Т еоретическая ф изика Том 11, 2010

68
В. Г. Борняков, М. И. Поликарпов
Именно переход от континуального интегрирования в (1) к конечномерному ин-
тегралу в (2) позволяет вычислять квантовые средние численно.
Непрерывный предел для физических наблюдаемых, который одновременно яв-
ляется пределом снятия обрезания по импульсу, соответствует пределам
N → ∞ и
a → 0, при фиксированном физическом размере L = Na. При этом константа связи
g, входящая в лагранжиан КХД (см. ниже уравнение 3), не остается постоянной, а
является функцией
g(a) и стремится к 0 по определенному закону в соответствии
со свойством асимптотической свободы. Реальные расчеты проводятся при конеч-
ных значениях величин
N и a, а систематические ошибки, вызванные конечностью
физического объема
V = L
4
и конечностью обрезания
1/a, оцениваются путем вы-
числений физических величин при варьировании числа узлов решетки,
N
4
, и шага
решетки,
a.
Действие КХД (в евклидовом пространстве) имеет вид:
S =
1
2g
2
d
4
xT rF
2
µν
(x) +
d
4
x
N
f
f=1
¯
ψ
f
(x)(γ
µ
D
µ
+ m
f
)ψ
f
(x),
(3)
где
ψ
f
, ¯
ψ
f
кварковые поля с ароматом
f; F
µν
= ∂
µ
A
ν
− ∂
ν
A
µ
− i[A
µ
, A
ν
] – тен-
зор напряженности калибровочного поля;
D
µ
= ∂
µ
− iA
µ
– ковариантная произ-
водная; калибровочное поле
A
µ
= gA
a
µ
T
a
;
T
a
– генераторы группы с нормировкой
T rT
a
T
b
= 1/2δ
ab
;
γ
µ
– матрицы Дирака;
m
f
– масса кварка аромата
f; N
f
– чис-
ло ароматов. Установлено, что число ароматов равно 6. В решеточных симуляци-
ях КХД в действие включаются от 0 до 3 ароматов, эти 3 аромата соответствуют
легким кваркам
u, d, s. Решеточный аналог действия (3) определен неоднозначно.
Решеточное действие должно удовлетворять следующим требованиям:
• калибровочная инвариантность;
• правильный наивный непрерывный предел, то есть предел a → 0, определяе-
мый формальным разложением по степеням шага решетки
a: в этом пределе
решеточное действие должно переходить в непрерывное (3);
• локальность.
Этим требованиям удовлетворяет бесконечно много решеточных действий. Про-
стейший и наиболее естественный вид решеточного действия был предложен Виль-
соном [1]. Решеточное действие для глюонного поля
S
G
W
определяется с помощью
плакетной переменной
U
µν
(x), которая равна произведению 4-реберных переменных,
взятых вдоль границы плакета (см. рис. 2):
U
µν
(x) = U
µ
(x)U
ν
(x + ˜e
µ
)U
†
µ
(x).
(4)
Важно, что след плакетной переменной
T rU
µν
(x) является калибровочно инва-
риантной величиной. Вид глюонного дествия Вильсона такой:
S
G
W
= β
x,µ>ν
1 −
1
3 ReT rU
µν
,
(5)
где
β = 6/g
2
– решеточная константа связи.
Связь между
U
µ
(x) и векторным калибровочным полем A
µ
(x) можно определить
следующим образом:
U
µ
(x) = e
iaA
µ
(x)
= 1 + iaA
µ
(x) +
1
2
(iaA
µ
(x))
2
+ . . .
(6)

Компьютерные методы вычислений в КХД
69
Подставляя ряд по степеням
a (6) в действие (5), нетрудно получить, что в наивном
непрерывном пределе решеточное действие переходит в стандартное классическое
действие поля Янга – Миллса
S
G
W
a→0
→ =
1
2g
2
T rF
2
µν
(x)d
4
x + O(a
2
).
(7)
Поправка в (7) квадратична по
a. Добавляя к решеточному действию Вильсона
(5) новые члены более сложной структуры, можно уменьшить поправку до
O(a
4
) и
тем самым ускорить переход к непрерывному пределу в решеточных вычислениях.
Именно такие, улучшенные действия используются сейчас в большинстве расчетов.
Решеточное фермионное действие, соответствующее фермионному действию в (3),
имеет вид:
S
F
W
= a
4
x
¯
ψ
f
(x)
1
2
(∆
+
µ
+ ∆
−
µ
)γ
µ
+ m
f
ψ
f
(x),
(8)
где
∆
+
µ
,
∆
−
µ
– решеточные аналоги ковариантной производной. Однако это действие
описывает не один аромат, а
2
4
= 16 ароматов. Для решения проблемы Вильсон до-
бавил член, содержащий производную второго порядка. Фермионное действие Виль-
сона имеет вид:
S
F
W
= a
4
x
¯
ψ
f
(x)
1
2
(∆
+
µ
+ ∆
−
µ
)γ
µ
+ m
f
ψ
f
(x, )+a
5
x
¯
ψ
f
(x)∆
+
µ
∆
−
µ
ψ
f
(x) ≡ ¯
ψM(U)ψ.
(9)
В наивном непрерывном пределе
S
F
W
a→0
→
¯
ψ
f
(x)(γ
µ
D
µ
+ m
f
)ψ
f
(x)d
4
x + O(a),
(10)
т. е. фермионное действие Вильсона стремится к непрерывному пределу медлен-
нее, чем действие калибровочных полей. Этот недостаток устранен в улучшенном
действии для фермионных полей.
Другой популярный выбор решеточного действия – фермионное действие Когу-
та – Сасскинда [4], киральные свойства которого лучше, чем у действия Вильсона,
но есть и существенный недостаток – явное нарушение ароматовой симметрии.
Отметим, что теоретически сформулировано [5] и практически реализовано ре-
шеточное фермионное действие, которое обладает киральной симметрией даже при
ненулевом шаге решетки. Ведется интенсивное изучение его свойств, однако прак-
тическое использование пока ограничено из-за некоторых технических проблем.
Численное интегрирование в интегралах типа (2) возможно только по бозонным
полям. Интегрирование по фермионным переменным выполняется аналитически,
например:
DψD ¯
ψe
− ¯
ψM(U)ψ
= det M(U).
(11)
После такого преобразования на компьютере для вычисления вакуумного сред-
него величины
O(U) нужно вычислить интеграл вида:
< O >=
1
Z
DUO(U)e
−S
eff
(U)
,
(12)
где
Z =
DUe
−S
eff
(U)
,
(13)

70
В. Г. Борняков, М. И. Поликарпов
S
eff
(U) = S
G
W
(U) −
f
lndet M
f
(U).
(14)
Уже упоминавшееся приближение, не учитывающее вклады виртуальных квар-
ковых пар, означает, что в (14) положено
det M
f
(U) = const, или, что эквивалентно,
N
f
= 0. Далее, упоминая это приближение, мы будем называть его КХД с N
f
= 0.
Как мы уже отметили, это неконтролируемое приближение и его использование бы-
ло обусловлено отсутствием достаточно мощных компьютеров. В последние годы
был сделан большой шаг вперед. Получено много результатов для двух вырожден-
ных по массе легких кварков
(N
f
= 2), что соответствует учету u и d кварков.
Интенсивно ведутся вычисления с добавлением третьего кварка, соответствующего
s-кварку (N
f
= 3 или N
f
= 2 + 1), с массой m
s
значительно больше
m
u,d
. Появились
работы, пока немногочисленные, в которых учитывается
c-кварк.
Вычисление интегралов типа (12) для параметров, соответствующих реальной
КХД, и с точностью в несколько процентов – весьма непростая задача. Исполь-
зуются самые современные суперкомпьютеры, разработка новых алгоритмов для
повышения эффективности вычислений является одной из основных задач, решае-
мых решеточными коллаборациями. Описание этих алгоритмов можно найти в об-
зоре [5]. Вычисления состоят из нескольких этапов. Первый этап заключается в
генерации конфигураций калибровочного поля. Эти конфигурации генерируются
последовательно и образуют марковскую цепь с распределением вероятности, про-
порциональным
e
−S
eff
(U)
. При этом используется гибридный алгоритм Монте Кар-
ло, объединяющий собственно алгоритм Монте Карло и алгоритм молекулярной
динамики. На втором этапе на каждой конфигурации вычисляются пропагаторы
кварков, т. е.
M
−1
. Наконец, вычисляются адронные корреляционные функции, из
которых извлекаются физические величины – массы, матричные элементы и т. д.
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10
 0
 100
 200
 300
 400
 500
 600
Teraflops x Years
m
π
, MeV
2010
2001
Рис. 3. Зависимость объема вычислений, необходимого для генерации 1000 кон-
фигураций калибровочного поля, от
m
π
. Вертикальная линия указывает физическое
значение
m
π

Компьютерные методы вычислений в КХД
71
Объем вычислений зависит не только от числа узлов решетки
N, но и от шага
решетки
a и от массы кварка. На рис. 3 показана зависимость объема вычислений,
необходимых для генерации 1000 конфигураций калибровочного поля, от массы
π-
мезона
m
π
для фиксированных значений
a и L. Эта зависимость показана для 2001
и 2010 гг.
Отметим очень быстрый рост объема вычислений при уменьшении массы квар-
ка. Объем вычислений растет очень быстро с убыванием массы легких кварков по
нескольким причинам. При вычислениях необходимо многократно находить обрат-
ную матрицу
M
−1
для фермионной матрицы
M. Размер этой матрицы примерно
10
8
× 10
8
. Компьютерное время, необходимое для нахождения обратной фермион-
ной матрицы, быстро растет с уменьшением ее наименьшего собственного значения,
которое определяется значением решеточной массы кварка
m
f
a. Кроме того, умень-
шение массы кварка приводит к необходимости увеличения размера решетки
L.
Из рис. 3 очевидно, что за 9 лет, благодаря прогрессу в развитии алгоритмов,
объем вычислений уменьшился во много раз. Это сделало возможным проводить
вычисления при значениях массы кварка
m
u,d
, близким к физическому значению.
1.2. Суперкомпьютеры
Несколько слов о суперкомпьютерах, используемых в вычислениях на решетках.
Быстродействие лучших суперкомпьютеров растет экспоненциально как функция
года выпуска, как видно из рис. 4. Для решеточных вычислений используются как
коммерческие суперкомпьютеры, так и специализированные (Dedicated) компьюте-
ры, создаваемые решеточными коллаборациями в сотрудничестве с компьютерными
 0.0001
 0.001
 0.01
 0.1
 1
 10
 100
 1000
 10000
 1985
 1990
 1995
 2000
 2005
 2010
Tflops
Year
Dedicated machines
Parallel computers
Рис. 4. Производительность компьютеров, используемых в решеточных вычис-
лениях
фирмами исключительно для нужд решеточных вычислений. Специализированные
компьютеры работают более эффективно, поэтому они дешевле при одинаковой про-

72
В. Г. Борняков, М. И. Поликарпов
изводительности. Стоимость такого компьютера значительно снизилась в послед-
ние годы и составляет значительно менее 1$ за 1 Мфлопс (1 миллион операций
в секунду) быстродействия. Полезное быстродействие составляет 20–30 % пиково-
го. Наиболее серьезные проекты решеточных вычислений требуют для выполнения
нескольких Тфлопс-лет, т. е. работы суперкомпьютера с полезным быстродействием
1 Тфлопс в течение нескольких лет. На рис. 5 показан один из таких специализи-
рованных компьютеров, ’JPSI’, установленный в ФНАЛ, США. Его быстродействие
около 10 Тфлопс.
Рис. 5. Специализированный суперкомпьютер ’JPSI’, установленный в ФНАЛ,
США
1.3. Источники погрешности в решеточных вычислениях
Перечислим стандартные источники погрешности в решеточных вычислениях.
Важно отметить, что перечисленные погрешности являются контролируемыми, то
есть величина погрешности может быть оценена и уменьшена до нужного значения.
• Статистическая погрешность.
Величина статистической погрешности убывает как
σ/ N
conf
, где
σ – средне-
квадратичное отклонение,
N
conf
– число статистически независимых конфи-
гураций глюонного поля.
• Конечность шага решетки a.
Для получения физического результата должен быть вычислен предел
a → 0. На практике вычисления делаются при нескольких значениях a, а за-
тем результаты экстраполируются на
a = 0. Типичные значения для a: 0,05–
0,15 Фм.

Компьютерные методы вычислений в КХД
73
• Эффекты конечного объема.
Вклады этих эффектов убывают экспоненциально как
exp(−m
π
L). В насто-
ящее время типичные значения для размера решетки
L: 3–4 Фм, а масса π-
мезона изменяется в интервале 300–200 Мэв. При этих значениях размера ре-
шетки и массы
π-мезона эффекты конечного объема малы.
• Экстраполяция к физической массе легких кварков (киральная экстраполя-
ция).
Вычисления проводятся при массе странного кварка
m
s
, примерно равной фи-
зическому значению, и для нескольких значениий массы легких кварков
m
u,d
в интервале 0,1
m
s
до
m
s
, а затем результаты экстраполируются на физиче-
ское значение массы легких кварков с помощью киральной теории возмуще-
ний. Считается, что экстраполяцию, основанную на киральном эффективном
лагранжиане, следует использовать для значений
m
u,d
< m
s
/4. Это соответ-
ствует значению отношения
m
π
/m
ρ
< 0, 4.
• Тяжелые кварки.
b- и c-кварки очень тяжелые, для них не выполняется необходимое условие
m
Q
a
1. Поэтому вычисления с тяжелыми кварками не могут проводиться
так же, как это делается для легких кварков. Решение состоит в использо-
вании эффективной теории тяжелых кварков (Heavy Quark Effective Theory)
или нерелятивистской КХД (NRQCD). Тяжелые кварки рассматриваются как
статические или нерелятивистские, и соответствующее действие есть разло-
жение по
1/m
Q
исходного действия. Для
c-кварка возможно также исполь-
зование обычного, релятивистского, подхода при условии, что шаг решетки
во временном направлении много меньше шага решетки в пространственных
направлениях.
• Согласование решеточной схемы со схемой MS.
Для того, чтобы сравнивать результаты решеточных вычислений для неспек-
тральных величин с экспериментальными значениями, необходимо решеточ-
ные значения пересчитывать в обычную схему, например
MS. Такой пересчет
также является источником погрешности.
2. Результаты для физических величин
Результатами численных расчетов являются числа, соответствующие физиче-
ским величинам, обезразмеренным подходящей степенью шага решетки
a. Напри-
мер, для массы
m это величина ma. Для определения физических величин в размер-
ных единицах необходимо определить решеточную шкалу, т. е. шаг решетки
a. Для
этого выбирается физическая величина, значение которой известно из эксперимен-
та, например масса адрона. Желательно, чтобы выбранная физическая величина
слабо зависела от массы легких кварков и достаточно легко вычислялась на ре-
шетке. Поэтому популярным выбором является величина
r
0
, имеющая размерность
длины и определяемая из потенциала статических кварков. Недостатком этого вы-
бора является то, что
r
0
не определяется из эксперимента напрямую, а берется из
потенциальной модели, которая дает феноменологическое значение около 0,5 Фм.
Другими величинами, часто используемыми для фиксации шага решетки, являют-
ся константы распада
π- или K-мезонов, величина расщепления Р- и S-уровней b¯b-

74
В. Г. Борняков, М. И. Поликарпов
или
c¯c-кваркониев. После определения шага решетки a любая масса или иная физи-
ческая величина может быть выражена в соответствующих физических единицах.
Однако для сравнения с экспериментом необходимо еще зафиксировать входящие в
действие КХД параметры – массы кварков
m
u,d
,
m
s
,
m
c
и
m
b
. Для каждого кварка
выбирается адрон, содержащий этот кварк, экспериментальное значение массы ко-
торого будет использовано для определения параметра
m
q
. Для этого адрона реше-
точные результаты, полученные для нескольких значений
m
q
, интерполируются или
экстраполируются, и находится значение
m
q
, дающее правильное (эксперименталь-
ное) значение массы адрона. После этого массы других адронов, содержащих дан-
ный кварк, могут быть предсказаны. Для фиксации
m
u,d
обычно используется масса
π-мезона; массы K, K
∗
или
φ-мезонов используются для фиксации m
s
. Для опреде-
ления
m
c
(m
b
) используются массы мезонов D, D
s
, ψ (соответственно, B, B
s
, Y ).
Перейдем к примерам вычисления физических величин в РКХД.
2.1. Свойства вакуума
Как было отмечено во Введении, уже в 80-е годы прошлого века в решеточных
вычислениях были получены результаты, важные для понимания непертурбативных
явлений в КХД, хотя результаты были получены в глюодинамике, т. е. в теории, опи-
сывающей только самодействие глюонов. К таким результатам относятся подтвер-
ждение существования линейного потенциала взаимодействия между статическими
кварками на большом расстоянии, вычисление глюбольного спектра, температуры
фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент, топологической восприимчивости,
глюонного конденсата. Увеличение мощности компьютеров и эффективности алго-
ритмов вычислений позволили в дальнейшем, с одной стороны, получить новые,
более точные результаты для структуры вакуума в глюодинамике, а с другой сто-
роны, получить результаты в настоящей КХД.
Конфайнмент кварков к настоящему моменту является старой и хорошо знако-
мой идеей. Однако до сих пор отсутствует строгое доказательство и удовлетвори-
тельное объяснение этого явления. Физически привлекательным объяснением кон-
файнмента является образ адронной струны, натянутой между кварками. Решеточ-
ные расчеты позволили «увидеть» эту струну. Более того, недавно удалось «уви-
деть», как из-за образования из вакуума кварк-антикварковых пар струна «рвется».
На рис. 6 (слева) показана плотность действия в струне, возникающей между ста-
тическими кварками. Расстояние между источниками 1,2 Фм. Хорошо видно, что
между источниками, положения которых выделяются максимумами действия, суще-
ствует область с практически не зависящим от расстояния до источника значением
плотности действия. Такое поведение означает, что сила взаимодействия между ис-
точниками также не зависит от расстояния между ними. На том же рисунке, справа,
показана плотность действия в той же системе, но с расстоянием 1,4 Фм. Видно, что
струна исчезла. Это произошло потому, что на таком расстоянии энергия струны,
растущая линейно с расстоянием, превышает энергию пары мезонов, состоящих из
статического кварка (антикварка) и морского антикварка (кварка).
Благодаря применению нового алгоритма для вычисления потенциала взаимо-
действия статических кварков, с очень большой точностью была вычислена сила
взаимодействия
F (r) статических кварков в глюодинамике для расстояний r ≈ 1 Фм.
Было найдено хорошее качественное согласие с результатом, предсказываемым мо-
делью струны Намбу – Гота. Однако высокая точность вычислений позволила за-
фиксировать и отклонение от этой модели. Природу этого отклонения предстоит
выяснить.

Компьютерные методы вычислений в КХД
75
1.2 fm
1.4 fm
Рис. 6. Демонстрация разрыва адронной струны [7]
Рис. 7. Адронная струна в барионе. Вычисления выполнены в приближении абе-
левой проекции
Выяснение механизма конфайнмента в КХД является центральной проблемой
физики сильных взаимодействий. Существует несколько теорий, ни одна из кото-
рых не стала пока общепринятой. Решеточный метод исследования этой проблемы
стал одним из основных. Общим для многих теорий конфайнмента является объяс-
нение этого явления наличием некоего класса конфигураций калибровочного поля,
которые доминируют на больших расстояниях и обеспечивают удержание кварков.
В качестве таких конфигураций рассматриваются абелевы монополи, центральные
вихри, мероны, калороны. Наибольшее внимание в последние годы получили две
теории конфайнмента, одна из которых рассматривает в качестве доминирующих
конфигураций абелевы монополи, а другая – вихри.
В решеточном подходе получены многочисленные результаты, указывающие на
важную роль монополей и вихрей в структуре вакуума КХД, в частности, было най-
дено, что такие конфигурации определяют свойства конфайнмента и спонтанного
нарушения симметрии (см. обзоры по теме [8]). Определение абелевых монополей
основано на процедуре абелевой проекции, которая редуцирует неабелеву
SU(N)
калибровочную симметрию до максимальной абелевой подгруппы
U(1)
N−1
с помо-

76
В. Г. Борняков, М. И. Поликарпов
щью фиксации соответствующей калибровки. Решеточные результаты подтвердили
свойство абелевой доминантности, заключающееся в том, что низкоэнергетические
свойства (т. е. свойства на больших расстояниях) КХД обеспечиваются абелевы-
ми степенями свободы. Яркой демонстрацией абелевой доминантности является ре-
зультат, представленный на рис. 7, где показан профиль струны в системе трех
статических кварков (статическом барионе), полученный в приближении абелевой
проекции [9]. Хорошо видно, что барионная струна имеет
Y -форму. Этот резуль-
тат подтвердил предположение, что в статическом барионе на больших расстояниях
взаимодействие является 3-частичным, а не суммой 2-частичных взаимодействий.
Позднее этот результат был подтвержден без использования приближения абелевой
проекции.
2.2. Адронный спектр
Вычисление масс адронов, масса которых известна из эксперимента с хорошей
точностью, служит проверкой методов решеточной КХД. Кроме того, массы некото-
рых адронов используются для фиксации параметров решеточного действия (шага
решетки и масс кварков). Важно вычислить массы с малыми погрешностями всех
видов, чтобы получить уверенность, что при вычислении других величин, например
электрослабых матричных элементов, погрешности находятся под контролем.
Массы адронов вычисляются из двухточечных корреляторов:
< 0|Φ
H
(t)Φ
†
H
(0)|0 >=
n
| < 0|Φ
H
|H
n
> |
2
e
−m
n
t t→∞
= | < 0|Φ
H
|H > |
2
e
−m
Ht
,
где
Φ
H
– оператор адрона с нужными квантовыми числами;
m
H
– его масса;
{H
n
>} –
полный набор состояний в данном канале.
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
m (GeV)
K input
φ
 input
experiment
K
K*
φ
N
Λ
Σ
Ξ
∆
Σ
*
Ξ
*
Ω
Рис. 8. Сравнение с экспериментом спектра масс легких адронов, полученного
в КХД с
N
f
= 0 [10]. Масса s-кварка определялась путем фиксирования равной
экспериментальному значению массы
K-мезона или массы φ-мезона
В случае КХД с
N
f
= 0 удалось достичь желаемой статистической точности уже
около 10 лет назад (при этом нужно помнить, что неучет виртуальных кварковых
пар вносит неконтролируемую систематическую ошибку). Было найдено (см. рис. 8),

Компьютерные методы вычислений в КХД
77
что в этом случае типичное отличие решеточных результатов от экспериментальных
значений составляет 10 %. Следует также отметить, что в этом приближении резуль-
тат зависит от того, масса какой частицы используется для фиксации масс кварков.
Это видно из рис. 8, где показаны одни и те же решеточные результаты, но для
двух способов пересчета в размерные единицы: в одном случае для фиксации массы
s-кварка использовалась масса K-мезона, а в другом – масса φ-мезона.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
ρ
K
*
φ
N
Λ
Σ
Ξ
∆
Σ
∗
Ξ
∗
Ω
vector meson
octet baryon
decuplet baryon
mass [GeV]
Рис. 9. Сравнение с экспериментом спектра масс легких адронов, полученного в
КХД с
N
f
= 2 + 1. Масса s-кварка определялась массой K-мезона
При вычислениях в полной КХД, т. е. с учетом виртуальных кварковых пар, зна-
чения адронных масс приближаются к экспериментальным, по мере приближения
масс
u и d кварков к их реальным значениям. Как сказано выше, компьютерные вы-
числения в основном производятся с довольно тяжелыми кварками и затем делается
экстраполяция к физическим значениям их масс, т. е. значениям, соответствующим
физическим значениям масс адронов. Проверено, что экстраполяция, основанная на
киральном эффективном лагранжиане, может быть использована, если вычисления
проводятся при значении
m
u,d
≤ 25 Мэв. На рис. 9 представлены результаты для
масс адронов, полученные после такой экстраполяции. Видно впечатляющее согла-
сие с экспериментальными значениями. При этом результаты не зависят от того,
масса какой частицы использовалась для фиксации массы
s-кварка.
Как уже отмечалось выше, включение в действие РКХД
c- и b-кварков потребо-
вало бы существенного уменьшения шага решетки (особенно для
b-кварка). Вклю-
чение в действие
c-кварка стало возможно в последнее время и получены первые
результаты. Для
b-кварка это практически невозможно. К счастью, в этом случае
применимы другие методы: эффективная теория для тяжелых кварков (HQET) –
для изучения адронов с одним тяжелым кварком и нерелятевистская формулиров-
ка – для изучения кваркониев. Результаты, полученные в КХД с
N
f
= 3 для спектра
низколежащих уровней чармония, ботомония,
D- и B-мезонов, находятся в хорошем
согласии c экспериментальными значениями.
Результаты РКХД для масс состояний, которые отсутствуют в кварковой моде-
ли, являются отличным ориентиром для поисков таких состояний в эксперименте.

78
В. Г. Борняков, М. И. Поликарпов
В частности, в КХД с
N
f
= 0 были получены значения 1,7 ГэВ для массы скаляр-
ного глюбола и 1,9 ГэВ для
J
P C
= 1
−+
гибридного мезона. На рис. 10 показаны
результаты для глюбольного спектра.
 0
 2
 4
 6
 8
 10
 12
--
+-
-+
++
 0
 1
 2
 3
 4
 5
r
0
 M
G
M
G
 (GeV)
0
++
2
++
3
++
0
-+
2
-+
0
+-
1
+-
2
+-
3
+-
1
--
2
--
3
--
Рис. 10. Глюбольный спектр в глюодинамике. Левая шкала показывает значение
массы глюболов
M
G
в единицах
1/r
0
, правая – в единицах Гэв
2.3. Фундаментальные параметры КХД
Вычисление константы связи сильных взаимодействий в РКХД является одним
из наиболее заметных общепризнанных успехов этого подхода. На рис. 11, взятом
из обзора свойств элементарных частиц, составляемым Particle Data Group (PDG),
решеточный результат показан наравне с результатами, полученными из экспери-
мента.
Для вычисления
α
s
могут быть использованы различные решеточные величины:
среднее глюонное действие, сила взаимодействия статических кварков, 3-глюонная
вершина или глюонный пропагатор в калибровке Ландау. Для фиксации физической
шкалы использовалась разность масс уровней ботомония или другая физическая ве-
личина, значение которой известно из эксперимента с хорошей точностью и которая
может быть вычислена также с хорошей точностью на решетке. Для перехода от
решеточной константы связи
α
P
(q) к константе связи α
MS
(q) в более распростра-
ненной схеме перенормировки
MS используется теория возмущений.
Поначалу вычисления проводились для
N
f
= 0 и 2, а затем результаты экстра-
полировались на
N
f
= 3. Недавно был получен результат для N
f
= 3 напрямую.
Он хорошо согласуется с прежними результатами, полученными экстраполяцией.
На рис. 11 приведены значения
α
s
(M
Z
), полученные с использованием различных
экспериментальных данных, а также решеточный результат. Решеточный результат,
равный
0, 1170 ± 0, 0012 находится в очень хорошем согласии со средним результа-
том
0, 1185±0, 0015, показанным на рисунке вертикальными пунктирными линиями.
При этом погрешность решеточного результата минимальная среди всех результа-
тов.

Компьютерные методы вычислений в КХД
79
Рис. 11. Сильная константа связи
α
s
(M
Z
), рисунок из Particle Data Book
Зная
α
s
, можно вычислить масштабный параметр КХД –
Λ. На рис. 12 показаны
такие результаты для
N
f
= 0, 2 и 3. Видно, что эти результаты хорошо согласуются
с феноменологическими значениями, полученными с помощью экспериментальных
данных.
Массы легких (
u, d, s) и тяжелых (c и b) кварков относятся к тем параметрам,
которые известны с довольно плохой точностью, т. к. их нельзя определить непо-
средственно из эксперимента. В настоящее время решеточные результаты являются
наиболее надежным источником для масс легких кварков. Результаты приведены в
табл. 1 вместе с результатами PDG. Для легких
u и d кварков вычисляется средняя
масса
m
l
= (m
u
+ m
d
)/2. Все массы даны в схеме MS.
Таблица 1. Сравнение решеточных результатов для кварковых масс с
результатами PDG
m
q
РКХД,
N
f
= 3
PDG
m
l
3, 2 ± 0, 2 Мэв
3, 8 ± 1, 3 Мэв
m
s
88 ± 5 Мэв
105 ± 35 Мэв
m
s
/m
l
27, 2 ± 0, 3
25 ± 30
m
c
1, 22 ± 0, 09 Мэв 1, 27 ± 0, 11 Мэв
m
b
4, 4 ± 0, 3 Гэв
4, 2 ± 0, 17 Гэв

80
В. Г. Борняков, М. И. Поликарпов
Рис. 12. Сравнение решеточных данных для
Λ
MS
с экспериментальными
Масса
s-кварка оказалась значительно ниже, чем предполагалось ранее, до по-
лучения решеточных результатов. В то же время отношение
m
s
/m
l
согласуется со
значением, полученным с помощью других методов, например киральной теории
возмущений.
2.4. Адронные матричные элементы
Решеточные вычисления адронных матричных элементов для полулептонных
распадов
B, D и K мезонов и для амплитуд смешивания K ¯
K, B ¯
B необходимы для
вычисления элементов матрицы Кабиббо – Кобаяши – Маскава (ККМ) – матри-
цы, связывающей кварки в КХД и в электрослабой теории, с высокой точностью.
Высокоточное вычисление элементов этой матрицы очень важно для определения
пределов применимости Стандартной модели. На рис. 13 показаны ограничения на
параметры
¯
ρ и ¯η, параметризующие нарушение CP симметрии в ККМ матрице. Ре-
шеточные результаты особенно важны для определения ограничений, полученных
из
K ¯
K смешивания (показано полосой 1), из B ¯
B и B
s
¯
B
s
смешиваний (2 и 3 кольца)
и ограничение из
|V
ub
| (4 кольцо).
Формфактор распада
D → Klν нужен для определения элемента V
cs
ККМ мат-
рицы. Этот формфактор, с точностью до множителя, может быть определен и из
эксперимента. Сравнение экспериментальных и решеточных результатов позволяет
вычислить этот множитель и из него определить
V
cs
. На рис. 14 показаны экспери-
ментальные и решеточные данные для формфактора как функции квадрата пере-
данного импульса, нормированные одинаково. Видно очень хорошее согласие между
этими данными, значит форма формфактора определена в решеточных вычислени-
ях правильно и их результаты можно использовать для вычисления
V
cs
. Заметим,
что решеточные данные были получены раньше экспериментальных и фактически
являлись предсказанием.

Компьютерные методы вычислений в КХД
81
γ
γ
α
α
d
m
∆
K
ε
K
ε
s
m
∆
&
d
m
∆
ub
V
β
sin 2
(excl. at CL > 0.95)
< 0
β
sol. w/ cos 2
exclu
de
d
atC
L
>
0.9
5
α
β
γ
ρ
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
η
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
excluded area has CL > 0.95
1
2
3
4
1
Рис. 13. Ограничения на параметры
¯
ρ и ¯η, параметризующие нарушение CP сим-
метрии в ККМ матрице
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45

жүктеу/скачать 3,26 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: