Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы к. Д. Көлекеев К. Ж. Назарова дифференциалдық теңдеулер алматы, 2012

252
15. Теңдеу бір қатынаспен интегралданады ма?
2
2
2
(
)
0.
y
z
x dx
xzdy
xydz
+
−
+
+
=
16. Теңдеуді бір қатынаспен интегралдау
2
(
3 )
(
)
6
0.
y
z dx
x
y dy
xzdz
+
+ +
+
=
17. Теңдеудің толық интегралын табу 
pq
=
x
2
y
2
.
18. Теңдеудің толық интегралын табу 
z=px
+
qy
+
p
3
q
3
.
19. Теңдеудің толық интегралын табу 
pq
=9
z
2
.
20. Теңдеудің толық интегралын табу 
p
=sin
q
.
21. Векторлық өрістің 
2
(2
3 )
(
3 )
3
F
xy
yz i
x
xz j
xyk
=
−
+
−
−
век торлық сызықтарына ортогонал беттерді табу.
22. Векторлық өрістің 
k
y
x
j
z
y
i
y
x
F
)
2
(
)
3
(
)
2
(
−
−
−
+
−
=
век торлық сызықтарына ортогонал беттерді табу.
23. Өрістің 
k
z
j
y
i
x
F
−
+
=
векторлық сызықтары, векторлық 
беттерін жəне векторлық сызықтарына ортогонал беттерін табу.
24. 
1,
2,
2
1.
z
pq
y
z
x
=
+
=
=
+
25. 
2
3 ,
5,
15 .
z
pq
xy x
z
y
=
−
=
=
26. 
.
,
0
,
4
2
2
2
y
z
x
q
p
z
=
=
+
=
Жауаптары.
1. 
z
=Φ(
x+y
). 2. 
z=e
2
x
Φ(
x–y
). 
3. 
( ).
y
x
z
e
x
= Φ
4. 
( ,
) 0.
x
z
z ye
Φ
=
5. 
.
)
(
5
5
5
3
y
y
x
z
Φ
+
=
6. 
u
=Φ(
x–y, y–z
). 
7. 
4
2
3
,
.
y
z
u
x
x
x
⎛
⎞
= Φ⎜
⎟
⎝
⎠

253
8. 
z
=
x
Φ
1
(
y
)+Φ
2
(
y
). 9. 
z
=(
x
2
+
y
–1)
2
. 10. 
2
.
x
y
z
ye
−
=
11. 
z
=3
x.
12. 
.
2
2
3
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
z
x
y
z
13. Φ(
z
2
+
x
2
, 
x
2
–
y
2
)=0.
14. Φ(
z
2
–
x
2
, 
x
2
–
y
2
)=0. 15. интегралданбайды.
16. 2
xy
+
y
2
+ 6
xz
2
=
C
.
17. 
3
3
9
y
z
ax
b
a
=
+
+
(басқа жауаптары да болуы мүмкін).
18. 
z=ax + by + a
3
b
3
(басқа жауаптары да болуы мүмкін).
19. 
2
3 (
)
a
y
a
z
be
+
=
(басқа жауаптары да болуы мүмкін). 
20. 
z=x
sin
a + ay + b
(басқа жауаптары да болуы мүмкін). 
21. 
C
xyz
y
x
=
−
3
2
22. 
0
=
⋅
rotF
F
шарты орындалмастан, бұндай беттер жоқ. 
23. Векторлық сызықтары 
1
2
,
.
y
C xz
C
x
=
=
Векторлық бет-
тері 
1
.
y
z
x
x
⎛ ⎞
= Φ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Векторлық сызықтарға ортогонал беттері 
.
2
2
2
C
z
y
x
=
−
+
24. 
z
=2
xy
+ 1. 25. 
z
=3
xy
. 
26. 
.
2
2
y
x
z
+
=

254
6-тарау
ЛАПЛАС ТҮРЛЕНДІРУЛЕРІНІҢ СЫЗЫҚТЫҚ
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУГЕ 
ҚОЛДАНЫЛУЫ
§30. Лаплас түрлендірулерінің негізгі түсініктері
Нақты айнымалы 
f
(
t
) функциясының Лаплас түрлендіруі деп, 
0
( )
( )
pt
F p
f t e
dt
∞
−
=
∫
(1)
формуласымен анықталaтын комплекс айнымалы 
F
(
p
) функция-
сын айтады.
Теңдіктің оң жағындағы комплекс 
p
тəуелді меншіксіз инте-
грал Лаплас интегралы деп аталады.
Интеграл (1) жинақы болып, 
F
(
p
) функциясын анықтауы үшін 
f
(
t
) функциясына қойылатын талаптарды анықтайық. Келесілер 
орынды делік:
1) 
f
(
t
)-функциясы бөлшектеп - үздіксіз 
t
≥0 мəндерінде; бұл 
дегеніміз функция не үздіксіз немесе бірінші түрдегі санаулы 
үзіліс нүктелері бар.
2) 
f
(
t
)=0, 
t
<0 (2)
3) 
( )
,
t
f t
Me
α
≤
(3)
.
,
const
M
−
α
Соңғы 3) шартты барлық шектеулі функциялар орындайды, 
мысалы, sin
t
, cos
t
сондай-ақ барлық 
t
k
(
k
>0) дəрежелік функция-
лар да, себебі олар көрсеткіштік 
e
t
функциясына қарағанда жай 
өседі.
Жоғарыда айтылған үш шартты орындайтын кез келген 
f
(
t
) 
функциясы түпнұсқа (оригинал) деп аталады, (1) формуламен 
анықталатын 
F
(
p
) функциясы оның бейнесі (Лаплас бойынша 
бейнесі) деп аталады. Түпнұсқа 
f
(
t
) мен бейнесі 
F
(
p
) арасындағы 
сəйкестік

255
)
(
)
(
p
F
t
f
•
•
=
немесе
)
(
)
(
t
f
p
F
•
•
=
түрінде өрнектеледі. Кейде былай да көрсетіледі:
)
(
)
(
p
F
t
f
↔
немесе
{ }
)
(
)
(
t
f
L
p
F
=
.
Хевисайдтың бірлік функциясының
⎩
⎨
⎧
>
<
=
0
,
1
,
0
,
0
)
(
t
t
t
η
(4)
көмегімен кез келген 2) шартты орындамайтын 
f
1
(
t
) функциясын 
)
(
)
(
)
(
1
t
f
t
t
f
η
=
түрінде жазып, түпнұсқа ете аламыз.
Бейнелердің жалпы қасиеттеріне көшейік.
Теорема. 
Функция 
f
(
t
) түпнұсқа делік. Онда Лаплас инте-
гралы
0
( )
( )
pt
F p
f t e
dt
∞
−
=
∫
Re
p
>
α
(яғни Re
p
>
α
жарты жазықтығында), 
α
3) шартындағы 
мəндерінде абсолютті жинақы жəне Re
p
>
α
жарты жазықтығында 
аналитикалық функция болып, бейнені анықтайды.
Абсолютті жинақылығын дəлелдеу үшін 3) шартты пайдала-
намыз. Егер 
p
=
σ
+
is
десек, 
pt
t
e
e
σ
−
−
=
, 
(
)
( )
pt
t
t
t
f t e
Me e
Me
α
σ
α σ
−
−
−
≤
=
(5)
Онда 
(
)
(
)
0
0
( )
,
0
t
pt
t
e
M
f t e
dt
M e
dt
M
α σ
α σ
α σ
σ α
∞
∞
−
−
−
∞
≤
=
=
−
−
∫
∫
(6)
себебі теорема шарты бойынша 
∞
→
→
<
−
−
t
e
t
0
,
0
)
(
σ
α
σ
α
. 
Демек, Лаплас интегралы абсолютті жинақы.
Мысал ретінде 
,
at
e
a
i
β γ
= +
функциясының бейнесін 
табайық
,
1,
at
t
e
e
M
β
α β
=
=
=
.

256
(
)
(
)
0
0
1
0
(
)
p a t
at
pt
p a t
e
e e
dt
e
dt
p
a
p
a
∞
∞
− −
−
− −
∞
=
=
=
− −
−
∫
∫
,
егер 
∞
→
→
−
−
t
e
t
a
p
0
)
(
. Бұл мүмкін, егер Re(
p–a
)=Re
p
–
β>
0
,
яғни Re
p
>
β
болса. Сонымен:
1
at
e
p
a
→
−
. (7)
Егер 
a
=0 десек,
p
1
1
→
. (8)
Теоремада Лаплас интегралының жинақтылығы Re
p
>
β
мəнде рінде ғана деп көрсетілгенімен, мысалдан функцияның 
ана ли тикалығы 
p≠a
барлық мəндерінде екендігін көреміз. Тео-
реманы пайдалансақ 
F
(
p
) функциясы Re
p
=
α
мəндерінде ерекше 
нүктелі емес деген тұжырымға келеміз: барлық ерекше нүктелер 
Re
p
=
α
түзуінің сол жағында немесе осы түзудің үстінде жатады.
Кез келген 
F
(
p
) бейненің шексіздіктегі өзгерісін қарастырайық. 
Теңсіздік (6)дан
0
( )
( )
pt
M
F p
f t e
dt
σ α
∞
−
=
≤
−
∫
,
екендігін көреміз. Мұндағы 
α
3) шарттағы тұрақты жəне 
σ
=Re
p
, осы себепті егер 
p
→
∞
σ
да 
∞
өссе, онда 
F
(
p
)→0. Де-
мек 
0
)
(
lim
=
∞
→
p
F
p
. (9) Басқаша айтқанда егер 
F
(
p
) шексіздікте 
аналитикалық болса, онда оның міндетті түрде нөлі бар.
Түпнұсқалардың арасындағы күрделі қатынастар олардың 
бейнелерінің арасында көбіне жеңіл болады. Осы себепті Лап-
лас түрлендірулерінің қасиеттеріне негізделген операциялық 
есептеу теориясы көптеген есептерді шешуде қолданылады. 
Мысалы түпнұсқалардағы дифференциалдық теңдеулерден бей-
нелерде алгебралық теңдеулер алынады. Осы теңдеулерді ше-
шіп, бейнелерден түпнұсқаларға көшу нəтижесінде бастапқы 
дифференциалдық теңдеулердің шешімдеріне көшеміз.

257
Жалпы операциялық есептеу деп есептерді шешудің келесі 
қадамдардан тұратын əдістерін айтады:
1) ізделінді функциялардан олардың бейнелеріне көшу;
2) функцияларға орындалатын операциялардан, олардың бей-
нелеріне тиісті операцияларға көшу;
3) бейнелерге операцияларды орындап, алынған нəтижеден 
бас тапқы функцияларға кері көшу.

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: