Т еоретическая ф изика Том 11, 2010

98
Е.К. Башкиров, Д.В. Литвинова, М.П. Ступацкая
+
qq
(κ
q
κ
kq
/
2
)e
ı(k−q)(r
t
−r
f
R
+
f
(t)(b
−q
(t) + b
+
q
(t)), O(t) ×
×R
−
f
(τ)(b
q
(τ) + b
+
−q
(τ)) ρ
t
0
+
t
−∞
dτe
−ıω
k
(t−τ)
T r
A,F
×
×
ff
k
N
k
g
2
k
R
−
f
(τ) O(t), R
−
f
(t) +
+
q
(g
k
κ
kq
/ )e
ıkr
f
e
−ı(k−q )r
f
R
−
f
(τ) O(t), R
+
f
(t)(b
q
(t) + b
+
−q
(t))
(2)
+
q
(g
k
κ
kq
/ )e
−ıkr
f
e
ı(k−q)r
f
R
−
f
(τ)(b
−q
(τ) + b
+
q
(τ)) O(t), R
+
f
(t) +
+
qq
(κ
q
κ
kq
/
2
)e
ı(k−q)(r
t
−r
f
R
−
f
(τ)(b
−q
(τ) + b
+
q
(τ))×
× O(t), R
+
f
(t)(b
q
(t) + b
+
−q
(t))
ρ
t
0
+ h.c. .
Здесь
ρ
0
— статистический оператор рассматриваемой системы в начальный момент
времени:
ρ
0
= ρ
A
⊗ ρ
F
,
где
ρ
A
— начальный статистический оператор
A-подсистемы;
ρ
F
= e
−H
F
/k
B
T
/T r
F
e
−H
F
/k
B
T
— начальный статистический оператор квантового
электромагнитного поля. Здесь
N
k
= exp(− ω
k
/2k
B
T )/{2sh( ω
k
/2k
B
T )} — среднее
число в моде электромагнитного поля
k; T — начальная температура равновесного
фотонного поля.
Чтобы избавиться от интегралов в правой части уравнения (2), сделаем пред-
положение о малости взаимодействия излучателей с фотонным и фононным полем,
в силу которого
R
±
f
(τ) = R
±
f
(t)e
∓ıω
0
(t−τ)
,
b
±
q
(τ) = b
±
q
(t)e
∓ıΩ
q
(t−τ)
.
Тогда точное обобщенное кинетическое уравнение (2) превращается в марковское
уравнение вида
d O(t)
dt
+ (ı )
−1
[H
A
(t), O(t)] =
= T r
A,F
ff
k
(1 + N
k
) g
2
k
R
+
f
(t), O(t) R
−
f
(t)πδ(ω
k
− ω
0
)+
+
q
(g
k
κ
kq
/ )e
ıkr
f
e
−ı(k−q )r
f
R
+
f
(t), O(t) R
−
f
(t)×
×(b
q
(t)πδ(ω
k
− ω
0
− Ω) + b
+
−q
(t)πδ(ω
k
− ω
0
+ Ω))+
+
q
(g
k
κ
kq
/ )e
−ıkr
f
e
ı(k−q)r
f
R
+
f
(t)(b
−q
(t) + b
+
q
(t)), O(t) ×
×R
−
f
(t)πδ(ω
k
− ω
0
) +
qq
(κ
kq
κ
kq
/
2
)e
ı(k−q)(r
t
−r
f
)
×

Метод исключения бозонных переменных в задаче о лазерном охлаждении...
99
× R
+
f
(t)(b
−q
(t) + b
+
q
(t)), O(t) ×
×R
−
f
(t)(b
q
(t)πδ(ω
k
− ω
0
− Ω) + b
+
−q
(t))πδ(ω
k
− ω
0
+ Ω) ρ
0
+
+T r
A,F
N
k
ff
k
(1 + N
k
) g
2
k
R
−
f
(t) O(t), R
+
f
(t) πδ(ω
k
− ω
0
)+
+
q
(g
k
κ
kq
/ )e
ıkr
f
e
−ı(k−q )r
f
R
+
f
(t)×
× O(t), R
+
f
(t)(b
q
(t)πδ(ω
k
− ω
0
− Ω) + b
+
−q
(t)πδ(ω
k
− ω
0
+ Ω)) +
(3)
+
q
(g
k
κ
kq
/ )e
−ıkr
f
e
ı(k−q)r
f
R
−
f
(t)(b
−q
(t) + b
+
q
(t)) O(t), R
−
f
(t) πδ(ω
k
− ω
0
)+
+
qq
(κ
kq
κ
kq
/
2
)e
ı(k−q)(r
t
−r
f
R
−
f
(t)(b
−q
(t) + b
+
q
(t))×
× O(t), R
+
f
(t)(b
q
(t)πδ(ω
k
− ω
0
− Ω) + b
+
−q
(t))πδ(ω
k
− ω
0
+ Ω)
ρ
0
+ h.c. .
Опуская быстро осциллирующие члены
R
±
f
R
∓
f
b
+
q
, R
±
f
R
∓
f
b
q
, R
±
f
R
∓
f
b
+
q
b
+
q
, R
±
f
R
∓
f
b
q
b
q
,
используя расцепления
b
+
q
b
q
R
±
f
R
∓
f
≈ n
q
R
±
f
R
∓
f
δ
q,q
,
b
q
b
+
q
R
±
f
R
∓
f
≈ (1 + n
q
) R
±
f
R
∓
f
δ
q,q
,
(4)
b
+
q
b
q
fR
±
f
R
∓
f
≈ n
q
R
±
f
R
∓
f
δ
q,q
,
где
n
q
= b
+
q
(t)b
q
(t) и · · · = T r
A
(· · · ρ
0
), а также ограничивая себя построением в
квантовой теории среднего поля, когда многочастичные атомные корреляторы не за-
висят от положения излучателей в образце, мы можем получить из (3) кинетические
уравнения для коллективной инверсии населенностей излучателей
W
c
=
f
R
z
f
и
среднего числа фононов в модах
n
q
= b
+
q
b
q
dW
c
dt
= −
1
τ
−
+
q
1 + n
q
τ
−
q(s)
+ n
q
τ
−
q(as)
N
2
+ W
c
+
+
1
τ
+
+
q
1 + n
q
τ
+
q(as)
+ n
q
τ
+
q(s)
N
2 − W
c
−
−
µ
τ
−
+
q
µ
(s)
τ
−
q(s)
(1 + n
q
) +
µ
(as)
τ
−
q(as)
n
q
S+
(5)
+
µ
τ
+
+
q
µ
(as)
τ
+
q(as)
(1 + n
q
) +
µ
(s)
τ
+
q(s)
n
q
S,
dn
q
dt
=
1
τ
−
q(s)
(1 + n
q
) −
1
τ
−
q(as)
n
q
N
2
+ W
c
+

100
Е.К. Башкиров, Д.В. Литвинова, М.П. Ступацкая
+
1
τ
+
q(as)
(1 + n
q
) −
1
τ
+
q(s)
n
q
N
2 − W
c
+
µ
(s)
τ
−
q(s)
+
µ
(as)
τ
+
q(as)
(1 + n
q
) −
µ
(as)
τ
−
q(as)
+
µ
(s)
τ
+
q(s)
n
q
S,
где мы ввели коллективный двухчастичный атомный коррелятор
S =
f=f
R
+
f
R
−
f
.
