ОҚулық Екінші басылым. Өңделген Алматы, 2012 2 Əож 53 (075. 8) Кбж 22. 3 я 73 Т90

255 
Q
C
    
      
Q
C
.   
                  (15.18)
202-сурет 
Динамикалық  жүктеме  кезінде  де  кернеу  пропорционалдық 
шектен аспау керек екенін ескеріп
,
P
C
   
 
P
C
.                (15.19)
Енді (15.18) өрнекті пайдалансақ:   
Q
P
.  
                                 (15.20)
(15.16), (15.17) жəне (15.20) өрнектерді (15.15) теңдікке қойсақ:
1
2
Q
Q h
       
        
2
2
2
0
h
. 
 
(15.21)                                                                      
Теңдеуді шешкеннен кейін                  
   
2
2h
. 
                          (15.22)
Түбір  астынан
cm
δ
шамасын  шығарып,  орын  ауыстырудың  үлкен 
мəнін  табамыз.  Ол  үшін  түбірдің  алдындағы  плюс  таңбасын 
қалдырамыз.
            
2
(1
1
)
h
. 
                            (15.23)

256
Жақша  ішіндегі  шаманы  динамикалық  коэффициент  ретінде 
қабылдаймыз, яғни   
  
2
1
1
h
k
  
                                                              (15.24)                                                                   
Сонда   
.  
                                                                       (15.25)
Гук заңын қолданып, кернеулер де орын ауыстыру заңдылығына 
бағынады деп тұжырымдаймыз, яғни
.   
                           (15.26)
Беріктік шарты:
max
max
2
(1
1
)
h
.   
                      (15.27)
§ 4. Соққының  динамикалық  коэффициенттерінің  дербес 
түрлері
Динамикалық коэффициенттің (15.24) шамасы статикалық орын 
ауыстыру жəне құлау биіктігіне байланысты анықталады.
- Егер жүк биіктіктен құламай, солқ еткізіп əсер етсе, яғни һ = 0 
болса, онда (15.24) формуладан   
  
           
 
2
.
                                      (15.28)
- (15.24) формуладағы h шамасын физикадан белгілі формула 
2
v
gh
=
 арқылы өрнектесек
2
1
1
v
g
.  
                       (15.29)
Бұл  жердегі  v - соғатын  дененің  соғылатын  денемен  жанасқан 
кездегі жылдамдығы. 
-  Егер  құлау  биіктігі  һ  статикалық  орын  ауыстыруға  қарағанда 
əлдеқайда көп болса, онда түбір астындағы бірді ескермеуге болады, 
яғни 
2
1
h
g
.  
                                (15.30)

257 
-  Ал,  
2h
 
қатынасы  тіпті  үлкен  болғанда,  түбірдің  алдындағы 
бірді де елемеуге болады, яғни
2h
g
. 
                           (15.31)
Соңғы формуланы келесідей түрлендіріп жазуға болады:
2
1
2
h Q
Q h
Q
Q
. 
Бұл  өрнектегі 
K Q h
= ⋅
 - кинетикалық  энергия,  ал  
1
2
U
Q
- 
потенциалдық энергия. Сонымен
CT
U
  
                                    (15.32)
§5. Тербеліс кернеуі
Қазіргі  кездегі  физиканың  үлкен  бір  бөлімі  тербеліс 
теориясын  зерттеуге  арналған.  Тербеліс  теориясы  механикада, 
электротехникада  жəне  басқа  да  салаларда  кеңінен  қолданылады. 
Механика  саласындағы  пəндердің  ішінде  теориялық  механикада 
біршама  толық  қарастырылады.  Осыған  байланысты,  материалдар 
кедергісінде, теориялық механиканың тұжырымдарын кернеулер мен 
деформацияларды анықтауға жəне беріктікке есептеуге қолданамыз.
А.  Тербеліс  теориясының  негізгі  анықтамалары.  Серпімді 
жүйелердің  тербелістерін  зерттегенде,  оларды  бір-бірінен  еркіндік 
дəрежесінің саны арқылы айырады.
 Жүйенің кеңістіктегі немесе жазықтықтағы орнын анықтайтын 
тəуелсіз  координаталар  санын  еркіндік  дəрежесінің  саны  дейміз. 
Мысалы,  серіппеге бекітілген қатаң массаның m (203,а-сурет) еркіндік 
дəрежесі бірге тең, өйткені оның жазықтықтағы орны бір координата 
z  арқылы  анықталады.  Ал, 203,б-суретте  көрсетілген  массаның 
еркіндік дəрежесі үшке тең. Бұл массаның жазықтықтағы орны, оның 
17–661

258
салмақ центрінің координаталарымен жəне бұрылу бұрышы арқылы 
табылады.                                                                                                                                                   
203-сурет
Бұдан  басқа,  серпімді  жүйелер  өздерінің  еркін  жəне  мəжбүр 
тербелістері арқылы ажыратылады.
Серпімді  жүйенің  сыртқы  күштер  əсерінен  босағаннан  кейін 
өздігінен-өзі  тербелуін  еркін  тербеліс  деп  атайды.  Ал,  серпімді 
жүйенің  өзгермелі  сыртқы  күштердің  əсерінен  тербелуі  мəжбүр 
тербеліс деп аталады. Мұндай күштерді - ұйтқы күштер деп атауға 
болады.
Серпімді  жүйенің  тепе-теңдік  жағдайынан  ауытқыған  кезде 
қатар  тұрған  ең  үлкен (max) екі  ауытқуларының  арасы  тербелістiң 
периоды деп аталады. Бұған кері шама, тербелістің жиілігі делінеді. 
Техникада шеңберлiк жиілік деген де түсінік бар.
Егер  тербеліс  периодын  Т  əрпімен  белгілесек,  онда  тербелістің 
жиілігі
1
T
ν =
,                                     (15.33)
шеңберлік жиілік             
2
2
T
π
ω
πν
=
=
.                              (15.34)
Ə. Тербеліс кернеуін есептеу. Арқалыққа бекітілген қондырғының 
тербеліс тудыратын элементі бар болсын (204,а-сурет). Қондырғының 
салмағы Q, одан туындайтын орын ауыстыруды 
 
 деп белгілейік 
(204,б-сурет).  Қондырғы  тудыратын  тербеліс  кезінде,  арқалықтың 
тербелісі өзінің тепе-теңдік күйінің маңында болады.

259 
 
204-сурет
   
Тербелістің амплитудасы  
 
болсын. Бұл кезде арқалықтың 
динамикалық орын ауыстыруы:
A
.  
                        (15.35)
Арқалық үшін   қауіпті жағдай, оның үлкен орын ауыстыруы екені 
белгілі,  сондықтан  статикалық  үлкен  орын  ауыстыруғы  амплитуда 
қосылады, яғни
max
A
. 
                  (15.36)
Статикалық орын ауыстыруды жақша сыртына шығарсақ
max
A
. 
                 (15.37)
Жақшадағы шаманы, тербелістің динамикалық коэффициенті деп 
қабылдаймыз, сонда
1
A
.   
                         (15.38)
Жүйенің  деформациясы  серпімді  шегінен  аспаса,  кернеу  мен 
деформация арасында пропорционалдық қатынас болатыны белгілі, 
яғни
;   
max
max
.  
       (15.39)
Берiктiк шарты:
max
max
.    
                           (15.40)

260
Сонымен, динамикалық кернеуді табу үшін, алдымен статикалық 
кернеу есептеледі де, динамикалық коэффициентке көбейтіледі. 
Амплитуданы  табу  үшін,  тербеліс  өсуінің  коэффициентін 
қолданамыз.
2
2
2
2
1
4
0
0
1
4
1
A
n
,  
          (15.41)
Бұл жердегi
d
н 
- ұйтқу күшінің ең үлкен шамасынан пайда болатын статикалық 
орын      ауыстыру,
ω
о
 - серпімді жүйенің еркін тербелісінің жиілігі, 
ω - мəжбүр тербелістің жиілігі, 
b - тербеліс өсуінің коэффициенті, 
n
1
 - тербеліс өшуінің коэффициенті.

261 
16-тарау. КЕРНЕУЛЕРІ СЕРПІМДІЛІК ШЕГІНЕН 
АСҚАН ЖҮЙЕЛЕРДІ ЕСЕПТЕУ
§1.  Есептеудің  ерекшеліктері  жəне  созылу  диаграммасы 
туралы
Өткен  тарауларда,  конструкциялардың  элементтерін  есептеген 
кезде,  біз  олардың  қималарындағы  кернеулер  мен  деформациялар 
серпімділік  шегінен  аспаған  деп  қарастырған  едік.  Ал,  тəжірибеде 
қарастырылатын  көптеген  конструкциялардың  элементтеріндегі 
(серіппелер,  штамповка  арқылы  жасалатын  бұйымдар,  ракета 
моторының  элементтері  жіне  т.б.)  кернеулер  мен  деформациялар 
серпімділік  шегінен  асып  жататыны  да  белгілі.  Мұндай  есептерді 
қарастырған  кезде  Гук  заңы  өз  күшін  жояды,  сондықтан  кернеу 
мен  деформация  араларындағы  тура  пропорционалдық  тəуелділігі 
басқа-күрделі  тəуелділікпен  алмастырылады.  Бұл  кезде  элементте 
пластикалық  деформация  пайда  болатынын  бұдан  бұрын  айтқан 
болатынбыз.       
 Егер бұрын қарастырлған есептерде деформация ОА шамасынын 
(205-сурет)  аспайтын  болса,  пластикалық  деформация  кезінде 
ε
 
шамасы елеулі түрде үлкен болады. 
Пластикалық  деформациялар  аз  жəне  үлкен  пластикалық 
деформация  болып  бөлінеді.  Сонымен,  үлкен  пластикалық 
деформация  кезіндегі  есептеу  бұл  пəннің  аумағынан  тыс 
жатқандықтан, біз бұл тарауда аз пластикалық деформация кезіндегі 
есептеу жолдарын қарастырамыз.
205-сурет

262
Осыған  байланысты  «Материалдар  кедергісінің»  негізгі  екі 
қағидаларына тоқтала кетейік:
1)  аз  пластикалық  деформация  аумағында  басқы  өлшемдердің 
өзгермеу қағидасы толық сақталады;
2)  күштер  əсерінің  тəуелсіздігі  қағидасын  аз  пластикалық 
деформация аумағында қолдануға болмайды. 
Осы  жағдайды  келесі  мысал  арқылы  нақты  түрде  көрсетуге 
болады.  Кез  келген  сырық
1
, 
2
 
  күштерімен  жүктелсін  жəне 
бірінші күштің шамасы аталған сырықта пластикалық деформация 
тудыратындай болсын (206-сурет). 
 
206-сурет
Күштердің əсер ету кезегін ауыстырған кезде, яғни, алдымен  
1
 
 
күші əсер етіп, одан кейін 
2
 
 күші əсер еткен кездегі ұзару мен, 
содан кейін, керісінше, алдымен 
2
 
  күші əсер етіп, одан кейін 
1
 
  
күші əсер еткен кездегі сырықтың ұзаруы əртүрлі болатыны суреттен 
көрініп тұр. Демек, жүктелу кернеуі мен деформация араларындағы 
қатынас, жүкті алу кезіндегі қатынаспен бірдей болмайды. Сондықтан, 
деформацияларды  белсенді  (актив)  деформациялану  жəне  енжар 
(пассив)  деформациялану  деп  қарастыру  қабылданған.  Осыған 
байланысты, белсенді (актив) деформациялану кезінде кернеу өседі, 
ал енжар (пассив) деформациялануда кернеу төмендейді. Мысалы, 
205-суреттегі диаграмманың ОВС аралығы белсенді, ал СF аралығы 
енжар  деформацияға  сəйкес  келеді.  Осы  диаграммада  көрсетілген 
ОD  кесіндісі  арқылы  өрнектелген  деформацияны  пластикалық 
деформация  (ОF)  жəне  серпімді  деформацияның (FD) қосындысы 
ретінде қарастыруға болады.

263 
Кернеу  мен  деформация  араларындағы  тəуелділіктің 
( )
f
σ
ε
=
 
есептеу формуласын қорыту үшін созылу диаграммасын жеңілдетіп 
көрсету (схемалау) керек. Мысалы, 205-суреттегі ОА аралығындағы 
диаграмма  түзу  сызыққа  өте  жақын  болғандықтан,  кернеу  (
σ
) 
деформацияға  (
ε
)  тура  пропорционалды  деп  қабылдауға  болады 
(Гук заңы). Бұдан кейінгі схемалау диаграмманың түріне жəне белгілі 
бір  есептерді  шешу  тəсілдеріне  байланысты  əр  түрлі  əдістермен 
жүргізіледі. Мысалы:
1)  егер  материалдың  диаграммасында  ағу  шегі 
( ) 
болса 
(азкөміртекті  болаттар),  онда  бұл  диаграмманы  екі  түзу  арқылы 
көрсетуге болады (207-сурет);
2) кейбір кезде, материалдың диаграммасында ағу шегі болмаса 
да (легирленген болаттар), диаграмманы екі түзу арқылы көрсетуге 
болады (208-сурет), егер 
 
 болса, онда 
E
σ
ε
= ⋅
; егер  
 
болса,  онда 
(
)
D
, 
бұл  формуладағы  Е  жəне D - 
түзулердің  бұрыштық  коэффициенттері (D шамасы  Е-ге  қарағанда 
көп аз);
207-сурет
3)  кейбір  материалдардың  диаграммаларында  анық  көрінетін 
серпімділік  аралығы  болмайды  (күйдірілген  мыс).  Бұл  кездегі 
диаграмманы  дəрежелік  тəуелділіктегі  қисық  сызық    арқылы 
көрсетуге болады (209-сурет), яғни 
k
C
ε
σ
= ⋅
. Бұл формуладағы С 
жəне  к  тұрақты  (const)  шамалары  эксперименттен  алынған  қисық 
сызыққа сəйкес қабылданады.
                     
г
ағу

264
                     
 
      
208-сурет                                           209-сурет   
4)  егер  күтілген  деформациялар 
1
0
ε ε
p p
  шекараларында 
жатса, онда диаграмманы екі түзу арқылы (ОА жəне АВ) өрнектеуге 
болады (210-сурет). 
            
 
210-сурет                                           211-сурет
Ал бұл жүйені үлкен деформациялар  шекараларында (
2
0
ε ε
p p
) 
қарастырғымыз келсе, онда диаграмманы келесі екі түзу - ОА жəне 
АС түзулері арқылы өрнектеуге болады.
5)  Біраз  жағдайларда,  серпімді  деформациялар  пластикалық 
деформацияларға  қарағанда  өте  аз  болады,  ондай  жағдайларда 
серпімді  деформацияларды  ескермеуге  болады.  Онда  созылу 
диаграммасын  келесі  екі  түзу - ОА  жəне  АВ  арқылы  өрнектеуге 
болады (211-сурет).
Есте  болатын  жай:  көптеген  жағдайларда  аналитикалық 
жолмен  табылған 
( )
f
σ
ε
=
  тəуелділігінің  орнына  графикалық, 
графоаналитикалық 
немесе 
сандық 
əдістермен 
шешілген 
тəуелділіктер пайдаланылады. 

265 
§2. Cозылып немесе сығылып жұмыс істейтін элементтердегі 
пластикалық деформациялар
Созылып немесе сығылып жұмыс істейтін сырықтар жүйелерінің 
элементтерінің  пластикалық  деформация  кезіндегі  жұмыс  істеу 
ерекшеліктерін түсіну үшін бірнеше мысалдарды қарастырайық.
1-мысал.  Еркін  ілініп  қойылған,  ұзындығы  l  күйдірілген  мыс 
сымының  өз  салмағының  əсерінен  абсолют  ұзаруын  табу  керек 
болсын.  Оның  созылу  диаграммасы 212-суретте  көрсетілген. 
Деформация мен кернеудің тəуелділігі -
k
C
ε
σ
= ⋅
, сонымен қоса, C 
жəне k шамалары берілген деп есептейміз.
Шешуі. Сымның бос шетінен z қашықтықта орналасқан қимадағы 
кернеу - 
,
z
σ γ
= ⋅
  деформация - 
n
n
A
z
ε
γ
= ⋅ ⋅
.  Бұл  жердегі 
γ
– 
мыстың меншікті салмағы.
212-сурет
Ізделіп отырған абсолют ұзару соңғы өрнекті интегралдау арқылы 
табылады, яғни
1
0
1
l
n
n
n
n
l
l
A
z dz
A
n
γ
γ
+
Δ =
⋅ ⋅
= ⋅
+
∫
.
2-мысал. Үш сырықтардан тұратын жүйе тік бағытта əсер ететін 
Р күшімен жүктелген (213,а-сурет). Сырықтардың көлденең қималарының 
аудандары (А) бірдей. Сырықтардағы ішкі күштерді (
1
N
, 
2
N
, 
3
N
) жəне С 
түйінінің орын ауыстыруын (
δ
) екі жағдайда анықтау керек:
1)  берілген  Р  күшінің  əсерінен  туындайтын  деформациялар 
серпімділік шегінен аспайды,
2) деформациялар серпімділік шегінен жоғары, яғни пластикалық 
деформация пайда болады.

266
Шешуі. 
1) Деформациялар серпімділік шегінен аспаған кезде.
Ішкі күштерді табу үшін қималар тəсілін қолданып, С түйінін бөліп 
аламыз  да,  осы  түйіннің  статикалық  тепе-теңдігін  қарастырамыз 
(213,б-сурет). Бұдан
1
3
,
N
N
=
   
1
2
2
cos
.
N
N
P
α
⋅
+
=
                (16.1)
Құрылған  теңдеулер  ішкі  күштерді  табуға  жеткіліксіз,  демек, 
бұл  есеп  статикалық  анықталмайтын  есеп.  Қосымша  теңдеуді 
сырықтардың  деформацияларын (213,в-сурет)  салыстыру  арқылы 
құрамыз.
 
213-сурет
Сырықтардың  деформациялары  серпімділік  шегінде  болған-
дықтан 
α
  бұрышының  өзгеруін  есептемеуге  болады,  сондықтан 
1
 
үшбұрышынан 
1
2
cos .
l
l
α
Δ = Δ ⋅
                                 (16.2)
Осы қосымша теңдеуді ішкі күштер арқылы өрнектегеннен кейін 
үш  теңдеуді (16.1 жəне 16.2) өзара  шешіп  ішкі  күштерді  табамыз. 
Олар
2
1
3
3
cos
1 2 cos
P
N
N
α
α
⋅
=
=
+ ⋅
,    
2
3
1 2 cos
P
N
α
=
+ ⋅
.           (16.3)
213,в-суреттен  көрініп  тұрғандай,  С  түйінінің  орын  ауыстыруы 
екінші сырықтың ұзаруына тең, яғни  

267 
2
2
3
(1 2 cos
)
N l
P l
l
E A
EA
δ
α
⋅
= Δ =
=
⋅
+ ⋅
⋅
.                          (16.4)
2) Пластикалық деформация пайда болған кезде.
Əсер  етуші  Р  күшін  біртіндеп  өсіре  бастаймыз.  Екінші 
сырықтың  қимасындағы  ішкі  күш  ең  үлкен  болғандықтан,  оның 
деформациясы  пластикалық  күйге  алдымен  жетеді.  Бұл  күй 
(пластикалық күй)  
2
N
 
болған кезде орын алады немесе 
 
3
(1 2cos
)
P
A
. 
Бұдан  əрі  ортадағы  (екінші)  сырықтың  кернеуі 
(
) 
  де 
ішкі  күші 
(
) 
  де  тұрақты  болып  қалады,  тек  екі  шеткі 
сырықтардың  ішкі  күштері  ғана  өзгереді,  демек  статикалық 
анықталмайтын жүйе - статикалық анықталатын жүйеге айналады. 
Оларды  табу  үшін  тағы  да  қималар  тəсілін  қолданамыз,  яғни  С 
түйінін  қиып  алып,  оның  статикалық  тепе-теңдігін  қарастырамыз 
(214а-сурет). Бұл тепе-теңдіктен
1
2cos
P
A
N
σ
α
−
⋅
=
                                (16.5)
214-сурет  
Орын ауыстыру 214,б-суреттен табылады:
1
2
3
(
)
cos
2
P
A l
N l
EA
os
. 
                      (16.6)
ағу
ағу
ағу
ағу
ағу
ағу

268
Əсер  етуші  күшті  одан  əрі  өсіргенде  екі  шеткі  сырықтардағы 
кернеулер де ағу шегіне жетеді. Осы күйге сəйкес кернеу (5) өрнектен 
анықталады. Яғни
(1 2cos )
P
A
.  
                                (16.7)
Бұл  кезде  қарастырылып  отырған  жүйе  механизмге  айналады, 
өйткені əсер етуші Р күшін одан əрі өсірсе статикалық тепе-теңдік 
сақталмайды.
Сонымен, бұл жүйеге 16.7 формулада көрсетілген күштен артық 
күшпен əсер етуге болмайды, демек, бұл күшті шектік күш ретінде 
қабылдау керек.
§3. Сырықтың серпінді-пластикалық иілуі
Көлденең қимасының екі симметрия өсі бар, созылу диаграммасы 
мен  сығылу  диаграммасы  бірдей  түзу  сырықтың  пластикалық 
деформация кезіндегі таза иілуін қарастырайық (215-сурет). Мұндай 
сырықтың бейтарап осі сəйкес симметрия осінде жататыны белгілі, 
мысалы х осінде. Кернеу мен деформация арасындағы қатынастың 
аналитикалық түрін қарастырмай-ақ, созылу диаграммасы берілген 
деп есептейміз (216-сурет). 
Сонымен  қоса,  қарастырылып  отырған  сырық  үшін  жазық 
қималар гипотезасын қолдануға болады деп есептейміз,  яғни
1
y
ε
ρ
= ⋅
.                                   (16.8)
 
         
 215-сурет                                                   216-сурет
Бұл жердегі 
1
ρ
 сырықтың қисықтығы, ал у – бейтарап осьтен қарас-
тырылатын қабатқа дейінгі ара – қашықтық (217-сурет). Ию моменті 
ағу

269 
b dy
A
M
y
σ
=
⋅ ⋅ ⋅
∫
.
Ию  моменті  М  берілген  деп  есептеп,  кернеудің  шамасын 
анықтаймыз.  Ол  үшін,  қисықтық  белгілі  деп  есептесек, (16.8) 
формуладан 
max
1
2
h
ε
ρ
= ⋅  . Енді,  қисықтықтың  ию  моментінен 
тəуелділігін графоаналитикалық жолмен анықтауға болады.   
Сырықтың  көлденең  қимасының  қатарына 217-суретте 
көрсетілгендей етіп созылу диаграммасын орналастырамыз.    
217-сурет
Табылған 
max
ε
 шамасына сəйкес А нүктесін созылу диаграммасына 
орналастырамыз.  Қабаттардың  созылуы  қима  бойымен  сызықтық 
түрде өзгеретін болғандықтан 
/
 жəне 
//
 
 нүктелерін түзу сызықпен 
қосып,  деформациялардың  эпюрасын  аламыз.  Одан  əрі,  белгілі 
бір  қабат  үшін  (у)  кернеудің  шамасын  анықтаймыз  (В  нүктесі). 
Осылайша кернеудің эпюрасын да тұрғызуға болады. Тұрғызылған 
графиктің ауданы ию моментін 
(
dy
A
M
y
) 
 береді.
Мысал.  Пластикалық  күйдегі  тік  төртбұрыш  қиманы 
қарастырайық.  Төртбұрыштың  қабырғалары  в  жəне  h  болсын.  Ию 
моменті мен қисықтықтың өрнегін анықтау керек болсын.
Шешуі.  Мұндай  қима  серпімді  жəне  пластикалық  болып,  екі 
аумаққа  бөлінеді.  Бұл  екі  аумақтың  шекарасын  анықтайтын   
шамасы  
dy
A
M
y
  өрнегінен анықталады, яғни
/2
h/2
/2
0
2
y dy 2
y dy
y
h
h
y
M
b
y dy
b
b
. 
ағу
ағу
ағу

270
Серпімді аумақта 
y
E
σ
ρ
= ⋅
 екенін ескере отырып, алынған өрнекті 
интегралдау арқылы ию моментінің өрнегін аламыз.
2
3
2
2
(
)
3
4
E
h
M
b
y
b
y
. 
Аумақтардың шекарасын анықтайтын өрнекті 
(
) 
пайдаланамыз. Сонымен
2
2
3
2
1
4
3
b h
M
b
E
, 
бұл теңдіктен  
3
2
2
1
1
3
1
4
b
E
b h
M
. 

жүктеу/скачать 4,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: