1. Электрон, находясь в потенциальном ящике, может иметь только дискретные значения полной энергии E1, E2, E3…, величины которых определяет целочисленный параметр n = 1,2,3…, называемый квантовым числом. То есть энергия связанного электрона квантована.
2. Распределение вероятности нахождения электрона в объеме потенциального ящика (плотность вероятности) определяется его энергетическим состоянием – энергией, которой обладает электрон.
Г
рафическая интерпретация выводов (рис.1.4).
Рис. ..4. Первое и второе энергетическое состояние электрона в одномерном потенциальном ящике. Полная энергия Еi (1), соответствующая ей волновая функция i(x) (2) и плотность вероятности i2(x) (3) электрона
1. Энергия электрона, находящегося в потенциальном ящике, не зависит от координаты и может принимать значения , где a – параметр ящика; m – масса частицы; n – целочисленный параметр.
2. Плотность вероятности для электрона в ящике (распределение вероятности нахождения электрона в различных точках объема) зависит от энергии частицы.
Электрон в трехмерном потенциальном ящике. Вырожденные энергетические состояния.
Задача о нахождении частицы в трехмерном потенциальном ящике аналогична предыдущей, их граничные условия полностью совпадают: волновая функция на границах ящика обращается в ноль, потенциальная энергия внутри ящика равна нулю (V=0), а за пределами ящика – бесконечности (V=), то есть частица находится в трехмерном потенциальном ящике и не может покинуть его. Единственным отличием является то, что волновая функция для частицы в трехмерном потенциальном ящике является функцией трех пространственных координат: (x,y,z).
Уравнение Шредингера для данного случая представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных с тремя переменными:
.
Стандартным приемом, которым пользуются при решении такого типа уравнений, является разделение переменных: представление волновой функции в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одной координаты:
,
.
Поскольку правая часть уравнения не зависит от координат, то можно представить полную энергию электрона как сумму трех энергий: E = Ex + +Ey + Ez. Уравнение Шредингера при этом преобразуется в три дифференциальных уравнения, аналогичных волновым уравнениям электрона в одномерном ящике, решение которых уже получено:
,
,
.
Для волновой функции:
, , ,
,
a,b,c – параметры трехмерного потенциального ящика (размеры – длина, ширина, высота); nx, ny, nz – целочисленные параметры – «квантовые числа». Необходимо отметить, что каждой координате соответствует свое квантовое число.
Для энергии:
, , ,
.
Из полученных результатов решения следует:
Достарыңызбен бөлісу: |
