§3. Бұралудағы потенциалдық энергия

284
бұрылады  делік (3,б-  сурет).  Осы  кезде  жиылған  потенциалдық 
энергия бұрау моменттерінің жұмысына тең деп қарауға болады.
1
2
dA dU
M
d
 
Формуладағы  dφ-дің орнына, оның таза бұралудағы мəнін қойсақ 
2
2
M dz
dU
GJ
. 
        
3-сурет
Бұл  теңдіктің  екі  жағын  да  сырықтың  бойымен  интегралдап, 
оның потенциалдық энергиясын аламыз.
2
2
M
dz
U
G J
.   
                          (1.6)
Егер  сырық  бойындағы  момент  тұрақты  болса,  онда  қатаңдық 
тұрақты кезде бұл формула төмендегіше жазылады.
2
2
M
U
G J
    
    
                        (1.7)
§4. Таза иілудегі потенциялдық энергия 
Жүктемені  жайлап,  біртіндеп  өсірген  кезде,  қималардың  орын 
ауыстыру  жылдамдыгы  өте  аз  болады.  Сондықтан  кинетикалық 
энергияны  ескермей  (
0
K
=
),  потенциалдық  энергияны  істелген 
жұмысқа тең деп қарастыруға болады, яғни

285 
u
U W
=
.                                        (1.8)
Ұзындығы dz элемент таза иілгенде істелетін жұмыс, моменттің 
əсерінен, оның қималарының өзара бұрылу бұрышына байланысты. 
Сондықтан
1
2
u
dU
dW
M d
θ
=
=
⋅
.                       (1.8)
Таза иілудегі деформацияланған күйден 
1
d
dz
θ
ρ
=
.                                      (1.9)
Таза  иiлудегi  қисықтықты  ескере  отырып  (
1
x
M
EJ
ρ
=
),  потен-
циалдық энергияның өрнегiн аламыз.
2
2
x
M dz
dU
EJ
=
      немесе     
2
2
è
x
M dz
U
EJ
=
∫
l
.                   (1.10)
Ұзындығы 
l
, қатаңдығы     
x
EJ
onst
 
арқалық үшiн
2
2
x
M
U
EJ
. 
                                    (1.11)
§5. Көлденең иілудегі потенциялдық энергия 
Көлденең иілуде екі ішкі күш (Q жəне М
х
) пайда болатындықтан, 
потенциалдық  энергияны  осы  екі  күштен  жеке-жеке  тауып 
(серпімділік шек ғана қаралатын болғандықтан), толық потенциалдық 
энергияны солардың қосындысы ретінде анықтаймыз.
Ию  моментінен  пайда  болатын  потенциалдық  энергия  бұдан 
бұрын табылған болатын.
( )
2
2
x
x
x
M dz
U M
EJ
=
∫
.                                  (1.12)
Енді, көлденең күштен пайда болатын потенциалдық энергияны, 
яғни 
Q
U
-ды  анықтау  үшін,  ауданы 
dA
  ұзындығы dz элементар 
призманы алып қарайық (4-сурет).
Элементар призманың потенциалдық энергиясы 
0
u dA dz
⋅
⋅
 өрнегі 
арқылы  табылады.  Бұл  жердегі 
0
u
-  ысырылудағы  меншікті  энергия 
2
0
2
u
G
τ
=
. Сонымен, элементар призманың потенциалдық энергиясы:

286
2
2
y
d dz
G
.  
                                  (1.13)
4-сурет
Жанама кернеуді Журавский формуласы арқылы алмастырсақ
( )
2
*
2
2
2
2
2
2
x
y
Qy
y
x
y
A
S
dz
dU
Q
dA
G
G
I b
τ
=
=
⋅
∫
∫
.                (1.14)
Өлшемсiз  шаманы 
( )
2
*
2
2
(
)
x
x
y
S
A
dA
J
b
∫
  коэффициент  ретiнде 
қабылдаймыз, яғни 
( )
2
*
2
2
x
y
x
y
A
S
A
k
dA
J
b
=
∫
.                          (1.15)
Сонымен  
2
2
y
Qy
y
Q dz
dU
k
G A
=
⋅
      немесе     
2
2
y
Qy
y
Q dz
U
k
GA
=
∫
.         (1.16)
Осы секiлдi,       
2
2
x
Qx
x
F
Q dz
U
k
GA
=
∫
.                                                 (1.17)
Мұндағы    
( )
2
*
2
2
y
x
y
x
A
S
A
k
dA
J
b
=
∫
.                                                       (1.18)

287 
x
k
 жəне 
y
k
 қиманың пішініне ғана тəуелді коэффицент, мысалы: 
-  тік төртбұрышты қима үшін     
1, 2
x
y
k
k
=
=
,
-  тұтас дөңгелек қима үшін 
10
9
x
y
k
k
=
=
,
-  қалыңдығы жұқа сақина тəрізді қима үшін 
2
k
=
.
§5.  Күрделі  жүктелген  сырықтың  потнциалдық  энергиясы 
туралы 
Жоғарыда,  əр  жүктеме  үшін  (созылу,  сығылу,  иілу  жəне  т.б.), 
элементтегі  потенциалдық  энергияның  формулалары  табылған 
болатын. Күрделі жүктеме кезінде, яғни, қимада барлық ішкі күштер 
(
,
,
,
,
,
x
y
x
y
N Q Q M M M
) 
  пайда  болған  кезде  де  Гук  заңын 
қолдансақ, онда толық потенциалдық энергияны сол энергиялардың 
жиыны ретінде қарастыруға болады. Демек
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
x
y
x
y
dU dU N
dU Q
dU Q
dU M
dU M
dU M
. 
Əрбір  ішкі  күштерден  туындайтын  элементар  потенциалдық 
энергияның формулаларын соңғы өрнекке қойсақ
2
2
2
2
2
2
.
2
2
2
2
2
2
y
y
x
x
x
y
x
y
Q dz
M dz M
dz
Q dz
M dz
N dz
dU
k
k
EA
GA
GA
EI
EI
EI
 
Бұл өрнектегі 
x
k
, 
y
k
 - коэффициенттері қиманың геометриялық 
түріне  тəуелді  шамалар  екенін  бұрын  айтқанбыз.  Толық 
потенциалдық  энергияны  табу  үшін  алынған  өрнекті  ұзындық 
бойынша интегралдаса болғаны. Мысалы:
2
2
2
2
2
2
.
2
2
2
2
2
2
y
y
x
x
x
y
x
y
l
l
l
l
l
l
Q dz
M dz
M
dz
Q dz
M dz
N dz
U
k
k
EA
GA
GA
EI
EI
EI
 

288
II. ОРЫН АУЫСТЫРУДЫ АНЫҚТАУДЫҢ 
ЖАЛПЫ ƏДІСТЕРІ 
(Энергетикалық тəсілдер)
Сырықтар  созылғандағы  немесе  сығылғандағы,  бұрылғандағы 
жəне  иілгендегі  олардың  қималарының  орын  ауыстыруларын 
анықтау  тəсілдері  қарастырылған  болатын.  Ендігі  мақсат – 
сырықтың,  арқалықтың  немесе  біліктің,  қорыта  айтқанда,  кез 
келген  конструкциялардың,  олардың  элементтерінің  қималарының 
орын  ауыстыруларын  күрделі  жүктелген  кезде  қалай  анықтауға 
болатынын зерттеу. Мұндай зерттеулердің нəтижесінде қималардың 
орын  ауыстыруы  ғана  табылып  қоймайды,  сонымен  қатар, 
статикалық  анықталмайтын  жүйелердің  ішкі  күштерін  табу 
тəсілдері  қорытылады.  Осының  бəрі  сырықтардың  потенциалдық 
энергиясының көмегімен орындалады.
§1. Кастилиано теоремасы 
 Алдымен Кастилиано теоремасын тұжырымдайық. Ол теорема: 
күш  əсер  етіп  тұрған  нүктенің  орын  ауыстыруы,  жүйенің 
потенциалдық энергиясының сол күш бойынша алынған бірінші 
дербес туындысына тең, яғни
p
U
P
δ
∂
=
∂
.                                      (1.19)
Кез келген күштер жүйесімен жүктеліп, статикалық тепе-теңдік 
күйде тұрған денені қарастырайық (5-сурет).
5-сурет  