Здесь
1
τ
−
= 2π
k
(1 + N
k
)g
2
k
δ(ω
k
− ω
0
),
1
τ
+
= 2π
k
N
k
g
2
k
δ(ω
k
− ω
0
),
1
τ
−
q(s)
= 2π
kq
(1 + N
k
)κ
2
kq
/
2
δ(ω
k
− ω
0
+ Ω
q
),
(6)
1
τ
+
q(s)
= 2π
kq
N
k
κ
2
kq
/
2
δ(ω
k
− ω
0
+ Ω
q
),
1
τ
−
q(as)
= 2π
kq
(1 + N
k
)κ
2
kq
/
2
δ(ω
k
− ω
0
− Ω
q
),
1
τ
+
q(as)
= 2π
kq
N
k
κ
2
kq
/
2
δ(ω
k
− ω
0
− Ω
q
)
— обратные времена излучения и поглощения фотонов для прямого, стоксового и
антистоксового переходов;
µ = 2πτ
−
k
(1 + N
k
)g
2
k
Γ(k)δ(ω
k
− ω
0
),
µ
(s)
= 2πτ
−
(s)
kq
(1 + N
k
)h
2
kq
0
/
2
Γ(k − q)δ(ω
k
− ω
0
+ Ω
q
),
µ
(as)
= 2πτ
−
(as)
kq
(1 + N
k
)πh
2
kq
0
/
2
Γ(k + q)δ(ω
k
− ω
0
− Ω
q
),
где
Γ(κ) =|
1
N
f
e
ı(κ)r
f
|
2
.
Величины
µ, µ
(s)
, µ
(as)
представляют собой геометрические факторы, учитывающие
эффекты интерференции мод излучения в протяженном образце. Используя фор-
мулы (4) и расцепления
b
q
b
+
q
R
z
f
R
±
f
R
∓
f
≈ (1 + n
q
) R
z
f
R
±
f
R
∓
f
δ
q,q
,
b
+
q
b
q
R
z
f
R
±
f
R
∓
f
≈ n
q
R
z
f
R
±
f
R
∓
f
δ
q,q
,

Метод исключения бозонных переменных в задаче о лазерном охлаждении...
101
R
z
f
R
±
f
R
∓
f
≈ R
z
f
R
±
f
R
∓
f
,
мы можем получить из (3) кинетическое уравнение для двухчастичного атомного
коррелятора
S
dS
dt
≈ −2W
c
dW
c
dt
.
(7)
При выводе уравнения (7) мы учли в правой части только слагаемые, описывающие
коллективные процессы. Кроме того, в нашихуравненияхмы не учли процессы на-
качки, так как будем полагать в дальнейшем, что длительность импульса накачки
меньше времени задержки сверхизлучательного импульса. В этом случае особен-
ности процесса накачки можно учесть при записи начальныхусловий для кинети-
ческихуравнений. Полученная замкнутая система уравнений (5), (7) может быть
использована для описания полной динамики лазерного охлаждения в примесных
твердыхтелахв режиме сверхизлучения.
Перейдем к анализу полученныхуравнений. Вначале рассмотрим стационарные
решения уравнений (5), (7) без учета коллективныхэффектов и в отсутствие им-
пульсной накачки частоты
ω
0
. В этом случае мы можем опустить в нихслагаемые,
описывающие коллективные процессы излучения и поглощения фотонов на прямых,
стоксовыхи антистоксовыхпереходах. Будем полагать также, что испущенные фо-
тоны быстро уходят из образца, т. е. среднее число фотонов в моде
k, заданное
внешним источником (лазерной накачкой), совпадает со средним числом фотонов
в системе. Поскольку непрерывная накачка имеет частоту, совпадающую с часто-
той стоксового перехода в примеси, положим все числа фотонов, за исключением
фотонов частотой
ω
0
− Ω, равными нулю. В этом случае вынужденные процессы по-
глощения и излучения на прямом и антистоксовом переходах будут отсутствовать.
Поле источника будем считать не слишком малым
N
k
1 (N
k
— среднее число
фотонов в моде непрерывной накачки). Тогда мы можем пренебречь процессами
спонтанного стоксового излучения по сравнению с процессами вынужденного сток-
сового излучения, тогда
1 + N
k
≈ N
k
и
τ
−
(s)
= τ
+
(s)
= τ
s
. Как уже отмечалось выше,
мы используем модель псевдолокализованныхфононов, пренебрегая ихдисперсией
n
q
= nδ
q,q
0
. Наконец, для описания процесса обмена энергией между выделенной
псевдолокализованной модой и остальными фононными модами кристалла во вто-
рое уравнение введем феноменологическое слагаемое вида
1
τ
v
(n − n
eq
),
где
n
eq
— равновесное число резонансныхфононов и
τ
v
— время ихтермализации.
В указанныхприближенияхмы действительно получаем из (5), (7) уравнения сле-
дующего вида
dW
c
dt
= −
1
τ
−
N
2
+ W +
M
τ
s
(2n + 1)W
c
+ N
2
,
dn
dt
=
1
τ
s
(2n + 1)W
c
+ N
2
−
1
τ
v
(n − n
eq
).
(8)
Заметим, что полученные уравнения совпадают с уравнениями, полученными ранее
для процесса охлаждения примесных кристаллов В.В. Самарцевым с соавторами
[21].
Рассмотрим некоторые стационарные решения уравнений (8). Во всехизвест-
ных экспериментах по лазерному охлаждению примесных кристаллов охлаждение

102
Е.К. Башкиров, Д.В. Литвинова, М.П. Ступацкая
не превышало 100 К от комнатной температуры. В таком интервале температур
среднее число псевдолокализованныхфононов велико
n
eq
1, и мы можем исполь-
зовать высокотемпературное приближение. В высокотемпературном приближении
решение для стационарного среднего числа фононов сводится к
n
st
= n
eq
−
τ
v
N
τ
−
M
.
(9)
В этом случае эффективная температура кристалла есть
T = T
eq
1 −
Ω
k
B
T
s
τ
v
N
τ
−
M
.
(10)
В формулах(9), (10)
n
eq
и
T
eq
— значения среднего числа псевдолокализованных
фононов и температуры кристалла в состоянии термодинамического равновесия со-
ответственно.
Теперь исследуем динамику лазерного охлаждения примесного кристалла в ре-
жиме сверхизлучения. Для исследования такого режима предположим, что примес-
ные излучатели инвертируются не только непрерывной накачкой с частотой
ω
0
− Ω,
но также короткими регулярно повторяющимися импульсами лазерного излучения
с частотой
ω
0
и длительностью
τ
p
. Такие короткие импульсы накачки обеспечи-
вают дополнительную инверсию населенностей двухуровневых примесных ионов и
создают, таким образом, возможность генерации сверхизлучения в кристалле. В ре-
жиме сверхизлучения возбужденные примесные ионы за время порядка времени
задержки импульса сверхизлучения
t
D
переходят в невозбужденное состояние, что
приводит к увеличению скорости поглощения псевдолокализованныхфононов. Это
в свою очередь приводит к дополнительному охлаждению кристалла в сравнении
со стационарным охлаждением, возникающим за счет действия непрерывной накач-
ки. В случае достаточно короткихимпульсов накачки мы можем не рассматривать
детально эволюцию системы в момент действия импульса и учесть результаты его
воздействия на систему примесныхионов на уровне записи начального условия для
атомной населенности в кинетическихуравнениях. Предположим, что длительность
импульса накачки много меньше времени сверхизлучения и любыхдругихвремен
релаксации псевдолокализованной фононной моды. В рамкахсделанныхвыше при-
ближений, а также если пренебречь коллективными эффектами излучения на сток-
совом и антистоксовом переходах, уравнения (5) и (7) в режиме сверхизлучения
примут вид:
dW
c
dt
= −
1
τ
−
+ M
1 + n
τ
s
N
2
+ W
c
+ M
n
τ
s
N
2 − W
c
−
µ
τ
−
K,
(11)
dn
dt
=
1
τ
s
(1 + n)
N
2
+ W
c
−
n
τ
s
N
2 − W
c
−
1
τ
v
(n − n
st
),
dK
dt
= −
1
2W
c
dW
c
dt
,
Мы ввели во второе уравнение феноменологическое слагаемое, описывающее релак-
сацию псевдолокализованныхфонов к стационарному распределению, реализующе-
муся при действии на кристалл непрерывной накачки.

Метод исключения бозонных переменных в задаче о лазерном охлаждении...
103
3. Численное решение кинетических уравнений
и обсуждение результатов
Проведем оценку параметров, необходимых для численного моделирования урав-
нений (11), используя результаты работы Тимоти Госнелла [31] по лазерному охла-
ждению стекла ZBLANP, легированного редкоземельными трехвалентными ионами
иттербия Yb
3+
(1 вес. %). Образец ZBLANP:Yb
3+
представлял собой цилиндр из
стекловолокна с диаметром сердцевины 170 мкм и длиной 7 мм. Концентрация ионов
иттербия составлявляла примерно
n
Y b
= ×10
8
ионов/(мкм)
3
. Число примесных
ионов в таком образце составляет
N
0
= 1, 6 × 10
16
. Излучение накачки создавалось
с помощью непрерывного титан-сапфирового лазера мощностью примерно 2 Вт на
длине волны 1015 нм. Излучение антистоксовой флуоресценции контролировалось
с помощью ССВ-спектрографа. Достигнутая в эксперименте температура охлажде-
ния (по отношению к комнатной) определялась методом бесконтактной термометрии
и составила 65
0
C. Оптические спектры поглощения и антистоксовой флуоресценции
образца для того же стекла ZBLANP:Yb
3+
(1 вес. %) получены практически одно-
временно при комнатной температуре авторами работы [28]. Длина волны
λ
F
, соот-
ветствующая средней энергии флуоресцентныхфотонов, составляла 995 нм. Время
спонтанного излучения ионов иттербия на длине волны 996 нм равно
τ
−
= 1, 9 мс.
Центральная частота псевдолокализованныхфононов составляет 60 ГГЦ. Прове-
дем оценку общего числа псевдолокализованныхмод в кристалле, задействованных
в процессе лазерного охлаждения в образце, в эксперименте Т. Госнелла. Для этого
воспользуемся формулой (5). В указанном эксперименте по лазерному охлаждению
ZBLANP:Yb
3+
образец был охлажден на 65 К по отношению к комнатной темпера-
туре. Подставляя это значение для разности температур в формулу (5) и полагая,
что
τ
v
≈ τ
−
[14], получаем для общего числа псевдолокализованныхфононныхмод,
вовлеченныхв процесс лазерного охлаждения,
M
0
= 1, 6 × 10
16
. Стационарное сред-
нее число псевдолокализованныхфонононов в моде при наименьшей достигнутой в
эксперименте температуре 230 К составляет
n
st
=
1
exp( Ω/kT ) − 1)
≈
kT
Ω ≈
500.
Оценим теперь значение времени вынужденного стоксовского излучения
τ
S
. Для
этого запишем хорошо известное в лазерной физике полуфеноменологическое урав-
нение, описывающее баланс населенностей в примесном ионе при наличии лазерной
накачки на длине волны
λ
p
= 1015 нм:
N
2
dt
= P
p
(t)
S
λ
p
c
[σ
abs
(λ
p
)N
1
(t) − σ
em
(λ
p
)N
2
(t)] −
N
2
(t)
τ
−
.
(12)
Здесь
N
2
и
N
1
– населенность возбужденного и невозбужденого уровней двухуров-
невого иона, удовлетворяющие условию
N
1
+ N
2
= N
0
,
P
p
(t) – мощность лазерной
накачки,
σ
abs
(λ
p
) и σ
em
(λ
p
) – сечения процессов поглощения и эмиссии фотонов на
длине волны
(λ
p
). Для примесныхионов иттербия в стекле ZBLANP:Yb
3+
(1 вес. %)
сечения равны
σ
abs
(λ
p
) ≈ 10
−25
м
3
и
σ
abs
(λ
p
) ≈ 4 × 10
−25
м
3
. Сравнивая формулы
(8) и (12) для стационарного режима, получаем для времени вынужденного сток-

жүктеу/скачать 3,26 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: