Өрістің математикалық теориясы скалярлық және векторлық өрістер

1. Тензор барлық немесе кейбір индекстері бойынша симметриялы деп аталады, егер де кез келген екі индексінің орынын алмастырғаннан ол өзгермейтін болса.

2. 
   Тензор қиғаш симметриялы деп аталады, егер кез келген екі индексінің орнын алмастырғанда, ол минус бірге көбейтілетін болса.
   

Екінші рангілі тензорлар.

Мұндай тензорды кез келген евклидтік базисты таңдаған кезде берілген сызықтық бейнелеу матрицасының элементтерінің жиыны деп қарастыруға болады. Сондықтан II-рангілі тензорлар теориясы матрицалар теориясымен тығыз байланысты.

Екінші рангілі тензорлардың әрқайсысын симметриялы және қиғаш симметриялы тензорлардың қосындысы түрінде қарастыруға болады. Ол төмендегі формула бойынша жүзеге асырылады:

, мұндағы оның үстіне тензорынан тензорына көшуді тензорды симметриялау деп, ал тензорына көшуді тензорды альтерннациялау деп атайды.

Симметриялы тензоры үшін базисты әрқашанда диагональ бойында жатпайтын компоненттері, яғни компоненттері нөлге тең болатындай етіп таңдап алуға болады, ал диагональдің бойында жататын элементтері матрицаның меншікті мәндеріне тең болады. Мұндай базисты таңдау тензорды бас өске келтіру деп аталады, өйткені ондай базис екінші ретт беттің бас өсінің бойымен бағытталады және базисты таңдауға тәуелсіз болып табылады.

Үш өлшемді кеңістікте қиғаш симметриялы тензоры үшін әрқашанда кез келген векторы үшін теңдігі орындалатындай векторын таңдап алуға болады.

Шынында, векторын базистың бір таңдауына сәйкес алсақ жеткілікті, өйткені теңдіктің сол жағы да, оң жағы да ол таңдауға тәуелді емес. Бірақ базисты таңдаған кезде тензорына жалпы түрі мынадай:

толық анықталған қиғаш симметриялы матрица сәйкес келеді.

Бұдан