289 
Мұндай жағдайда, сыртқы күштер əсерінен денеде потенциалдық 
энергия пайда болатыны белгілі. Ол энергияны  U  деп белгілейік. 
Бір  күшті,  мысалы, 
n
P
    күшін 
n
dP
  элементар  шамасына  өсірейік.  
Бұл кезде потенциалдық энергия  
n
U
P
∂
∂
n
P
∂
 шамасына өзгереді,  яғни 
n
U
U
P
∂
+
∂
n
dP
.
Енді  сыртқы  күштердің  денеге  əсер  ету  кезегін  өзгертейік. 
Алдымен  денеге 
n
dP
    күші  əсер  етсін.  Бұл  күш  əсер  етіп  тұрған 
нүктенің  орын  ауыстыруы  да,  осы  элементар  күш  секілді  аз  шама 
болады.  Оның 
n
dP
  күшінің  бағытына  проекциясын 
n
d
δ
  деп 
белгілейік.  Сонда  потенциалдық  энергия 
1
2
n
dP
n
d
δ
  шамасына 
тең болады. Бұдан кейін қалған 
n
 күштерді денеге түсірейік. Егер 
n
dP
 күші болмаса, онда потенциалдық энергия 
U
болар еді. Бірақ, 
денеге 
n
dP
 күші бұрыннан əсер етіп тұрғандықтан, осы күштің орын 
ауыстыру  нəтижесінде,  тағы  бір  қосымша  энергия  пайда  болады. 
Элементар  күш  түсіп  тұрған  нүкте 
n
  сыртқы  күштердің  əсерінен  
n
δ
  орын  ауыстыруын  алатын  болғандықтан,  жоғарыда  аталған 
қосымша энергия   
n
dP
n
δ
 шамасына тең болады. Сонымен 
U
+
n
dP
×
n
δ
+
1
2
n
dP
×
n
d
δ
                            (1.20)
Енді (1.19) жəне (1.20) өрнектерді  теңестіреміз  де, 
1
2
n
dP
 
n
d
δ
 
шамасын жоғарғы дəрежедегі аз шама ретінде eскерусіз қалдырамыз. 
Сонда
n
U
U
P
∂
+
∂
n
dP
=
U
+
n
dP
n
δ
,
бұдан
n
δ
=
n
U
P
∂
∂
.                                          (1.21)
Сонымен, Кастилиано теоремасы дəлелденді. 
Теореманы  қорытқан  кезде,  денеге  əсер  етіп  тұрған  күштердің 
19–661

290
қандай күштер екенін, қадалған күш пе, момент пе, əлде басқадай 
күш  пе  оны  даралап  көрсеткен  жоқпыз.  Сондықтан,  оларды  кез 
келген,  жалпылама  күштер  деп  түсіну  керек.  Демек,  табылатын 
орын ауыстырулар да -  кез келген орын ауыстырулар, тек сыртқы 
күштердің түріне байланысты. Осы теореманы қолдануға мысалдар 
қарастырайық. 
1-есеп.  Ұзындығы 
l
,  қатаңдығы  тұрақты  (
EI
const
=
) 
арқалықтың бір ұшына 
P
 күші əсер етсін (6,а-сурет). 
Бұл кезде, 
P
 күшінің əсерінен арқалық иіледі, оның қималарында 
ию моменті жəне көлденең күш пайда болады. Күш түсіп тұрған 
A
 
қимасының орын ауыстыруын табу керек болсын болсын. 
6-сурет   
Тəжірибелердің  көрсетуіне  қарағанда,  иілу  кезінде,  орын 
ауыстыруға  көлденең  күштің  əсері  тым  аз.  Сондықтан,  тек  ию 
моментін ескереміз. Ию моментінің потенциалдық энергиясы: 
( )
2
2
l
M z
U
dz
EI
⎡
⎤
⎣
⎦
=
∫
Ию моментін табу үшін қималар тəсілін қолданамыз (6,б-сурет).  
( )
M z
P z
= − ⋅
.               
Потенциялдық энергия:
(
)
2
0
2
l
P z dz
U
EI
− ⋅
=
∫
=
2 3
6
P l
EI
⋅
.
Кастилиано теоремасы бойынша,
3
3
A
U
Pl
P
EI
δ
∂
=
=
∂
.
2-есеп.  Қатаңдығы  тұрақты  білік,  А  қимасында 
m
  бұрау 

291 
моментімен  жүктелген (7,а-сурет).  Бұрау  кезіндегі  потенциалдық 
энергия
2
2
p
l
M dz
U
GI
. 
 
7-сурет
Қималар тəсілін қолданып, М
б
 моментін табамыз (7,б-сурет).
M
=
( )
M z
m
Сонда    
2 2
2
k
m l
U
GI
. 
Кастилиано теоремасынан
.
§2. Мор интегралы  
Кастилиано теоремасының үлкен кемшілігі – оның көмегімен тек 
күш түсіп тұрған нүктенің орын ауыстыруы ғана табылады. Оның 
өзі де толық орын ауыстыру емес, орын ауыстырудың күш бағытына 
проекциясы  ғана.  Тəжірибеде  кез  келген  нүктенің  кез  келген 
бағыттағы орын ауыстыруын табу қажет болады.
Осыған  байланысты,  күштер  жүйесі  əсер  етіп,  статикалық  тепе 
теңдікте  тұрған,  мына  бір  жүйені  қарастырайық (8,а-сурет).  Осы 
жүйенің А нүктесінің х бағытындағы орын ауыстыруын табу керек 
болсын.

292
8-сурет
Кастилиано теоремасын қолдану үшін, ол нүктеде х бағытында 
əсер  етіп  тұрған  күш  болу  керек.  Ондай  күш  болмағандықтан  біз 
өзіміз,  ойдан  керек  күшті,  мысалы  Ф  күшін  түсіреміз (8,б-сурет). 
Енді, шындығында жоқ Ф күші жүйенің   потенциалдық энергиясына 
қалай əсер ететінін зерттеп көрейік.
Потенциалдық  энергия  ішкі  күштерге  тəуелді,  сондықтан  ішкі 
күштердің  өзгеруіне  зер  салайық.  Берілген  сыртқы  күштердің 
əсерінен (Ф  күшінсіз) пайда болатын жүйенің қималарындағы ішкі 
күштерді   
,
,
,
,
,
p
xp
yp
xp
yp
N Q Q M M
M
 
деп белгілейік. Ойдан қосылған 
Ф күшінен пайда болатын қосымша ішкі күштерді  
N , Q , Q ,... 
 
деп белгілесек, толық ішкі күштер төмендегіше көрсетіледі
N
P
+N ,   Q +Q ,  Q +Q ,   M +M ,   M +M ,  M +M . (1.22)
Сонымен қатар, Ф күшінен пайда болатын қосымша ішкі күштер, 
осы Ф күшіне пропорционал болатыны да дау туғызбайды. 
Сондықтан
1
1
1
1
,
,
,
....
x
x
y
y
N
N
Q
Q
Q
Q
M
M
  
  (1.23)
Бұл  жердегі  N
1
, Q
x1
, Q
y1
,…  қарастырылып  отырған  қиманың                                                                                                          
жүйедегі  орнына  тəуелді  пропорционалдық  коэффициенттер.  Бұл 
коэффициенттердің  негізін  түсіну  үшін  берілген  сыртқы  күштер 
жүйесін алып тастап, Ф  күшін бірге тең деп алса болғаны.
Ол кезде
   
1
,
p
N
N
  
1
1
,....
xp
x
yp
Y
Q
Q
M
M
 
 
                        
(1.24)
Демек, N
1
, Q
х1
, Q
у1
, M
б1
, M
х1
 жəне M
у1
 орын ауыстыруы анықталып 
отырған нүктеге (А) ізделіп отырған бағытта (х—х) əсер етуші, бірге 
тең күштен пайда болатын ішкі күштер.

293 
Берілген  күштер  жəне  Ф  күшінен  жинақталатын  потенциялдық 
энергияны табайық 
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
p
x
xp
x
y
yp
x
xp
xi
k
x
e
e
e
e
e
N
N
K Q
Q
dF
K Q
Q
dz
M
M
M
M
dz
U
dz
E
G
G
GI
EI
          
(1.25)
2
1
2
yp
y
y
e
M
N
dz
EI
. 
Орын  ауыстыруы  ізделіп  отырған  нүктеде  Ф  күші  əсер 
етіп  тұрғандықтан,  потенциалдық  энергияны  Ф  күші  арқылы 
дифференциалдаймыз.
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
(2
2
)
.
2
2
2
x
xp x
xi
y
yp
y
y
p
A
e
e
e
K
Q Q
Q
dz
K
Q Q
Q
dz
N N
N
dz
U
E
G
G
 
Есептің берілімінде Ф күші болмағандықтан, оны нөлге тең деп 
аламыз. Сол кезде
    
1
1
1
1
1
1
.
p
x
xp
x
y
yp
y
A
e
e
e
xp
x
yp
y
k
x
y
e
e
e
N N dz
K Q Q dz
K Q Q dz
E
G
G
M M dz
M M dz
M M dz
GI
EI
EI
 
         (1.26)
Бұл интегралдар Мор интегралдары деп аталады.
1-есеп.  Үзындығы 
l
,  қатаңдығы  тұрақты  (
EI
const
=
) 
арқалықтың  бір  ұшына,  яғни  оң  жақ  шеткі  қимасына  Р  күші  əсер 
етсін (9,а-сурет).
9-сурет  

294
Күш  əсер  етіп  тұрған  нүктенің  орын  ауыстыруын  табу  керек 
болсын. Ол үшін Мор интегралын қолданамыз. Қималар тəсілімен 
ішкі күштерді табамыз. 9,б суретінен ішкі күштің – ию моментінің 
теңдеуін аламыз  
,
.
x
y
M
Pz
Q
P
= −
=
Енді  сыртқы  күшті  (Р)  алып  тастап,  қарастырылып  отырған 
арқалықты бірлік күшпен жүктейміз (10-сурет).
10-сурет
Бірлік күштен пайда болатын ішкі күштерді табамыз. Олар
1
1,
y
Q
=
1
x
M
z
= −
.
Ішкі күштердің мəндерін Мор интегралдарына қоямыз
3
0
0
1
(
)( )
3
l
l
y
x
P
dz
Pz
z dz
l
P l
EI
G
EI
G
. 
Бұл  теңдіктегі  екінші  мүше – 
P l
G
 
біріншіге  қарағанда 
əлдеқайда аз болғандықтан, оны елемеуге болады. Сонда 
3
3
Pl
EI
δ =
 – 
яғни, өткен параграфтағы нəтиже алынды.
2-есеп.  Қатаңдығы  тұрақты  (ЕJ=сonst)  конструкцияның  А 
қимаcының  z  бағытындағы  орын  ауыстыруын  табу  керек  болсын 
(11,а-сурет).  Бірінші  есепте  көрсетілгендей,  иілу  кезіндегі  орын 
ауыстыру  мəні,  негізінен,  ию  моментіне  байланысты  болады. 
Сондықтан, есепті шешкен кезде, тек ию моментін ескереміз.

295 
1
px
x
A
x
l
M M
dz
EI
δ =
∫
.
11-сурет
Қаралып  отырған  конструкция  екі  аралықтан  тұрады:  осі  түзу 
аралық АВ   жəне шеңбердің төрттен бірінен тұратын ВС аралығы. 
Осы екі аралық үшін, берілген күштен пайда болатын ию моменттерін 
табамыз.  Олар:  АВ  аралығында 
,
px
M
Pz BC
=
,  ВС  аралығында 
(1 sin )
px
M
PR
φ
=
+
. 
Енді  сыртқы  күшті  алып  тастап,  конструкцияны  бірлік  күшпен 
жүктейміз (11,б-сурет). Бірлік күш  А қимасына z осінің бағытына 
түсіріледі. Бұл күштен пайда болатын ішкі күштерді табамыз. Олар 
–  АВ  аралығында 
1
0,
x
M
=
  ал  ВС  аралығында 
1
(1 cos )
x
M
R
φ
= −
−
.  Бірлік  күштің  бағыты,  қаралып  отырған  қиманың  қай  бағытта 
жылжитынын  көрсетеді.  Бұл  есепте  А  қимасы  оңға  қарай  орын 
ауыстырады деп есептеліп отыр. Егер бұл болжам дұрыс болса, онда 
есептің жауабы оң таңбамен шығады. Егер шешімнің таңбасы теріс 
болса, онда қима қарама-қарсы жаққа жылжиды.
Алынған моменттерді Мор  интегралына қоямыз. Интегралдағы 
dz Rd
φ
=
 болғандықтан
(
)(
)
2
0
1
1
A
Sin
Cos d
π
δ
φ
φ φ
=
+
−
∫
.
Интегралды алғаннан кейін
 
3
1,07
A
PR
EI
δ = −
.

296
Бұл  жердегі  минус  таңбасы  А  қимасы  оңға  емес  (жоғарыда 
көрсетілгендей), солға қарай орын ауыстыратынын көрсетеді.

жүктеу/скачать 4,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: