Өрістің математикалық теориясы скалярлық және векторлық өрістер

§6. Қисық сызықты координаталардағы векторлық өріске қолданылатын интегралдық және дифференциалдық операциялар.

Векторлық өрістің дифференциалдық екі басты сипаттамасы бар, олар: дивергенция (таралым) және ротор (құйын).

Бұл ұғымдарды енгізбестен бұрын алдын ала бірнеше көмекші ұғымдар енгізу қажет.
Векторлық өрістің қисық сызықты интегралы.

Біз тек интегралдау жолынан координаттық сызықтың белгілі бір бөлігімен беттескен жағдайын ғана қараумен шектелеміз.

Айталық, бізге интегралын есептеу керек болсын, мұндағы векторы (1) – шектікпен берілген, ал сызығы координаттық сызығының бөлігі, ал мен –ның аралығында өзгереді. (14 – сурет)

Интегралды есептеу үшін доғасын нүктелерімен бөлшектейміз, бастапқы және ақырғы нүктелерін арқылы белгілейік.

Сонда

мұндағы

Барлық нүктелері – координаттық сызығында жатқандықтан, бұл нүктелердің бір-бірінен айырмашылығы тек бірінші координатасының мәндерінде ғана болатындығын, ал және координаталарының мәндері бүкіл сызығының бойында өзгермейтіндігін байқауға болады. Сондықтан нүктелерінің координаталарын былай жазуға болады:

және нүктелерінің бірінші координаталарының айырмасын арқылы белгілейік те, векторларын сызығына нүктесінде жүргізілген жанаманың бойымен бағытталған деп есептейік. Сонда

Демек,

және

Егер бұл теңдіктегі интегралдау жолы координанттық сызығының белгілі бір бөлігі болатын болса, онда ол қисық сызықты интегралды еспетеу формуласы болып табылады.

Бұл формулаларды осыған ұқсас түрле интегралдау жолдары немесе координаттық сызықтарының бөліктері болған жағдайда да жазуға болады.

Егер координаталар сызықтарының доғаларынан құралған тұйық контур бойынша алынған циркуляцияны есептеу керек болса, онда біз бүкіл контурды өн бойында тек бір ғана координата өзгеретін бөліктерге бөлеміз де сол бөліктер бойынша интегралдарды есептеп, нәтижелерін қосамыз.

Бұл жерде біз координаттық беттің (мысалы, – бетінің) бөлігі болып табылатын беті арқылы өтетін ағынын есептейік. Кез келген бетінің жалпы жағдайын біз қарастырмаймыз.

Ағынның анықтамасы бойынша, ол интегралына тең. Мұндағы векторы (1) – теңдікпен анықталады, ал – жатық, не үзік-жатық екі жақты беті – бетінде жатқандықтан, оған жүргізілген –бірлік нормалы бірлік векторымен беттеседі.

векторының алдындағы таңбаны плюс деп аламыз, яғни ағынды векторының бағыты бойынша аламыз. Сонда

Сондықтан

Соңғы интегралды сесептеп табу үшін бетін кординанттық сызықтар арқылы элементар ауданшаларға бөлейік.

Енді бетінде –координатасының тұрақты екендігін ескеріп, интегралдық қосындыға көшеміз. Сонда

теңдігі шығады.

Мұнда – екі координаталар сызықтарының –ші –сызығы мен –ші –сызықтарының қиылысу нүктелері. символы арқылы қабырғалары координанттық сызықтарда жататын, төбелері нүктелерінде жататын қисық сызықты тіктөртбұрышты белгіленген.

нүктелерінің координаталарын арқылы, ал бұл нүктеден элементар ауданшасының көршілес төбесіне ауысқан жағдайдағы және координаталарының өсімшелерін және арқылы белгілейік. Сонда ауданшасының және қабырғалары болатын тіктөртбұрыш болып табылатындығын байқауға болады (жоғары ретті шектеулі аз шамаға дейінгі дәлдікпен).

Әр қабырғасының ұзындығы Ламе коэфициенттері арқылы оңай есептеп те табуға болады:

Сондықтан

Бұл мәнді (3)-теңдікке қоямыз. Сонда

Бұл теңдіктің оң жағында екі айнымалылы функцияның интегралдық қосындысы тұр, оның шегі осы айнымалылар бойынша алынған қос интегралға тең.

Бұл интегралдың интегралдау шекараларын анықтау үшін айнымалы нүкте аймағында жатқан жағдайда және координаталарының қалай өзгеретінін білу керек.

Айталық, мысалы, координатасы тұрақты болғанда, координатасы ден дейінгі мәндерді қабылдайды. Оның үстіне толық түрде дан –ға дейін өзгеретін болсын делік.(16 – сурет)

Сонда қос интегралдың теориясы

Егер аймағы координанттық сызықтармен шектелген болса, онда (4) – формула біраз ықшамдалады. Мысалы, егер кез келген үшін дан –ға өзгеретін болса, онда (17 – суретті қара)

• 
  бетінің немесе – бетінің бөлігі арқылы өтетін оған (4) немесе (4’) формуласына ұқсас түрде есептелінеді.