде вектордың проекцияларының түрлену заңын қорытып шығарайық

евклид базисынан басқа евклид базисына көшу төмендегі формула бойынша іске асады:, қысқаша

мұнда индексі, индексіне қарағанда еркін индекс деп аталады. (2) – формуланы жаңа базис бойынша жазып, оған (3) – формуланың мәнін қойсақ, сонда

ал нәтижесі (2) – теңдікке тең болуы керек болғандықтан, яғни , сонда

Біз евклид базисынан басқа базиске көшу матрицасы ортогональды болғандықтан, өзінің аударылған матрицасына кері болып табылады, сондықтан (4) – теңдікті –ге қарағанда шешімі

теңдігі шығады. Міне осы түрлендіру заңы болып табылады.

Айталық, -өлшемді заттық евклид кеңістігінің әрбір базисына жиынының нақты шамалары сәйкес келеді делік.

(мұнда –индекстер, олапдың әрқайсысы мәндерін қабылдауы мүмкін).

Айталық, бұл шамалар жаңа евклидтік базиске көшкенде мына формула бойынша өзгереді делік:

Мұнда теңдіктің оң жағындағыны мылқау индекстер бойынша еселі қосынды деп есесптейміз.

Сонда кеңістігінде өлшемді рангі –ғы тең компоненттері бар евклидтік иензор берілген деп есептейміз.

Сонымен вектордың проекциялары рангі бірге тең тензорды, ал бейнелеу матрицасының элементтері рангі екіге тең тензорды құрайды.

Рангі нөлге тең тензордың басзисті таңдауға тәуелсіз бір ғана компоненті болады, ондай шаманы скаляр деп атайды.

Тензорларды Евклид кеңістігінде қарастырайық. Бұл кеңістікте олардың өлшемділігі белгіленген болады.

Тензорларға амалдар қолдануды тек төменгі рангілі тензорлар үшін қарастырайық, жоғары рангілі тензорлар үшін ережелер осыған ұқсас түрде жүзеге асады.

1. 
   Рангтері бірдей тензорлардың қосындысы да тензор болып табылады, ал оның компоненттері қосылғыштардың компоненттерінің қосындысына тең, яғни
   
2. 
   Тензордың санына көбейтіндісі де тензор болады, яғни
   
3. 
   Тензорлардың тензорлық көбейтіндісі ереже бойынша іске асады :
   

Дербес жағдайда, векторлардың тензорлық көбейтіндісі екінші рангілі тензор болады:

мұны диада деп атайды.

4. 
   Тензорларды ықшамдау (қысқарту) оның компоненттерінің екі индексін теңестіру болып табылады, оның үстіне теңестірілген индекс екінші рет қайталанады, яғни ол мылқау болады да тензордың рангі екіге кемиді.
   

5. 
   Индекстерді алмастыру.