Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы к. Д. Көлекеев К. Ж. Назарова дифференциалдық теңдеулер алматы, 2012

264
жай операциялармен (
p
-ға көбейту жəне бөлумен, біріншіде 
f
(0) 
тұрақтысын шегерумен) ауысатындығын айғақтап көрсетіп тұр.
Бейнелерді дифференциалдау жəне интегралдау теоремала-
рына көшейік.
8
. Бейнені дифференциалдау теоремасы.
Егер 
)
(
)
(
p
F
t
f
→
болса, онда 
–
t
f
(
t
) → F′(
p
). (31)
Бұл формула аналитикалық функцияны 
0
( )
( )
pt
F p
f t e
dt
∞
−
=
∫
дифференциалдау ережесінен шығады:
0
'( )
( )( )
.
pt
F p
f t
t e
dt
∞
−
=
−
∫
Ал бұл –
t
f
(
t
) → F′(
p
). екендігі айқын.
Теореманы бірнеше рет қолдансақ,
2
3
1
( )
( )
''( ),
( )
'''( ),
( )
( )
( )
n n
n
t f t
F
p
t f t
F
p
t f t
F
p
⎫
→
⎪
−
→
⎪
⎬
⎪
⎪
−
→
⎭
… … … … …
(32)
Формуладан 
p
1
1
→
мына тізбекті аламыз:
2
1
p
t
−
→
−
немесе 
2
1
p
t
→
; 
3
2
2
p
t
−
→
−
, 
3
2
2
p
t
→
, ..., 
1
!
+
→
n
n
p
n
t
.
9
. Бейнені интегралдау теоремасы.
Егер интеграл 
( )
p
F z dz
∞
∫
жинақы болса, онда:
( )
( ) .
p
f t
F z dz
t
∞
→
∫
(33)
Теореманы дəлелдемей-ақ, бірнеше мысалдар келтірейік.

265
1
1
sin
2
+
→
p
t
, ал
2
1
2
p
dz
arctgz
arctgp
arctgp
p
z
π
∞
∞
=
= −
=
+
∫
онда
arctgp
t
t
→
sin
.
Бұдан 7-теореманы қолдансақ
0
sin
.
t
t
arctgp
dt
t
p
→
∫
Интеграл элементар функциямен өрнектелмейді жəне элемен-
тар емес 
Si
(
t
) функциясын анықтайды:
0
sin
( )
.
t
t
Si t
dt
t
=
∫
Осы сияқты 
1
1
1
at
e
p
p
a
−
→
−
−
сəйкестігінен мынаны қоры-
тамыз: 
1
1
ln
ln1 ln
ln
,
p
z
p
p
a
dz
p
z
z
a
z
a
p
a
p
∞
∞
−
⎛
⎞
−
=
=
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
−
−
−
∫
1
ln
.
at
e
p
a
t
p
−
−
→
Теореманы 9 
1
at
e
p
a
→
−
сəйкестігіне қолдануға болмайды, 
себебі 
p
dz
z
a
∞
−
∫
интегралы жинақы емес жəне 
at
e
t
функциясы да 
түпнұсқа бола алмайды, 
t
=0 мəнінде шексіз үзілісті.
Екі функцияның 
f
(
t
) жəне 
g
(
t
) орамы деп
∫
−
t
d
t
g
f
0
)
(
)
(
τ
τ
τ
интегралын айтады. Бұл интеграл 
t
айнымалысының функциясы 
18–684

266
айнымалы интеграл астындағы өрнекке де жəне жоғарғы шегі ай-
нымалы етіп интеграл шегіне де енген.
Функциялар орамын əдетте 
f * g
түрінде белгілейді:
∫
−
=
∗
τ
τ
τ
d
t
g
f
g
f
)
(
)
(
. (34)
Интегралда 
∫
−
t
d
t
f
g
0
)
(
)
(
τ
τ
τ
алмастыру енгізсек, 
1
τ
τ =
−
t
, 
онда:
0
1
1
1
1
1
1
0
0
( ) (
)
(
) ( )(
)
( ) (
)
.
t
t
t
g
f t
d
g t
f
d
f
g t
d
τ
τ τ
τ
τ
τ
τ
τ τ
−
=
−
−
=
−
∫
∫
∫
Демек, 
g
f
f
g
∗
=
∗
. (35)
Орамдарды есептеуге мысалдар келтірейік.
t
e
t
f
=
)
(
жəне 
t
t
g
=
)
(
десек, 
0
(
)
(
)
0
0
t
t
t
e t
d
t
e
e
τ
τ
τ
τ τ
τ
−
= −
+
=
∫
1
−
−
=
t
e
t
. Осы нəтижені 
∫
−
=
∗
t
t
t
d
e
e
t
0
τ
τ
τ
десек те аламыз.
t
t
d
t
t
t
t
+
−
=
−
=
∗
∫
sin
sin
)
(
sin
0
τ
τ
τ
,
1
cos
cos
)
(
cos
0
+
−
=
−
=
∗
∫
t
d
t
t
t
t
τ
τ
τ
.
Егер 
f
(
t
) жəне 
g
(
t
) түпнұсқалар болса, онда олардың орамы да 
түпнұсқа екендігін көрсетуге болады.
(
)
t
e
M
t
f
1
1
2
1
)
(
,
α
α
α
≤
∃
, 
t
e
M
t
g
2
2
)
(
α
≤
, 
(
)
2
1
,
max
α
α
α =
де-
сек, 
[ ]
t
,
0
∈
∀
τ
үшін 
(
)
1
2
( ) (
)
t
t
f
g t
M e M e
Ke
ατ
α
τ
α
τ
τ
−
−
≤
=
,
2
1
M
M
K
=
. Онда 
(
1)
0
( ) (
)
,
t
t
t
f
g t
d
Ke
t
Ke
α
α
τ
τ τ
+
−
<
⋅ <
∫
себебі 
t
e
t
<
. Сонымен орам түпнұсқаның үшінші шартын орындайды.

267
10
. Бейнелерді көбейту теоремасы
Егер 
f
(
t
) →
F
(
p
) жəне 
g
(
t
) →
G
(
p
) болса, онда функциялар ора-
мына 
f * g
бейнелердің көбейтіндісі сəйкес: 
)
(
)
(
p
G
p
F
g
f
→
∗
. (36)
Дəлелдеуі. Орам үшін Лаплас интегралын жазамыз:
0
0
( ) (
)
.
t
pt
f
g
f
g t
d
e
dt
τ
τ τ
∞
−
⎡
⎤
∗ →
−
⎢
⎥
⎣
⎦
∫ ∫
Бұл интеграл шексіз аумақта қос интергал болады:
Қос интегралда интегралдау ретін ауыстырсақ,
0
0
0
( ) (
)
( ) (
)
.
t
pt
pt
dt f
g t
e
dt
d
f
g t
e
dt
τ
τ
τ
τ
τ
τ
∞
∞
∞
−
−
−
=
−
∫ ∫
∫ ∫
Оң жағындағы ішкі интегралда айнымалыны алмастырсақ 
1
,
t
t
τ
− =
1
dt
dt
=
1
1
1
0
0
( )
( )
.
pt
p
f
e
d
g t e
dt
τ
τ
τ
∞
∞
−
−
∫
∫
Сонымен 
)
(
)
(
p
G
p
F
g
f
→
∗
.
Бұған дейін қаралған мысалдарды тексеріп көрелік.
1
−
−
=
∗
t
e
t
e
t
t
Көбейту теоремасы бойынша 
(
)
1
1
2
−
→
∗
p
p
t
e
t
, 

268
)
1
(
1
1
1
1
1
1
2
2
−
=
−
−
−
→
−
−
p
p
p
p
p
t
e
t
.
Осы сияқты 
)
1
(
1
1
1
1
sin
sin
2
2
2
2
+
=
+
+
−
→
+
−
=
∗
p
p
p
p
t
t
t
t
.
Қолданыста 
pF
(
p
)
G
(
p
) көбейтіндісі де кездеседі. 
[
]
( ) ( )
( )
(0) ( )
(0) ( ),
pF p G p
pF p
f
G p
f
G p
=
−
+
( ) ( )
'( )
( )
(0) ( ).
pF p G p
f t
g t
f
g t
→
∗
+
Орамды ашып жазсақ,
0
( ) ( )
(0) ( )
'( ) (
)
t
pF p G p
f
g t
f
g t
d
τ
τ τ
→
+
−
=
∫
0
(0) ( )
( ) '(
) .
t
f
g t
g
f t
d
τ
τ τ
=
+
−
∫
(37)
Формула (37) Дюамель интегралы деп аталады.
f
(
t
) →
F
(
p
),
g
(
t
) →
G
(
p
) жəне Re 
p
>
α
осы екі Лаплас интегра-
лы да абсолютті жинақталатын жарты жазықтық делік.
Екі бейненің орамы деп
i
i
F z G p z dz
i
1
( ) (
)
2
γ
γ
π
+ ∞
− ∞
−
∫
(38)
интегралын айтады, интегралдау сызығы 
Re
,
z
γ α
= >
p
-комп-
лекс айнымалы, 
Re
.
p
γ α
> +
11
. Түпнұсқаларды көбейту теоремасы
Егер 
f
(
t
) →
F
(
p
) жəне 
g
(
t
) →
G
(
p
) болса, онда 
1
( ) ( )
( ) (
) .
2
i
i
f t g t
F z G p
z dz
i
γ
γ
π
+ ∞
− ∞
→
−
∫
(39)
Формулада (39) 
f
(
t
) =
g
(
t
) десек,
[ ]
2
1
( )
( ) (
) .
2
i
i
f t
F z F p
z dz
i
γ
γ
π
+ ∞
− ∞
→
−
∫
(40)

269
Интегралды (39) əдетте, комплекс айнымалы функциялар-
теориясындағы шегерінділер туралы теореманың көмегімен 
есеп тейді. Бір мысал келтірейік:
1
1
sin
2
+
→
p
t
жəне 
1
1
−
→
p
e
t
.
2
1
1
1
sin
.
2
1
1
i
t
i
e
t
dz
i
z
p
z
γ
γ
π
+ ∞
− ∞
→
+
− −
∫
(
)
2
2
1
1
1
1
.
2
1
1
1
1
i
i
dz
i
z
p
z
p
γ
γ
π
+ ∞
− ∞
=
+
− −
−
+
∫

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: