Өрістің математикалық теориясы скалярлық және векторлық өрістер
жүктеу/скачать 225,28 Kb.
|
| 2 – мысал. Айталық, тағайындалған нүктесі (координаталар басы) арқылы кеңістікте тағы да өрістері жүргізілсін делік.
үштік сандарын қарастырайық. Мұндағы Бұл үштік сандарға аппликатасы –ке тең, ал онан жазықтығындағы проекциясының полярлық координаталары және болатын нүктесін сәйкес қоялық. Әрбір үштік сандарына кеңістіктің белгілі бір нүктесі және керісінше, кеңістіктің әрбір нүктесіне үштік сандары сәйкес келетіні айқын. Мұнда Ескерту. Егер нүктесі өсінің бойында жатса, онда мен бірмәнді түрде анықталады, ал кез келген мәндерді қабылдайтын болады. сандары нүктесінің цилиндрлік координаталары деп аталады. Нүктенің цилиндрлік және декарт координталарының арасындағы байланысты былайша көрсетуге болады: (1) және (2) 3 – мысал. Сфералық координаталар жүйесін енгізейік. Кеңістіктегі нүктесінің орнын төмендегідей түрде сипаттайтын үш санын қарастырайық: – координаталар басынан нүктесіне дейінгі арақашықтық (радиус -вектордың ұзындығы),
Бұл жағдайда да кеңістіктің әрбір нүктесіне үштік саны ғана емес, мұндағы, оған керісінше әрбір осындай үштік сандарға кеңістіктің белгілі бір нүктелері (бірмәнділік бұзылатын өсінің нүктелерінен басқа) Сфералық және декарттық координаталардың арасындағы байланысты оңай табуға болады: және
Енді кез келген координаталар жүйесіне оралайық. Біз кеңістіктің әрбір нүктесіне белгілі бір үштік саны ғана емес, оған керісінше, әрбір үштік санға кеңістіктің белгілі бір нүктесі сәйкес келетін болсын деп есептейміз. Координаттық беттер мен координаттық сызықтар ұғымын енгізейік.
Егер сандары нүктесінің кординаттары болса, онда осы нүктеде координаттық беттері қиылысатындығына оңай көз жеткізуге болады. Анықтама. Өн бойында тек қана координатасы өзгеретін (ал қалған екеуі өзгермейтін) нүктелердің жиынын – координаттық сызығы деп атайды. Кез келген – координаттық сызығының және координат жазықтықтарының қиылысу сызығы болып табылатындығы айқын. Осыған ұқсас – координаттық сызықтарының да анықтамасын беруге болады. 1 – мысал. Декарт координаталар жүйесінде жазықтығына параллель барлық жазықтықтары координатасы бойынша координаттық бет болып табылады. Осыған ұқсас түрде және координаталары бойынша координаттық беттерді де анықтауға болады. өсіне параллель түзу – координаттық сызығы, ал және өстеріне парллель түзулер сәйкес және – координаттық сызықтары болып табылады. 2 – мысал. Цилиндрлік координаталар жүйесінде жазықтығына параллель кез келген жазықтық ( координаттық беті), өсі өсінің бойымен бағытталған дөңгелек цилиндрдің беті ( координаттық беті) және өсімен шектелген жартыжазықтық ( координаттық беті) координаттық беттер болып табылады. (4-суретті қара) Бұл жүйеде өсіне параллель түзу – сызығы, центрі өсінде болатын горизонталь жазықтықта жататын шеңбер – сызығы, өстің кез келген нүктесінен шығатын, жазықтығына параллель сәуле – -сызығы координаттық сызықтар болып табылады. (5-суретті қара) Координаталық беттердің ішінде цилиндрлік беттер болғандықтан, оларды цилиндрлік беттер деп атайды.
Координаталық беттердің ішінде сфералар болғандықтан, оларды сфералық беттер деп атайды. Координаталар басынан шығатын сәулелер (- сызығын) өсінің екі нүктесін қосатын центрі координаталар басында жататын жартышеңберді (- сызығын) және центрі өсінде болатын өзі горизонталь жазықтықта жататын шеңберді (- сызығын) координаттық сызықтары болып табылады. (7-сурет) Жоғарыда қарастырылған мысалдардың барлығында қандай да болмасын нүкте арқылы өтетін координаттық сызықтардың бір-біріне ортогональды екендігін көреміз. Бірақ координаталар жүйелерінің барлығы бірдей мұндай болмайды. Біз алдағы уақытта тек қана ортогональды координаталар жүйелерін қарастыратын боламыз. Анықтама. Егер әрбір нүктесі арқылы өтетін координаттық сызықтар, сол нүктеде бір-бірімен тік бұрыш жасап қиылысатын болса, онда координаталар жүйесі ортогональды деп аталады. Енді кеңістікте бер нүктесін қарастырайық және осы нүктеде сәйкес координаттық сызықтармен жанасатын, ал бағыты сәйкес координаталардың өсу бағытымен бағыттас болатын бірлік векторларын жүргізейік. Егер бұл векторлар әрбір нүктеде оң үштік құрайтын болса, онда біз оң координаталар жүйесі берілген деп есептейміз.Мысалы, декарт координаталар жүйесі (өстер осы бағытта орналасқан жағдайда). Сол сияқты цилиндрлік координаталар жүйесі және сфералық координаталар жүйесі (өстер осы бағытта орналасқан жағдайда) оң болып табылады. (8,9,10-суреттерді қара) Декарт координаталар жүйесінде векторының бағыты, ол векторда қандай нүктесінде жүргізгенімізге байланысты емес екендігін байқауға болады. Осы айтылған тұжырымдама және векторлары үшін де дұрыс болып табылады. Ал қисық сызықты координаталар үшін бұл жағдай мүлдем басқаша. Мысалы, цилиндрлік координаталар жүйесінде нүктесінде және басқа бір нүктесінде жүргізілген векторлары бір-біріне параллель болуы міндетті емес. Сол сияқты векторрлары да әр түрлі нүктелерде әр түрлі бағытта болуы мүмкін. Сөйтіп, қисық сызықты координаталар жүйесінде бірлік ортогональды векторлардың үштігі, осы векторлар қарастырылатын нүктесінің орнына байланысты болады. бірлік ортогональды векторлардың үштігі қозғалмалы деп, ал векторлардың өздері бірлік орттар (немесе орттар) деп аталады.
жүктеу/скачать 225,28 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|