Т еоретическая ф изика Том 11, 2010

90
Б.А. Арбузов, И.В. Зайцев
Таблица 1. Результаты вычислений формфакторов для пространственноподобной
области
α
s
= 0, 416
α
s
= 0, 48
Experiment
Q
2
F
γ
(Q
2
) F
γ−
(Q
2
)
Q
2
F
γ
(Q
2
) F
γ−
(Q
2
)
Q
2
F (Q
2
)
0,1405
0,9707
0,9583
0,01469
0,9667
0,9562
0,015
0,9716
0,03511
0,9300
0,90079
0,03672
0,9184
0,8946
0,035
0,9306
0,05618
0,8921
0,8480
0,05875
0,8731
0,8387
0,054
0,8949
0,07725
0,8566
0,7995
0,08079
0,8303
0,78775
0,078
0,8769
0,09832
0,8233
0,7547
0,1028
0,7899
0,7415
0,101
0,8246
0,1194
0,7921
0,7134
0,1249
0,7518
0,6996
0,119
0,8221
0,1404
0,7627
0,6753
0,1469
0,7157
0,6613
0,144
0,7849
0,1615
0,7350
0,6399
0.1689
0,6815
0,6275
0,163
0,7503
0,1826
0,7088
0,60715
0,1909
0,6490
0,5959
0,183
0,7655
0,2037
0,6838
0,5766
0,2130
0,6148
0,5678
0,203
0,7273
0,2247
0,6614
0,5491
0.2350
0,5981
0,5622
0,223
0,6979
0,2458
0,6408
0,5248
0,2570
0,5756
0,5449
0,243
0,7701
0,2669
0,6201
0,5005
0,2791
0,5375
0,5194
0,2530
0,5796
0,2879
0,6020
0,4791
0,3011
0,5218
0,5117
0,3090
0,5854
0,4595
0,3231
0,5051
0,5016
0,3301
0,5699
0,4413
0,3452
0,4838
0,4857
0,3511
0,5543
0,4229
0,3672
0,4597
0,4660
0,3722
0,5439
0,4108
0,3892
0,4354
0,4455
0,3933
0,5382
0,4034
0,4113
0,4130
0,4259
0,4143
0,5267
0,3894
0,4333
0,3932
0,4085
0,4354
0,5114
0,3718
0,4553
0,3764
0,3934
0,4565
0,4970
0,3555
0,4773
0,3627
0,3808
0,4775
0,4854
0,3423
0,4994
0,3517
0,3703
0,4986
0,4769
0,3319
0,5214
0,3432
0,3615
0,5197
0,4705
0,3235
0,5435
0,3372
0,3546
0,5408
0,4656
0,3160
0,5655
0,3341
0,3498
0,5618
0,4614
0,3090
0,5875
0,3333
0,3467
Примечание. Здесь размерность Q
2
есть GeV
2
.
Таблица 2. Результаты вычислений радиуса заряженного пиона для различных
значений
α
s
α
s
= 0, 416 α
s
= 0, 481 α
s
= 0, 576 α
s
= 0, 673
r
γ
0, 721
0, 755
0, 742
0, 696
r
2
γ
0, 519
0, 569
0, 550
0, 485
r
γρ
0, 752
0, 771
0, 791
0, 743
r
2
γρ
0, 566
0, 595
0, 625
0, 552

Нелокальное взаимодействие Намбу – Иона-Лазинио, полученное методом компенсации ...
91
PHOTON
RHO-MESON
PHOTON+RHO
EXPERIMENT
Q
2
, GeV
2
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
F
2
Q
2
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Рис. 3. Зависимость
F
2
(Q
2
) при α
s
= 0, 48
Далее мы вычисляем значения радиуса заряженного пиона, определяемого сле-
дующим образом:
< r
2
>
em
= −6
dF
γ
∗
π
+
π
−
dq
2
.
(2.8)
Результаты представлены в табл. 2. Здесь приведены также результаты для
α
s
=
= 0, 576 и α
s
= 0, 673. Экспериментальное значение таково:
r
2
exp
= 0.451 ± 0.011 fm
2
,
(2.9)
где
r
exp
= 0, 672 fm.
Мы видим, что для значений
α
s
на краях рассматриваемого нами интервала удо-
влетворительным является соответствие эксперименту прежде всего для величины
радиуса, даваемой контактным вкладом; учет же векторного вклада (две нижние
строки таблицы) особенно заметно нарушает это соответствие в той области, где
для функций формфактора соответствующая составляющая, напротив, при боль-
ших импульсах была меньше. Очевидно, изменение знака производной амплитуды в
области высоких энергий должно быть связано с наличием большой отрицательной
производной в нуле.
3.Переходный формфактор и радиус нейтрального
пиона
r
J
J
J
p −
q
2
p +
q
2
q
Рис. 4
На диаграмме рис. 4 представлен процесс
распада нейтрального пиона. (здесь пе-
речеркнутая прерывистая линия обозна-
чает виртуальный фотон
γ
∗
) Амплитуда
процесса имеет следующий вид, опреде-
ляющий формфактор
F
π
0
γγ
∗
:
T
π
0
γγ
∗
=
e
2
4π
2
f
π
µναβ
q
ν
1
q
µ
2
A
β
q
2
π
0
(p)F
π
0
γγ
∗
(q
2
1
).
(3.10)
Как правило, данный процесс характеризуется радиусом, определяемым, как и в
случае заряженного пиона, выражением

92
Б.А. Арбузов, И.В. Зайцев
< r
2
>
π
0
γγ
∗
= −6
dF
π
0
γγ
∗
dq
2
.
(3.11)
В некоторых случаях используется безразмерный параметр
a, определяемый вы-
ражением
F (Q
2
) = F (0)[1 − a
Q
2
m
2
π
0
+ ...].
(3.12)
Вычисление самого формфактора в рассматриваемой нами низкоэнергетической
области связано с определенными затруднениями и, поскольку экспериментальные
данные здесь отсутствуют, его обычно не производят. Нам удалось полностью ана-
литически проинтегрировать выражение для приведенной выше амплитуды по уг-
ловым переменным (в пространственноподобной области), хотя в данном случае уже
невозможно обеспечить обращение в нуль скалярного произведения двух фиксиро-
ванных импульсов. С другой стороны, при вычислении производной формфактора
в нуле можно упростить задачу, все же потребовав перпендикулярности импульсов
(частично задействовав киральный предел).
Результаты вычислений для трех значений
α
s
представлены на рис. 5 и в табл. 3.
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
α
s
= 0, 416
α
s
= 0, 48
α
s
= 0, 58
Рис. 5. Зависимость
F
2
(Q
2
) для трех значений α
s
.
На графиках по горизонтальной оси, как и ранее, отсчитывается квадрат модуля
импульса, выраженный в
GeV
2
.
Как видно из приведенной диаграммы, здесь мы полностью исключаем вклад с
рождением промежуточного
ρ-мезона. Это связано с тем, что для дифференциаль-
ных параметров хорошее соответствие экспериментальным данным обеспечивается
непосредственно контактным вкладом, в то время как попытка учета
ρ-мезонной
добавки полностью разрушает такое соответствие. В отличие от того, что имеет ме-
сто для заряженного пиона, здесь подавления
ρ-мезонного вклада не происходит, и
в таком случае в ряде моделей им таким же образом пренебрегают.
Экспериментальные значения для радиуса и параметра – следующие:
< r
2
>
exp
π
0
γγ
∗
= 0, 407 ± 0, 051 fm
2
(3.13)
a = 0, 032 ± 0, 004.
(3.14)
Вычисленные значения для трех значений
α
s
приведены в табл. 4.
Из таблицы видно, что полученные нами результаты согласуются с эксперимен-
том в пределах ошибок для интервала значений
α
s
: 0,46–0,58. При этих же значениях
наблюдается и согласие для формфактора заряженного пиона.

Нелокальное взаимодействие Намбу – Иона-Лазинио, полученное методом компенсации ...
93
Таблица 3. Результаты вычислений формфактора для пространственноподобной
области для различных значений
α
s
α
s
= 0, 416
α
s
= 0, 48
α
s
= 0, 58
Q
2
(GeV
2
)
F
γ
(Q
2
)
Q
2
(GeV
2
)
F
γ
(Q
2
)
Q
2
(GeV
2
)
F
γ
(Q
2
)
0,02809
0,9884
0,02938
0,9852
0,03136
0,9871
0,0702
0,9469
0,07344
0,9184
0,07840
0,9410
0,1124
0,9063
0,1205
0,9431
0,1254
0,8969
0,1544
0,8686
0,1616
0,8638
0,1725
0,8569
0,1966
0,8325
0,2056
0,8275
0,2195
0,8190
0,2388
0,7966
0,2497
0,7870
0,2666
0,7993
0,2809
0,7666
0,2938
0,7393
0,3136
0,7327
0,3230
0,7147
0,3378
0,6896
0,3606
0,6661
0,3651
0,6623
0,3819
0,6379
0,4077
0,6088
0,4074
0,6142
0,4259
0,5909
0,4547
0,5570
0,4494
0,5711
0,4700
0,5489
0,5018
0,5126
0,4916
0,5324
0,5141
0,5113
0,5488
0,4729
0,5337
0,4976
0,5581
0,4777
0,5958
0,4379
0,5758
0,4526
0,6022
0,4475
0,6429
0,4069
0,6180
0,4251
0,6463
0,4204
0,6899
0,3793
0,6602
0,4002
0,6903
0,3958
0,7369
0,3546
0,7022
0,3776
0,7344
0,3735
0,7840
0,3325
0,7444
0,3570
0,7785
0,3532
0,8310
0,3125
0,7865
0,3382
0,8225
0,3347
0,8780
0,2944
0,8286
0,3210
0,8666
0,3176
0,9251
0,2779
0,8708
0,3051
0,9107
0,3020
0,9721
0,2629
0,9129
0,2905
0,9547
0,2875
1,019
0,2491
0,9550
0,2771
0,9988
0,2741
0,9972
0,2646
1,0428
0,2617
Таблица 4. Результаты вычислений радиуса нейтрального пиона для различных
значений
α
s
α
s
= 0, 416 α
s
= 0, 481 α
s
= 0, 576
r
γ
0, 7019
0, 6730
0.6100
r
2
γ
0, 4926
0, 4530
0, 3721
a
0, 0374
0, 0344
0, 0283
Заключение
Полученные в работе результаты подтверждают эффективность подхода компен-
сации Н.Н. Боголюбова в применении к непертурбативным низкоэнергетическим
эффектам КХД. Дальнейшее развитие представленных результатов предполагает
применение к значениям формфакторов во времени-подобной области. Заслуживает
дополнительного изучения также вывод об удовлетворительном описании электро-
магнитных параметров при учете прямого электромагнитного взаимодействия, в то
время как введение
ρ-мезонных диаграмм не является необходимым.

94
Б.А. Арбузов, И.В. Зайцев
Авторы выражают благодарность М.К. Волкову за плодотворные и весьма цен-
ные обсуждения.
Список литературы
[1] Arbuzov B.A., Volkov M.K., Zaitsev I.V. NJL interaction derived from QCD //
International Journal of Modern Physics. A 21. 2006. P. 5721.
[2] Arbuzov B.A., Volkov M.K., Zaitsev I.V. NJL interaction derived from QCD: vector
and axial-vector mesons // International Journal of Modern Physics. A 24. 2009.
P. 2415.
[3] Боголюбов Н.Н. О принципе компенсации и методе самосогласованного поля //
УФН. 1959. Т. 67. Вып.4. С. 549–580.
[4] Боголюбов Н.Н. Квазисредние в задачах статистической механики. Дубна:
ОИЯИ (ЛТФ; Д-781). 1961. 123 с.
[5] Арбузов Б.А., Тавхелидзе А.Н., Фаустов Р.Н. К вопросу о массе фермиона в
γ
5
-инвариантной модели теории поля // ДАН СССР. 1961. Т. 139. С. 345.
[6] Арбузов Б.А. Спонтанное возникновение эффективного взаимодействия в ренор-
мируемой модели квантовой теории поля // Теоретическая и математическая
физика. Т. 140. 2004. С. 1205.
[7] Arbuzov B.A. Infrared non-perturbative QCD running coupling from Bogolubov
approach // Phys. Lett. B656. 2007. P. 67.
[8] Arbuzov B.A., Volkov M.K. Bogoliubov compensation approach in QCD and in the
electroweak theory // arXiv:1003.1837[hep-ph](2010).
NON-LOCAL NAMBU – JONA-LASINIO
INTERACTION, RECEIVED BY COMPENSATION
APPROACH OF N.N. BOGOLYUBOV, AND
ELECTROMAGNETIC CHARACTERISTICS OF
PEONIES
c 2010 B.A. Arbuzov
3
, I.V. Zaycev
4
Abstract
A non-local model of Nambu – Jona-Lasinio is considered at the given work
within the framework of fundamental theory QCD on the basis of compensation
principle of N.N.Bogolyubov. The results received earlier are applied to the calcu-
lation of electromagnetic formfactor of charged peon and transitive formfactor of
neutral peon. The given results are well agreed with set of experimental data that
confirms efficiency of application of compensation approach of N.N. Bogolyubov by
consideration of non-perturbative effects in quantum field theory.
3
Arbuzov Boris Andreevich, doctor of phys.-math. sciences, leading scientific employee of the De-
partment of high energy theoretical physics of SINP MSU, 119992, Moscow, Lenin mountains, 1, Russian
Federation; e-mail: arbuzov@theory.sinp.msu.ru.
4
Zaycev Ivan Vladimirovich, candidate of phys.-math. sciences, younger scientific employee of the
Department of high energy theoretical physics of SINP MSU, 119992, Moscow, Lenin mountains, 1,
Russian Federation.

Теоретическая Физика, 11, 2010 г.
95
МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ БОЗОННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
В ЗАДАЧЕ О ЛАЗЕРНОМ ОХЛАЖДЕНИИ
ПРИМЕСНЫХ ПРОТЯЖЕННЫХ КРИСТАЛЛОВ
В РЕЖИМЕ СВЕРХИЗЛУЧЕНИЯ
c 2010 Е.К. Башкиров
1
, Д.В. Литвинова, М.П. Ступацкая
2
Аннотация
На основе метода исключения бозонных переменных исследована кинетика
примесных центров и псевдолокализованных мод в задаче о лазерном охлажде-
нии примесного кристалла в режиме сверхизлучения. Показана возможность
дополнительного охлаждения кристалла за счет коллективных эффектов из-
лучения.
Введение
Метод исключения бозонныхпеременныхбыл развит Н.Н. Боголюбовым и
Н.Н. Боголюбовым (мл.) применительно к проблеме описания динамики поляро-
нов в кристаллах[1]. Однако предложенный подход оказался весьма плодотворным
при описании широкого круга неравновесныхпроцессов, в частности при описании
коллективныхпроцессов излучения атомныхи ядерныхсистем, взаимодействую-
щихс квантовыми электромагнитными полями [2–14]. В настоящей работе метод
исключения бозонныхпеременныхиспользован для описания динамики лазерного
антистоксова охлаждения примесных протяженных кристаллов с учетом коллек-
тивныхэффектов излучения. В рамкахсосредоточенной модели кристалла такая
задача рассматривалась ранее в работах[15–18].
Лазерное охлаждение твердых тел является в настоящее время одной из наиболее
важныхпроблем лазерной физики в связи с практической потребностью в создании
компактныхвысокоэффективныхтвердотельныхлазерныхрефрижераторов, функ-
ционирующихбез криогенной жидкости [19–25]. Эффект охлаждения твердыхтел
может быть достигнут при использовании антистоксового режима флуоресценции
[26]. В качестве наиболее эффективной системы для реализации антистоксового ре-
жима охлаждения используются примесные редкоземельные ионы в прозрачных
кристаллах[27]. В первом эксперименте по лазерному ох
лаждению твердыхтел
в режиме антистоксовой флуоресценции в качестве рабочихионов использовались
редкоземельные примесные ионы (
Y b
3+
) в тяжелометаллическом флюоридном стек-
ле [28]. При этом удалось понизить температуру образца на 3 K по сравнению с
комнатной. В последние годы с помощью антистоксова режима флуоресценции уда-
лось понизить температуру различныхпримесныхкристаллов до примерно 150 К от
комнатной температуры [29]. Для теоретического описания процесса антистоксового
охлаждения примесных кристаллов была предложена модель локальных или псев-
долокализованныхфононов [21]. Детальное описание модели псевдолокализованных
фононов можно также найти в обзоре [18].
1
Башкиров Евгений Константинович, д. ф.-м. н., проф. кафедры общей и теоретической физики
Самарского государственного университета, 443011, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1, Российская
Федерация, электронная почта: bash@ssu.samara.ru.
2
Литвинова ДарьяВадимовна, СтупацкаяМарияПетровна, студенты кафедры общей и тео-
ретической физики Самарского государственного университета, 443011, г. Самара, ул. Акад. Пав-
лова, 1, РоссийскаяФедерация.

96
Е.К. Башкиров, Д.В. Литвинова, М.П. Ступацкая
В работах[16, 17, 30] показано, что одним из способов увеличения эффективности
лазерного охлаждения может стать использование режима сверхизлучения для при-
месныхионов в кристалле. Для этого предложено наряду с непрерывной накачкой
использовать вспомогательные короткие лазерные импульсы с частотой, равной ре-
зонансной частоте атомного перехода. Такая накачка позволяет создать инверсную
заселенность среды с последующим испусканием коллективного импульса. Однако
при теоретическом анализе предложенной схемы авторы работы [16] ограничились
только исследованием динамики примесныхионов, исключив из рассмотрения ди-
намику фононныхмод. В работе [17], наоборот, исследовалась динамика псевдоло-
кализованной фононной моды примесного кристалла. При этом в обеихработахрас-
смотрение проблемы было проведено в рамкахсосредоточенной модели примесного
кристалла, длина волны излучения намного меньше характерных размеров образ-
ца, что не соответствует реальной экспериментальной ситуации. В работе [30] для
описания коллективныхэффектов в лазерном охлаждении в рамкахальтернатив-
ной схемы накачки примесей использовались полуфеноменологические кинетиче-
ские уравнения. Для описания реальныхэкспериментов по лазерному охлаждению
кристаллов, легированныхредкоземельными металлами, сосредоточенная модель
кристалла неприменима [19–29]. Поэтому представляет большой интерес обобщение
результатов работы [17] на случай протяженной модели кристалла.
1. Гамильтониан модели
Рис. 1. Схема энергетических уровней и возможных переходов в двухуровневом при-
месном ионе для сверхизлучательного режима антистоксового лазерного охлажде-
ния примесного кристалла. Цифрами 1 и 2 обозначены основное и возбужденное
состояние иона,
ω
1
— частота непрерывной лазерной накачки,
ω
0
— частота резо-
нансного перехода в двухуровневом ионе и частота коротко-импульсной накачки,
использующейся для создания инверсной заселенности уровней в ионе,
Ω — частота
псевдолокализованного фонона
Рассмотрим систему
N двухуровневых примесных редкоземельных ионов в про-
тяженном кристалле вида вытянутого стержня с резонансной частотой перехода
ω
0
, взаимодействующую с двумя когерентными полями накачки – непрерывной на-
качкой на частоте
ω
1
, удовлетворяющей условию
ω
1
< ω
0
, и импульсной лазерной

Метод исключения бозонных переменных в задаче о лазерном охлаждении...
97
накачкой с частотой
ω
0
. Примесные ионы также взаимодействуют с псевдолокали-
зованными фононами с частотой
Ω. Частота непрерывной накачки подбирается так,
чтобы выполнялось условие
ω
1
= ω
0
− Ω. Схема энергетических уровней и возмож-
ныхпереходов в примесном двухуровневом ионе представлена на рис. 1.
Гамильтониан рассматриваемой системы можно представить в виде
H = H
A
+ H
F
+ H
AF
,
(1)
где
H
A
=
N
f=1
ω
0
R
z
f
+
q
Ω
q
b
+
q
b
q
+
1
2
ω
R
(t)
N
f=1
e
−i(ω
0
t−k
0
x
f
)
R
(+)
f
+ e
i(ω
0
t−k
0
x
f
)
R
(−)
f
– гамильтониан системы свободныхдвухуровневыхионов, свободного псевдолокали-
зованного фононного поля и импульсной накачки;
H
F
=
k
ω
k
a
+
k
a
k
– гамильтони-
ан свободного квантового электромагнитного поля, включающий в себя вакуумное
поле и поле непрерывной накачки;
H
AF
= H
(1)
AF
+ H
(2)
AF
— гамильтониан взаимодей-
ствия, включающий прямое
H
(1)
AF
=
k,f
g
k
e
ıkr
f
a
k
R
+
f
+ e
−ıkr
f
a
+
k
R
−
f
и непря-
мое ион-фотонное взаимодействие (с поглощением и испусканием фононов)
H
(2)
AF
=
=
q,k,f
κ
kq
e
ı(k−q)r
f
a
k
R
+
f
(b
−q
+ b
+
q
) + e
−ı(k−q)r
f
a
+
k
R
−
f
(b
q
+ b
+
−q
) .
Здесь индекс
f нумерует двухуровневые ионы, r
f
— радиус-вектор
f-го иона, ω
0
—
частота перехода в двухуровневом ионе,
R
z
f

жүктеу/скачать 3,26 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: