Основы общей химии
Квантово-механическая модель атома
жүктеу/скачать 2,31 Mb.
|
1.3. Квантово-механическая модель атома1.3.1. Основное состояние атома водородаАтом водорода представляет собой систему, состоящую из положительно заряженного ядра (протон – единичный положительный заряд +e) и одного электрона (единичный отрицательный заряд –e), то есть электрон находится в кулоновском поле положительного заряда (рис. 1.6). Потенциальная энергия точечного заряда в кулоновском поле определяется выражением , где e – единичный электрический заряд; r – расстояние между электроном и ядром; – константа в законе Кулона. Тогда уравнение Шредингера для атома водорода принимает вид П оскольку кулоновское поле сферически симметричное, для упрощения решения целесообразно заменить декартову систему координат полярной, в которой в качестве трех координат используются радиус-вектор r и два угла: (тета – угол между радиус-вектором и осью z) и (фи – угол между проекцией радиус-вектора на плоскость xy и осью x) (рис. 1.7). Рис. .7. Связь между декартовыми (x,y,z) и сферическими координатами (r,,): x = rsincos, y = rsinsin, z = rcos В общем виде волновая функция в полярных координатах является функцией трех переменных: . Поскольку единственный электрон атома водорода находится в сферически симметричном поле ядра, следует ожидать, что решением, описывающим основное (не возбужденное) состояние атома водорода, будет сферически симметричная функция, не зависящая от углов . Учитывая, что , можно произвести замену переменных в уравнении Шредингера. Для этого проводятся следующие математические преобразования: , , , , , . Проведя аналогичные преобразования для координат y и z, просуммируем три полученных выражения: Таким образом, уравнение Шредингера в полярных координатах для основного состояния атома водорода [(r)] приобретает следующий вид: . Решить уравнение Шредингера значит найти набор возможных волновых функций электрона и соответствующих им значений энергий. Это уравнение, как и любое дифференциальное уравнение, имеет бесчисленное множество решений, но физический смысл имеют лишь некоторые из них. В данном случае волновая функция описывает реальную физическую систему – электрон в атоме водорода – и связана с вероятностью его нахождения в определенной области пространства, поэтому она должна: - быть однозначной – вероятность нахождения электрона в элементарном объеме пространства однозначна; - непрерывной; - конечной – ни в одной из точек пространства не равна бесконечности; - убывать до нуля при увеличении расстояния между электроном и ядром. Для сферически симметричного кулоновского поля одной из функций, удовлетворяющих перечисленным условиям, является функция вида , где А – нормирующий коэффициент, а – постоянная величина, определяемая в ходе решения. Для решения поставленной задачи первую и вторую производные предложенной волновой функции подставляют в уравнение Шредингера, определяют параметр а и значение энергии: , , . Поскольку , то , . Данное уравнение должно быть справедливым при любых значениях переменной r. А это возможно только в том случае, если левая часть равенства и выражение в скобках в правой части одновременно равны нулю: , . Из второго уравнения определяют постоянную величину а: . Определив а, из первого уравнения определяют значение энергии электрона: Вычисление значения энергии основного состояния электрона в атоме водорода дает величину –13,6 эВ, которая хорошо совпадает с экспериментально определенной энергией ионизации. Полученное значение также совпадает с энергией электрона, находящегося на первой орбите (n=1) атома водорода по теории Бора. Из принципа нормировки следует, что коэффициент . Тогда волновая функция для основного состояния электрона в атоме водорода имеет вид , где – постоянная величина. жүктеу/скачать 2,31 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|