§69. Ферми-Дирак таралулары

()сыдан

f(W  + £) 

P(£) 

-s,kT

— -------------------------------

=

--------

= e

 

(69 3)

l - f ( W  + e) 

f ( W)

 

p(0)

(Г)із атом қоспасының 0  жэне 

е

  деңгейлерінде болу ықтималдықтары 

І>ольцманның таралу заңына бағынады деп есептедік).

(69.3) ф ункциялық тендеуі кез келген 

Т

  температурасында орын­

далуы керек. Демек,  бүл біз мынаны қойған жагдайда орындалады

[ 1 -

f ( W ) ] /  f ( W )   = е

^

)/кт，

 

（

69.4)

мүндағы 

/а

 — шамасы 

W

 — ден тәуелсіз.  Олай болса

f ( W  + s)  _ ^ [ iW+E)^] /kT

Кез келген температурада бұл екі өрнектің көбейтіндісі 

е~£/кт

  шама­

сына тең болады

(69.4) тендеуін 

f ( W )

 бойынша шешіп,  әр түрлі энергиялық дең-

і ейлер бойынша,  электрондардьщ таралу функциясыньщ ѳрнегін ала­

мыз. Сонда

F  

/ (

灰

) —

^(W-n)/kT

  .

丄

• 

(69.5)

Ііүл өрнекті Ферми-Дирактың таралу функциясы деп атайды.  М үндағы  

параметрінің аты хиіѵшяльщ потенциал болады.

(69.5)  функциясыньщ  мазмүнына  сәйкесті 

f ( W t)

  шамасы, 

Wt 

энергиялы  күйдегі  ( 

п

і 〉электрондарыньщ орташа  санын  көрсетеді. 

Сондықтан (69.5) өрнегіне мынадай түр беруге болады

I  

卜, 〉

- ехр[0У,  - ；

и

) / А

: Г

] +

1

(69.6)

(фонондар тѵоалытақырыптағы (ь/.З) ѳрнепмен салыстырыңыз).

(69.6)  таралуларыньщ  негізі  Ферми-Дирак  статистикасында  ж а­

тыр.  Бүл статистикаға бағынатын бөлшектерді фермиондар деп атай­

ды.  Олардың қатарына спиндері жарты  болатын  барлық бөлшектер 

жатады.

373

Фермиондардың ерекшелігі мынада: олар бір ғана бөлшегі бар к ү іі 

болса да, сол күйге көшпейді. Сөйтіп, фермиондардың “ оңашаланган” 

бөлшек  екені  байқалады.  М үнда  еске  сала  кететін  жағдай,  мысалы, 

бозондар “ бірлікшіл，

，

болып келеді (фонондар тақырыбьш, § 67-ні қара- 

ңыз). (69.6) өрнегіндегі 

ß

  параметрінің өлшемі энергияньщ  өлшеміндей 

болғандықтан оны көбіне 

WF  —

 пен ауыстырады. Демек, бүны Ферми 

деңгейі не Ферми энергиясы деп атайды. Осы белгілеулерден кейін (69.5) 

функциясы, мына түрге келеді

e x p [(W -W F ) / k T ] + l '

 

(69.7)

(69.7) функциясын зерттейік.  Егер абсалют нѳлде 

W

  ( 

WF

  болса, 

онда 

f ( W

) = 1 , егер 

W  ) W F

  болса,  онда 

f ( W )  =

 0 .

Сонымен 

О К

  температурада 

WF

  ферми деңгейі электрондармен 

толған  жоғарғы 

WF

 (0) деңгейімен  сэйкес  келеді  (өткен  параграфты 

қараңыз).

Температураның  мөніне  байланыссыз 

W  = WF

 болганда 

f ( W )  

ф ункциясы  1/ 2 -ге тең болады. Демек,  Ферми деңгейі толу ықтимал- 

дығы жартыға тең болатын энергиялық деңгеймен сэйкес келеді.

Электрондардьщ деңгейлерді толтыратын толық саны кристалдағы 

еркін  электрондардьщ 

пѴ

  санына  тен,  болуы  керек деген  шарттан, 

WF  -

 тің  мәнін анықтауға болады  ( мұндағы 

n -

 электрондардьщ ты- 

ғыздығы, 

у  —

 кристаддьщ кѳлемі.) Энергияньщ 

интервалына келетін 

күйдің  саны 

ど

(W ) 

dW

 -ге  тең,  мүндағы  ^ (Ѵ ^ )-к у й д іц   тығыздығы. 

Бұл күйлер жылулық тепе-теңдік жагдайда болғанда, ондағы электрон- 

дардың ортаиш саны 

f(W ) g(W)dW

өрнегімен анықталады. Осы өрнектің 

интегралы кристалдағы еркін электрондардьщ толық санын береді

/ Л Ю  

g ( W ) d W = n V   _

 

(69.8)

о

Бүл қатынас,  ш ы н мәнінде, 

f ( W )

 функциясын мөлшерлеу шарты бо­

лып табылады.

(69.8)-ге (68.9) жэне (69.7) ѳрнекгерін қойғанда алатынымыз, м ы­

надай тендеу болады

^   ѵ  (2 m )3/2  7  ______

W l/2dW

 

一

 

т/

(2 я  

Пү

  ]  

o x p [(W -W F) / k T ] + l   ~

 

• 

(69.9)

Бүл  қатынас 

WF

  - т і  

T

  жэне 

n

 — н ің   ф ункциясы  ретінде  табуға

374

м үм кін д ік  береді.  (69.9)  өрнегінен  интеграл  алынбайды.  Есептеуде 

k T

 (( 

WF

 шарты  оры ндалғанда,  интегралдың  ж у ы қ   м ән ін   табуға

м үм кіндік болады. Соның нәтижесінде, Ферми деңгейі үш ін  мынадай 

орнек алынады

( 0 ) 1 -

п

12

к Т

(0)

(69.10)

(WF

 (0) -д ің  

п —

 нен тәуелділігін еске саламыз; қараңыз: 68.10).

(69.10) 

тендеуінен  келіп  шығатыны  төменгі  температурада  (осы 

жағдай үш ін  ғана бүл өрнек дүрыс болады) Ферми деңгейі одан тәуелді 

болғанымен, ол тәуелділік өте нашар болады.  Сондықтан да, көптеген 

жағдайларда 

WF

  = W V (0 )  деп  есептеу  керек.  Алайда,  мысалы, 

те р м о эл е ктр л ік  құб ы л ы стар д а ғы  

WF  —

 тің 

Т

  температурадан

төуелділігін  түсін уд ің   п р и н ц и п т ік  

.

 

маңызы  бар  (Зеебек，Пельтье  және 

Томпсон қүбылыстары).

Абсолют нөлден айрықша темпе­

ратурада,  (69.7)  ф у н кц и я с ы н ь щ  

графигі 69.2-суретіңце көрсетілгендей 

^   түрде болады. Үлкен энергиялар үш ін

69.2 

(яғни 

W - W F  »  к Т

 

таралу

қи с ы қт ы ғы   “ қү й р ы ғы н ы ң ”   айма- 

ғында орындалатын)  ф ункцияның бөліміндегі бірлікті ескермей тас- 

тауға болады.  Сонда әр түрлі энергиялы күйлер бойынша,  электрон­

дардьщ таралуының түрі төмендегідей болады

f ( W )  =

 е х р [- 

( W - W F) / k T ] =

=

co n st

. e x p (-W  

/ к Т ) ,

0

(69.11)

яғни бүл Больцманның таралу функциясына көш у болады.

Электрон газының мінезі 

WF

  /  

к

 -ға тең кристалл температурасы 

жэне Ферми температурасы арасындағы қатынасқа өте күш ті дәрежедегі 

тоуелділікте болады.  Е кі ш екті жағдайлар болатындыгы анықталады:

1 .

ҺТ «  WF

  .Бүл жағдайда электрондық газазғыңдаған деп атала­

ды.

375

2. 

k T  »  WF

  Бүл  жагдайда  электрондық  газ  азғындалмаган  деп 

аталады.

Ѳткен параграфта біз металдар үш ін Ферми температурасы бірнеше 

ондаған  мың  кельвин  болады  дегенбіз.  С онды қтан  металдың  балқу 

температурасына  (

〜

103 

尤

) ж а қы н  температурада,  металдағы элект­

р он д ы к  газ  азғындаған  болады.  Соған  сәйкесті 

WF

  аз  болады 

(W F 

жуықтағанда 

п 2/3

 -не пропорционал;  (69.10) жэне  (68.10)  өрнектерін 

қараңыз). Демек,  бөлме температурасы жағдайында, көптеген жарты­

лай өткізгіштердегі электрондық газ азғындалмаған болады жэне олар 

классикалық статистикаға бағынады.

70.1 

70.2

Зоналардьщ пайда болуын түсіну үш ін атомдардьщ кристалға бірігу 

процесін көз алдымызға келтірейік. Айталы қ,  әуелде кез келген зат­

тьщ 

N

  жекеленген  атомдары  бар  болсын.  Атомдар  б ір -б ір ін е н  

жекеленіп түрғанда,  олардын, энергиялы қ деңгейлерінің схемалары 

толығымен дәл келеді. Атомдар бір-біріне жақындаған сайын,  олар­

дын,  арасындағы  өзара  эсерлесулер  күш ейе  түседі  де,  деңгейлердің 

жағдайын өзгертуге өкеліп соғады. Деңгейлері бірдей 

N

  атомдардың 

орнына,  бір-біріне ѳте ж ақы н, бірақ дәл келмейтін 

N

  деңгейлер пай­

да болады.  Сонымен,  кристалдағы жекеленген атомның әрбір деңгейі 

7Ѵ ж и і орналасқан деңгейлерге жіктеледі,  соның нәтижесінде жолақ 

немесе зона түзіледі.

Қ А Т Т Ы  Д Е Н Е Л Е Р Д ІҢ  З О Н А Л Ы Қ  ТЕО РИ Я С Ы  

§ 70.  Кристаддың энергаялық зоналары

Біз  68-параграфта  кристалдағы  е р кін   электрондарға  ж а қы н  

валенттік электрондардьщ энергиясы квазиүздіксіз ѳзгеретінін анықта- 

дық.  Бүл  мәні  рүқсат  етілген  энергияньщ  спектрі  көптеген  ж а қы н  

орналасқан дискретгі деңгейлерден түратыньш көрсетеді. Ш ы н  мәнісіңде 

кристаддьщ валенттік электрондары еркін қозғалып жүрмейді. Оларға 

тордын,  ѳрісі  периодты  түрде  эсер  етеді.  Бүл  жағдай  валенттік 

электрондардьщ энергиясыньщ м үм кін  деген м әнінің спекгрі бір қатар 

ауысьт отыратын рұқсат етілген және тиым салынған зоналарға жікгеледі 

деген  пікірге  келтіреді  (70.1-сурет).  Рүқсат  етілген  зоналар  шегінде 

энергия  квази  үздіксіз  өзгереді.  Ал  тиым  салынған  зоналарға  тиісті 

энергияның мәндері іске асырылмай қалады.

X I I I   Т а р а у

г2  П

s

o

n

 

X

S

X

2

S

U

т

х

о ^

 

н

ф

」

5

1

ә

 

卜

 в

о

у

-

л

о.

377

Әр түрлі деңгей үш ін  жікгелу шамасы бірдей болмайды. Атомдар­

дьщ сыртқы электрондармен толған деңгейлерінде ауытқуы күш ті бай- 

қалады.  Іш к і электрондармен толған деңгейлерде ауытқулар шамалы 

болады. 70.2-суретінде деңгейлердің жіктелуі атомдардьщ ара қа ш ы қ- 

ты ғы  

r

 

-ДІҢ 

функциясы түрінде көрсетілген. Бүл схемадан кристаддьщ 

іш к і электрондармен толған деңгейлерінің ж іктелуі аз екендігі көрініп 

түр.  Тек  валенттік  электрондармен  толған  деңгейлердің жіктелулері 

ғана аны қ байқалады.  М үндай жіктелулерге атомның негізгі күйінде 

электрондар орналаспаған жоғары деңгейлері де үшырайды.  Кристал- 

дағы көрш і атомдардың арасындағы тепе-теңцік қаш ы қты қтары ны ң

атомдардың нақты  қасиеттерінен тәуелділігі не 

гх

  түріне,  не  г, түріне

байланысты болуы м үм кін (70.2-сурет). Атомның көрш і деңгейлерінен

пайда болған, рүқсат етілген 

гх

  түріндегі зоналардың аралығында, тиым

салынған (рұқсат етілмеген) зоналар болады.  Суреттегі  г2түріндегі қа-

ш ы қты қта зоналардьщ бірін-бірі жабуы байқалады.  Мүндай араласып 

кеткен  зоналардьщ  деңгейлерінің  саны,  атомның  е кі  деңгейінің 

жіктелгеніндегі деңгейлердің санының қосындысына тең болады.

Энергия деңгейлерінің зоналық қүрылымы периодты күш  өрісінде 

қозғалатын  электрон  ү ш ін   тікелей  Ш редингер  теңдеуінің  шешуінен 

алынады.  Бүл өріс кристалдық тор арқылы жасалады.  Тордың өрісін 

ескеретін Шредингер тендеуінің түрі мынадай болады

(а,  в,  с- 

x, 

у, z

 

ө с т е р і  б о й ы н д а ғы   т о р д ы ң   п е р и о д т а р ы ). 

Блохтың дәледцеуі бойынша, потенциалы периодты болатын Ш редин­

гер тендеуінің шешуін мына түрде жазады

im

мүндағы 

j j

  -функциясыньщ мынадай қасиеттері бар:

U( x + a, y , z )  = U(x,  y , z ) ,  

U ( x , y  + e , z )  = U { x , y , z ) ,  

U ( x , y , z  + c) = U ( x , y , z )

yrk 

ニ

 u k(rk) e ikr,

(70.1)

378

мұндағы 

ик

 ( r )  -  потенциалының периодтылығы бар  функция,  яғни 

тордың  периодтылығының  функциясы.  (70.1)  тендеуінің  шешулерін 

Блохтың функцияларьщеп атайды.  Олардың (68.2) тендеуінен айры қ- 

шалығы өздерінің  м

ん（厂）

периодтықкөбейткішініңбарлығыменболады.

70.3 

70.4

Е ркін электрондарға жақындаған сайын электронньщ энергиясы­

ньщ толқы и ды қ санынан  (толқы нды қ  вектор  модулінен)  тәуелділігі 

70.3-суретінде көрсетілген графикпен суреттеледі. Энергияның мәндері 

бір ізді квазиүздіксіз болады. Демек,  W (/：

) -н ің  графигі дисіфетті нүкте- 

лерден түрады. Алайда, бүл нүктелер өте ж и і орналасқандықтан, біз ол 

нүктелерге қарағанда, түтас қи с ы ққ а  үласқанын көреміз.

Өріс периодты болған жагдайда, 

W

 

一

 н ің  

k -

 дан тәуелділігі 70.4- 

суретіндегідей болады. Суретке қараганда,түтас сызықтармен кескінделген 

квазиүздіксіз өзгеретін энергияньщ зоналары (рұқсат етілген зоналар) 

тиым  салынған  зоналармен  алмасып  отыратындығы  көрінеді.  Әрбір 

рұқсат етілген зона ж ақы н орналасқан дискретті деңгейлерден түрады. 

Олардын, саны кристалл үлгідегі атомдар санына тең.

Қарастырылатын 

た

-кеңістік аймағьшың ішінде, кристаддьщ элек- 

трондарының энергиясыньщ квазиүздіксіз өзгеруін, Бриллюэна зона­

сы дейді. Зона шекараларында энергия үзіліске үшырайды.  70.4-суреті 

бір  өлшемді  кристалл  болған  жағдайдағы  Бриллю эн  зоналарын 

бейнелейді. Ү ш  өлшемді кристалдар үш ін Бриллюэн зоналарының ше- 

каралары түйы қ, кө п  қырлы бет болады.  Олар бірінің іш іне бірі қама- 

лады. 

\ү

 — н ің  тиісті м әні 

WF

 -ке тең болғанда, 

k —

 кеңістіктегі (неме­

се 

р -

 кеңістіктегі) изоэлектрондық бетті Ферми беті деп атағанымыз- 

ды еске салайық (68-ші параграфты қараңыз).  Е ркін электрондар жағ-

379

дайында бүл бет сфера түрінде болады.  Металдың өткізгіш тігінің элек­

трондары ү ш ін  бетінің п іш ін і кристалдық тордың қасиетінен тәуелді 

және түрі күрделі, кейде таңқаларлық болады.  Бірқатар металдар үш ін 

Ферми  бетінің  п іш ін і  тәжірибе  жүзінде  өте  улкен  дәлдікпен  ан ы қ- 

талады.

Ферми беті металдың ең маңызды сипаттамасы болып табылады. 

Бүл беттің п іш ін і, 

WF

  энергиясына ж а қы н  энергиясы бар, электрон­

дардьщ қозғалыс сипатын анықтайды.  Электрондардьщ қозғалыс си­

паты, осыған үқсас магнит өрісінің металға әсері кезінде байқалатын, 

әр түрлі қүбылыстардың физикасын анықтайды.

Сонымен,  кристалдағы  валенттік  электрондардьщ  м ү м кін  деген 

энергиялық мәндерінің спектрі бірқатар рүқсат етілген жэне тиым са- 

лынған зоналарға жіктеледі. Демек, кристалла атом неғүрлым көп бол­

са, соғүрлым зоналардағы деңгейлер бір-біріне жақы н тығыз орналаса­

ды.  Рұқсат  етілген  зонаның  ен ін ің   шамасы  бірнеше  электровольтқа 

тең болуы керек.  Сонды қтан,  егер кристаддьщ  ю 23  атомдары болса, 

онда зонадағы көрш і деңгейлердің арасы шамамен 

〜

1СГ23  э В -қа  тең 

екендігі шығады.

Әрбір энергия деңгейі 

た

- н ің  белгілі мәніне жауапты.  К вантты қ 

сан  m s.  екі  мән  қабылдай  алатын  болғандықтан,  кез  келген  рүқсат 

етілген деңгейде, қарама-қарсы спиндері бар екі электрон болуы мүмкін.

Энергиялық зоналар түрғысынан алғанда металдардың, жартылай 

өткізгіштердің және диэлектриктердің бар болуы туралы бірдей қөзқа- 

распен түсіндіруге болады.

Атомньщ негізгі күйінде валенттік электрондары орналасқан дең- 

гейден  пайда  болған  рүқсат  етілген  зонаны,  біз  валенттік  зона  деп 

атаймыз.  Абсолют  нѳлде  валенттік  электрондар  қо с-қо стан   төменгі 

деңгейдің валенттік зоналарын толтырады. Одан жоғары рүқсат етілген 

зоналар электрондармен толмаған, бос болады. 70.5-суретінде валентгік 

зоналардьщ электрондар толу дәрежесінің жэне тиым салынған зона- 

ны ң енінің үш м үм кін  деген жағдайының тәуелділігі келтірілген.  70.5, 

а-суретінде электрондармен валентгік зона толығымен толтырылмаған. 

Сондықтан да жогары деңгейдегі  электрондарға  өте  аз  ғана  энергия 

берсе(

〜

10—

23  -r 10-23 зВ), онда олар одан да жоғары деңгейге оңай көше 

алады.Жылулық қозғалысгың 

к Т

 энергиясы  1 

К

 -де  ю ^ э В  шамасьш- 

дай болады. Демек, абсолют нөлден айрықша температурада, электрон- 

380

-Еркін зона-

--- Еркін  зона

- (өткізгіш тік  зона

) :

Тиым салынған  зона

іВ а л е н п ік  зона 

I (ѳткізгіш тік зона)

-Еркін зона -

Д W

Тиым  салынган  зона

; Толған валенттік

 

：

 

■зона

Тиым  салынған зона

ІТолған валентгікі 

Ізона

 

:

а)  Металл 

б)  Жартылай  ѳткізгіш 

в)  Д иэлектрик  (изолятор)

70.5

дардьщ біршама бѳлігі жоғарғы деңгейге көшеді. Сөйтсек, электр өрісінің 

электронға әсерінен пайда болған энергияда да, электрондарды жоғары 

деңгейге  көшіруге  ж е ткіл ікті  болады  екен.  Сондықтан  электрондар 

электр өрісінде үдетіледі және өрістің бағытына қарсы бағытта косы м ­

ша жылдамдық алады.  М іне,  осындай схемалы энергиялық деңгейлі 

кристалл металдарға жатады.

70.5-суретінің  б  ж эне  в  жағдайларында  валенттік  зонаны ң 

деңгейлерінің бәрі электрондармен толған. Электрондардьщ энергия- 

сын көбейту үш ін оған қосымша берілетін энергияньщ шамасы тиым 

салынған зонаның ені  ДѴІ/  -ден к іш і болмауы керек.  Электр өрісінің  

(мүнадай  кернеулік  жағдайында  кристалды  электрлік тесіп  өту  бол­

майды) электронға мүндай энергия беруге ешқандай м үм кін д ігі ж о қ. 

Бүл шарт бойынша кристалдың электрлік қасиеті тиым салынған зо- 

наны ң 

△灰

  енімен анықталады.  Егер  оны ң ені онша үлкен болмаса 

(бірнеше ондаған электрон вольт шамасында),  онда жьш улық қозға- 

лыстың энергиясы электрондардьщ белгілі бір бөлігін жоғарғы деңгей- 

ге көшіруге  шамасы келеді.  Бүл электрондардьщ жағдайы металдағы 

валенттік электрондардьщ жағдайына үқсас.  Е ркіндік зонасы енді олар 

ү ш ін   ө ткізгіш тік зона  болады.  Соны ң  нәтижесінде,  валенттік элект- 

рондарға жоғарғы босаған деңгейге көшуге м ү м кін д ік туады.  М үндай 

затты электрондық жартылай өткізгішдеп атайды.

Тиым  салынган  зонаның  ені 

/\,W

 үлкен  (реті  бірнеше  электрон 

вольт) болса, онда жылулық қоғалыс байқалған мөлшердегі электрон­

дарды  бос зонаға көшіре  алмайды.  Бұл жағдайда кристалды диэлект- 

риктер деп атайды. Осындай денелердің мысалы ретінде ас тұзы 

N a C l

 - 

ды алуға болады. 

N a C l

  молекуласындағы 

Na

 -ДІҢ сыртқы (валенттік)

381

электроны 

Cl

 -дың сыртқы қабықшасына көшеді. Соның нәтижесінде, 

электрон  қабықшасына  толы қ  о р н ы ққа н  

N a +

  жэне 

С Г

  иондары 

түзіледі.  Демек, 

N a C l

 кристалындағы  натрий  ионының  ө ткізгіш тік 

зонасынан жогары ж атқан хлордың валенттік зонасының орналасуы, 

я ғн и  

N a +

  жэне 

С Г

  зоналарының орналасу аралықтары 6 эВ -қа  тең 

болатындығын көрсетеді.  Олай болса, сыртқы электр өрісі электрон­

дармен толы қ толған 

Cl ~

 -дың, зонасындағы электрондарды  Д ^+ -дің 

ө ткізгіш тік бос зонасына көшіре алмайды.

Қатты  диэлектриктерде электрондар кристалмен ж ы лулы қ жыл- 

дамдықпен қозғала алады. Алайда, бүл қозғалыс хаосты түрде болады 

және бағытталған электрондық “ дрейф” туғызбайды-электр тогы пай­

да болмайды.  Сондықтан кристалл диэлектриктегі электрондарды ме- 

талдардағы электрондарға қарағанда еркінірек деп есептеуге болады. 

С ы ртқы  электр өрісі оларды  белгілі бағыгга қозғалтуға дәрмені ж о қ. 

С оны ң  нәтижесінде  то к  пайда  болмайды.  Сондықтан  осы  заманғы 

диэлекгриктердің қүрылысы жөніндегі көзқарас диэлектриктердің клас­

сикалы к теориясының негізінде жатқан, байланыстагы зарядтар тура­

лы көзқарастан түбегейлі өзгеше.

§71. Жартылай өткізгіштер

Жартылай өткізгіш тердеп валенттік зоналары электрондармен то- 

лығымен толған тиым салынған зонасының ені үлкен емес (жартылай 

ө ткізгіш тің  ө зін ікі  1  эВ)  кристалдық заттарды айүады  (70.5,  б-суретті 

қараңыз). Жартылай өткізгіш тің  өзінің аталуынан кө р ін іп  түрғандай, 

ол металл мен диэлектриктің аралығында жатады. Алайда, оның сипа­

ты ө ткізгіш тігін ің  өте жоғарьшығында емес, мәселе қайта температура 

өскен сайын ө ткізгіш тігін ің  өсетіндігінде болып табылады  (бұл жерде 

айта кететін жағдай, металдарда өткізгіш тік өсудің орнына төмендейді).

m 

JD

жүктеу/скачать 13,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: