Оқулық Алматы 2010 ббк 65. 051 Ш 78

7-тақырып. Вариацияның көрсеткіштері        129

Асимметриялық  бөлуде  қисық  сызықтың  ұшы  ортада  емес  солға  не-

месе оңға қарай жылжыған. Егер ұшы солға қарай жылжыса, онда оң жақ 

сол жақтан ұзындау болады, бұл жағдай ассиметрия оң жақты деп аталады. 

Жəне, керісінше, егер ұшы сол жаққа қарай жылжыса, онда асимметрия сол 

жақты деп аталады. 

Симметриялық  бөлуде  арифметикалық  орташа  шама  мода  мен 

медианаға тең болады. Əйтпесе бөлу асимметриялық болады, бұл орташа 

шама мен моданың айырмасының орташа квадраттық ауытқу қатынасына 

тең болатын K

A

 асимметрия коэффициентінде көрінеді: 

K

A

 = (

⎯x – Mo) / σ.

Егер орташа шама модадан көп болса, онда K

A

 – оң жəне бұл оң жақты 

асимметрияны  көрсетеді,  ал  егер  орташа  шама,  модадан  аз  болса,  онда 

асимметрия сол жақты болады. 

Жұмысшылар еңбекақы бойынша бөлінетін біздің мысалда 

K

A

 = (33160 – 34650) / 2444 = –1490 / 2444 = – 0,61.

Сөйтіп, бөлуде сол жақты асимметрия бар. 

Эксцесс  деп  қалыпты  бөлумен  салыстырғанда  бөлудің  нақты  қисық 

сызығының  ұшының  жоғары  немесе  керісінше  төмен  орналасуы  атала-

ды.  Бірінші  жағдайда  эксцесс  оң  жəне  ортада  жиіліктің  шоғырлануын 

сипаттайды.  Екінші  жағдайда  эксцесс  теріс  жəне  қатардың  мүшелерінің 

шашыраңқылығын көрсетеді. 

Кейде асимметрия мен эксцестің үшінші жəне төртінші сəтті есептеуге 

негізделген күрделі көрсеткіштері қолданылады. 

Атап айтқанда, асимметрия көрсеткіші (A

s

) үшінші реттің сəтінің ор-

таша квадраттық ауытқудың квадратына қатынасы ретінде есептеледі: 

A

s

 = m

3

 / σ

3

 = {[Σ(x – 

⎯x)

3

 f] / Σf} / σ

3

.

A

s

 > 0 болғанда оң жақты асимметрия, A

s

 < 0 – сол жақты асимметрия 

болады. 

Эксцесс  көрсеткіші (E

x

)  төртінші  реттің  сəтінің  орташа  квадраттық 

ауытқудың  төртінші  дəрежесіне 3-ке  кемітілген  қатынасы  ретінде 

анықталады: 

E

x

 = m

4

 / σ

4 

– 3 = {[Σ(x – 

⎯x)

4

 f] / Σf} / σ

4

 – 3.

E

x

 > 0 мағынасы  бөлу  қатарының  ұшының  жоғары  екенін  (қалыпты 

бөлумен салыстырғанда) сипаттайды, ал E

x

 < 0 жағдайда бөлу қатарының 

ұшы төмен орналасқан. 

Қалыпты бөлудің қисық сызығы бойынша нақты бөлуді теңестіру. 

Нақты  бөлудің  қалыпты  бөлуге  сəйкестігін  тексеру  үшін  нақты  бөлудің 

жиіліктерін  қалыпты  бөлуге  арналған  теориялық  жиілікпен  салыстыру 

9 – 3/10-09

130       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

керек.  Осы  мақсатта  нақты  деректер  бойынша  қалыпты  бөлудің  қисық 

сызықтарының теориялық жиілігін есептейді. Осы жиіліктер нормаланған 

ауытқудың  функциясы  болып  табылады.  Демек,  нақты  бөлу  бойынша 

нормаланған ауытқу табу, содан кейін олардың мөлшері бойынша теория-

лық қалыпты бөлудің жиіліктерін есептеу қажет. 

Басқаша  айтқанда,  бөлудің  нақты  қисық  сызығын  қалыпты  бөлудің 

қисық  сызығы  бойынша  теңестіру  керек.  Осыны  жер  телімдерін  түсімді-

ліктің мөлшері бойынша бөлу мысалында қарастырайық (7.8-кесте). 

7.8. Нақты бөлуді қалыпты бөлудің қисық сызығы бойынша теңестіру 

(x)

(f)

|x –

⎯x|

t =

= |x – 

⎯x|/ 

/ σ

f(t)

Теориялық 

жиіліктер 

(f

1

= f(t) × ni/σ)

Кумулятивтік жиіліктер

|Σf –Σf

1

|

нақты (Σf)

теориялық 

(Σf

1

)

195

2

45,2

2,47

0,01889 1,3

2

1,3

0,7

205

5

35,2

1,92

0,06316 4,3

7

5,6

1,4

215

13

25,2

1,38

0,15395 10,5

20

16,1

3,9

225

17

15,2

0,83

0,28270 19,3

37

35,4

1,6

235

18

5,2

0,28

0,38361 26,2

55

61,6

6,6

245

31

4,8

0,26

0,38568 26,3

86

87,9

1,9

255

22

14,8

0,81

0,28737 19,6

108

107,5

0,5

265

12

24,8

1,36

0,15823 10,8

120

118,3

1,7

275

5

34,8

1,90

0,06562 4,5

125

122,8

2,2

125

Бұрын  белгіленгендей,  осы  бөлу  үшін 

⎯x = 240,2, ал  σ = 18,3. f(t) 

мағыналары  математикалық  статистиканың  арнайы  кестесі  бойынша 

анықталады. Теориялық жиіліктер f

1

 = f(t) × ni/σ, мұнда n – қадағалау саны 

(125) формула бойынша есептеледі, ал i – аралық (10). Біздің мысалда ni/σ 

көбейткіш 68,306-ға тең болады. Теориялық жиіліктердің сомасы 125 емес, 

есептегі  дөңгелетуге  байланысты 122,8 болды.  Жалпы  нақты  жиіліктің 

теориялық жиілікке біршама жақындығы байқалады. 

Келісім  өлшемі.  Математикалық  статистикада  нақты  жиіліктің  қал-

ы пты  жиілікке  жақындығын  сипаттайтын  бірнеше  көрсеткіш  бар.  Олар 

келісім  өлшемдер  деп  аталады.  Пирсонның («хи-квадрат»  өлшемі), 

(Романовскийдің, Колмогоровтың ( «лямбда өлшемі») жəне Ястремскийдің 

өлшемі белгілі. 

Колмогоровтың өлшемі вариациялық қатардағы кумулятивтік жиілік-

ті  салыстыру  арқылы  нақты  жəне  теориялық  бөлудің  жақындығын 

қарастырады.  Жоғарыда  келтірілген  мысалда  олар  кестенің  соңғы  баға-

нынында көрсетілген. Колмогоровтың келісім өлшемі λ бақылау санының 

түбіріне бөлінген барынша көп айырмаға (D) тең болады: 

λ = D / n

1/2

 = 6,6 / 125

1/2

 = 6,6 / 11,2 = 0,589.

7-тақырып. Вариацияның көрсеткіштері        131

Келісім өлшемі лямбдаға арналған арнайы ықтималдық кестесі бойын-

ша  лямбданың 0,589 мағынасына 0,88 ықтималдық  сəйкес  екенін  таба-

мыз. Демек, біздің мысалда нақты жиіліктің теориялық жиіліктен ауытқуы 

кездейсоқ  деп 0,88 ықтималдықпен  айтуға  болады.  Сөйтіп,  түсімділік 

мөлшері бойынша жер телімдерін нақты бөлу қалыпты бөлу заңына негіз-

деледі деп санауға болады. 

Өзін-өзі тексеруге арналған 

сұрақтар

1.  Вариация  көрсеткіштері  нені  сипаттайды?  Статистикада 

вариацияның қандай көрсеткіштері есептеледі? 

2.  Дисперсияны,  орташа  квадраттық  ауытқуды  жəне  вариа цияның 

көрсеткішін есептейтін формулаларды келтіріңіз. 

3.  Дисперсияның негізгі ерекшеліктерін атап көрсетіңіз. 

4.  Дисперсия моменттік (мезеттік) тəсілмен қалай анықталады? 

5.  Топ ішіндегі жəне топ арасындағы вариация деген не?

6.  Детерминация коэффициенті жəне эмпирикалық корреляциялық 

қатынас деп не аталады? 

7.  Дисперсияны қосу ережесінің мəні неде?

8.  Альтернативті

 (

балама) белгінің дисперсиясы қалай анықталады?

9.  Қалыпты бөлу деген не?

10.  Нақты бөлуді қалыпты бөлудің қисық сызығы бойынша теңестіру 

деген не?

11.  Келісім өлшемі, бөлу асимметриясы мен эксцесс деген не?

Ұсынылатын əдебиет

1.  Авров А.П. Аврова Ю.А. Общая теория статистики. Основы курса: Учеб-

ное пособие. 2-ое изд. доп. – Алматы, 2004. – 112 с.

2.  Сиденко  А.В.,  Попов  Г.Ю.,  Матвеева  В.М.  Статистика:  Учебник.– 

М.: Дело и сервис, 2000. – 464 с.

3.  Елисеева  И.И.,  Юзбашев  М.М.  Общая  теория  статистики:  Учебник. – 

3-е изд. / Под ред. чл.-корр. РАН И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статис-

тика, 1998. –368 с.: ил.

4.  Теория  статистики:  Учебник  для  вузов / Под  ред.  Р.А.  Шмойловой. – 

М.: Финансы и статистика, 1996.

5.  Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: 

Учебник для вузов. – М.: ИНФРА-М, 1998.

6.  Статистика: Курс лекций для вузов / Под ред. В.Г. Ионина. – М.: ИНФ-

РА-М, 1996.

132       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

7.  Гусаров В.М. Теория статистики: Учебное пособие для вузов. – М.: Ау-

дит, ЮНИТИ, 1998.

8.  Гусаров В.М. Теория статистики: Учебное пособие. – М.: ИННТИ, 2000.

9.  Ряузов Н.Н. Общая теория статистики: Учебник для студ. экон. спец. 

вузов. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 1984. – 

343 с.: ил.

10.  Общая теория статистики: Учебник / Т.В. Рябушкин, М.Р. Ефимова и 

др. – М.: Финансы и статистика, 1981.

11.  Общая  теория  статистики:  Учебник / Г.С.  Кильдишев,  В.Е.Освиенко, 

П.М. Рабинович, Т.В. Рябушкин. – М.: Статистика, 1980. 

12.  Статистический словарь / Гл. ред. М.А. Королев. – 2-е изд., перераб. и 

доп. – М.: Финансы и статистика, 1989.

7.4.

Практикум

7.4.1. Ізденуге арналған сұрақтар 

1.  Вариацияның  тағайындалуын,  оның  көрсеткіштерінің  түрлерін  сипат-

таңыз, олар есептелетін формулаларды келтіріңіз. 

2.  Дисперсияның  негізгі  ерекшеліктерін  жəне  оны  моменттік  (мезеттік) 

тəсілмен есептеу тəртібін сипаттаңыз. 

3.  Топ  ішіндегі  жəне  топ  арасындағы  вариацияның,  детерминация  коэф-

фициентіне  жəне  эмпирикалық  корреляциялық  қатынастың  мазмұнына 

тоқталыңыз. 

4.  Дисперсияны қосу ережесінің мазмұнын баяндаңыз. Балама белгінің дис-

персиясын есептейтін формуланы шығарыңыз.

5.  Бөлу жəне қалыпты бөлу заңдылығының ұғымына анықтама беріңіз. 

6.  Нақты бөлуді қалыпты бөлудің қисық сызығы бойынша тегістеу тəртібін 

айтыңыз. 

7.  Нақты бөлуді қалыпты бөлудің қисық сызығына жақындығын бағалау-

ды,  сондай-ақ  олардың  алшақтау  ерекшеліктерін  сипаттайтын  көрсет-

кіш терді келтіріңіз жəне оларға кеңінен тоқталыңыз. 

7.4.2. Типтік есептерді шығару мысалдары 

1 - м ы с а л  (6-тақырыптың 1-мысалының жалғасы). Жұмысшылар ауысым 

ішінде шығарған біртектес өнім былайша бөлінеді: 

Шығарылған өнім, дана

40

42

45

46

48

50

Жұмысшылардың саны, адам

25

50

100

125

150

50

Дисперсияны, орташа квадраттық ауытқуды жəне вариацияның коэффициен-

тін есептеңіз. 

Асимметрияның коэффициентін есептеңіз. 

7-тақырып. Вариацияның көрсеткіштері        133

Ш е ш у і .  6-тақырыпта берілген есепті шешкенде жұмысшылар ауысым ішін-

де шығарған орташа өнім есептелген болатын. Орташа өнім 46.1 дананы құрады. 

Дисперсияны,  орташа  квадраттық  ауытқуды  жəне  вариация  коэффициентін 

есептеу үшін кестеде келесідей есеп шығарамыз: 

Өнім шығару, дана (x)

40

42

45

46

48

50

Жұмысшылардың саны, 

адам,  (f)

25

50

100

125

150

50

х

Х

−

–6,1

–4,1

–1,1

–0,1

1,9

3,9

(

х

х

−

)2

37,21

16,81

1,21

0,01

3,61

15,21

(

х

х

−

)2 f

930,25

840,5

121

1,25

541,5

760,5

Содан кейін дисперсияны, орташа квадраттық ауытқуды жəне вариация коэф-

фициентін былайша есептейміз: 

σ

2

 = (Σ(x –

⎯x)

2

 f) / Σf = 3195 / 500 = 6,39;

σ = (639) 

1/2

 = 2,53;

v = σ /

⎯x 

×

 100 = 2,53 / 46,1 

×

 100 = 5,5%.

Сөйтіп, орташа квадраттық ауытқу 2,53 данаға, ал вариацияның коэффициенті 

– 5,5%-ға тең болады. 

Орташа шаманы (46,1), моданы (48) жəне орташа квадраттық ауытқуды (2,53) 

біліп асимметрияның коэффициентін анықтауға болады: 

K

A

 = (

⎯x – Mo) / σ = (46,1 − 48) / 2,53 = −0,75.

Коэффициенттің  белгісі  теріс  болған  себепті  ол  сол  жақты  асимметрияны 

білдіреді.  Коэффициенттің  абсолюттік  мөлшері  асимметрияның  күшті  екенін 

растайды. 

2 - м ы с а л   (6-тақырыптың 4-мысалының  жалғасы).  Жұмысшылардың 

өндірім нормасын орындауы келесі деректермен сипатталады: 

Өндірім нормасын орындау пайызы

Жұмысшылардың саны

90–100

10

100–110

160

110–120

100

120–130

60

130–140

20

Осы көрсеткіштердің негізінде кəдімгі тəсілмен жəне моменттік тəсілмен: а) 

орташа квадраттық ауытқуды; ə) вариацияның коэффициентін; б) ассиметрияның 

коэффициентін есептеңіз. 

Ш е ш у і .  Бұл жағдайда аралық вариациялық қатар қарастырылғандықтан, ор-

таша шаманы жəне дисперсияны есептеу үшін дискреттік қатарға көшу қажет, яғни 

əрбір топ бойынша аралықтың орташаландырылған мағынаны есептеп, аралықты 

134       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

осы мағынамен ауыстыру қажет. Өнім шығару нормасын орындаудың Орташаша 

пайызы бұрын есептелген жəне мынаны құраған болатын 

⎯x = (Σxf) / Σf = 39450 / 

350 = 112,7%.

Өнім шығару 

жоспарын 

орындау пайызы

Аралықтардың 

ортасы, 

⎯x

і

Жұмысшы-

лардың саны (f)

x – 

⎯x

(x – 

⎯x)

2

(x – 

⎯x)

2

 f

90–100

95

10

–17,7

313,29

3132,9

100–110

105

160

–7,7

52,29

9486,4

110–120

115

100

2,3

5,29

529

120–130

125

60

12,3

151,29

9077,4

130–140

135

20

22,3

497,29

9945,8

Жиыны

350

32171,5

Алынған  деректерді  формулаға  қойып,  дисперсияны,  орташа  квадраттық 

ауытқуды жəне вариация коэффициентін аламыз. 

σ

2

 = (Σ(x – 

⎯x)

2

 f) / Σf = 32171,5 / 350 = 91,9;

σ = (91,9) 

1/2

 = 9,6;

v = σ / 

⎯x 

×

 100 = 9,6 / 112,7 

×

 100 = 8,5%.

Сөйтіп,  орташа  квадраттық  ауытқу 9,6 пайыздық  тармаққа,  ал  вариация ның 

коэффициенті – 8,5%-ға тең болады. 

Орташа  шаманы (112,7), моданы (107,1) жəне  орташа  квадраттық  ауытқуды 

(9,6) біліп асимметрияның коэффициентін білуге болады: 

K

A

 = (

⎯x – Mo) / σ = (112,7 − 107,1) / 9,6 = +0,58.

Коэффициенттің  белгісі  оң  болған  себепті,  ол  оң  жақты  асимметрияны  біл-

діреді.  Коэффициенттің  абсолюттік  мөлшері  асимметрияның  күшті  екенін  рас-

тайды. 

Орташа шаманы моменттік тəсілмен есептеу кезінде келесідей қарастырылады: 

1)  барлық  варианттан  тұрақты  санды  шегеру  (жиілігі  ең  көп  варианттар  немесе 

бөлу  қатарының  ортасындағы  варианттар,  осы  жағдайда 115); 2) варианттарды 

аралықтың еніне тең тұрақты санға бөлу (10). Осыдан кейін варианттардың квад-

раты шығарылады жəне екінші реттің сəтін алу үшін жиілікке көбейтіледі, кейін 

осының негізінде дисперсия есептеледі. 

Аралықтардың ортасы, 

⎯x

і

Жұмысшы-

лардың саны (f)

x1 = (x – 115) / 10

x12

x12 f

95

10

-2

4

40

105

160

-1

1

160

115

100

0

0

0

125

60

1

1

60

135

20

2

4

80

Жиыны

350

340

7-тақырып. Вариацияның көрсеткіштері        135

Екінші реттің мезеті мына формула бойынша есептеледі: 

m

2

= (Σx

1

2

f) / Σf = 340 / 350 = 0,9714.

Моменттік тəсіл бойынша есептелген дисперсия екінші реттің мезетінің айыр-

масына (0,9714) көбейтілген  аралық  мөлшерінің  квадратына (10

2

)  жəне  бұрын 

алынған бірінші реттің мезетінің квадратына (0,2286

2

) тең болады: 

σ

2

 = i

2

 (m

2 

–

 

m

1

2

) = 10

2 

×

 (0,9714 – 0,2286

2

) = 100 

×

 (0,9714 – 0,0523) = 91,91.

Сөйтіп, дисперсияны тікелей есептеу нəтижесіндегі сол қорытындыны, алайда 

қарапайым есептеу жолымен алдық. 

3 - м ы с а л   (6-тақырыптың 5-мысалының  жалғасы).  Моменттік  тəсілді 

пайдалана  отырып  келесі  деректер  бойынша  орташа  квадраттық  ауытқуды  жəне 

асимметрияның коэффициентін есептеңіз: 

Түсімділік, ц/га

25

28

31

34

37

40

Жиыны

Егістіктің көлемі, жиынға % -бен

11

19

30

27

8

5

100

Ш е ш у і .   Орташа  квадраттық  ауытқуды  моменттік  тəсілмен  есептеу  үшін 

барлық  варианттардан  жиілігі  ең  көп  варианттың  мағынасын (31) шегеру  жəне 

аралықтың  мөлшеріне (3) бөлу  қажет.  Содан  кейін  жаңа  варианттар  квадратқа 

шығарылады жəне жиілікке көбейтіледі. 

Түсімділік, ц/га

25

28

31

34

37

40

Жиыны

Егістіктің көлемі, жиынға % -бен

11

19

30

27

8

5

100

(Түсімділік – 31) / 3 (x1)

-2

-1

0

1

2

3

x12

4

1

0

1

4

9

x12 f

44

19

0

27

32

45

167

Екінші реттің мезеті келесі формула бойынша есептеледі: 

m

2

= (Σx

1

2

f) / Σf = 167 / 100 = 1,67.

Моменттік тəсілмен есептелген дисперсия екінші реттің сəтінің айырмасына 

(1,51)  көбейтілген  аралықтың  мөлшерінің  квадратына (3

2

)  жəне  бұрын  алынған 

бірінші реттің сəтінің квадратына (0,17

2

) тең болады: 

σ

2

 = i

2

 (m

2 

–

 

m

1

2

) = 3

2

 

×

 (1,67 – 0,17

2

) = 9 

×

 (1,67 – 0,0289) = 9 

×

 1,6411 = 14,77.

Осыдан орташа квадраттық ауытқу мынаны құрайды: 

σ = (14,77) 

1/2

 = 3,84 ц/га.

Орташа  шаманы (31,5 ц/га),  моданы (31 ц/га)  жəне  орташа  квадраттық 

ауытқуды біліп асимметрияның коэффициентін білуге болады: 

K

A

 = (

⎯x – Mo) / σ = (31,5 − 31) / 3,84 = +0,133.

жүктеу/скачать 2,85 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: