Практикум по алгебре
жүктеу/скачать 0,63 Mb. Pdf көрінісі
|
moiseev 2
| Z
и над Q . 36. Каталог неприводимых над Z p многочленов . 37. Разложение на неприводимые над R множители . Задание 1 1. а ) В некотором множестве М выделена система подмножеств τ , каждые два из которых имеют непустое пересечение . Пусть А ⊂ М . Доказать , что либо А , ли - бо A имеет непустое пересечение с каждым подмножеством из семейства τ . б ) Решить систему уравнений А ∩ Х = В , А ∪ Х = С , где В ⊂ А ⊂ С . 2. а ) Пусть τ – система из 2 n –1 подмножеств n – элементного множества А , обла - дающих свойством , что любые 3 подмножества из τ имеют непустое пе - ресечение . Доказать , что пересечение всех подмножеств из τ не пусто , причем содержит в точности один элемент . б ) Решить систему уравнений А ∪ Х = В ∩ Х , А ∩ Х = С ∪ Х . 3. а ) В множестве , состоящем из n элементов , выбраны 2 n –1 подмножеств , каж - дые 3 из которых имеют общий элемент . Доказать , что все эти подмноже - ства имеют общий элемент . б ) Решить систему уравнений А \ Х = В , Х \ А = С , где В ⊂ А , А ∩ С = ∅ . 4. а ) Пусть А = {1, 2, ..., n }, В = {1, 2, ..., k }. Сколько существует подмножеств М ⊂ А таких , что М ∩ В = ∅ ? б ) Решить систему уравнений А ∩ Х = ∅ , В ∩ Х = ∅ : выяснить условие разре - шимости и указать решение . 5. а ) Сколько решений имеет уравнение {1, 2, ..., n } ∩ X = {1, 2, ..., k } ∪ X ? б ) Решить систему уравнений А ∪ Х = В ∩ Х , А ∩ Х = С ∪ Х . 6. а ) На каждой клетке шахматной доски записано одно из чисел 1, 2, ..., 64. За один вопрос можно , указав на любую совокупность клеток , узнать мно - жество чисел , стоящих на этих клетках . Доказать , что за 6 вопросов мож - но узнать число в каждой клетке ( указание : воспользоваться тем , что 3 круга Эйлера делят плоскость на 8 частей ). б ) Решить систему уравнений А ∩ Х = В \ Х , С ∩ Х = Х \ А . Задание 2 1. а ) Привести примеры транзитивного , не симметричного и не рефлексивного отношения на конечном и на бесконечном множествах . б ) Привести пример отношения , одновременно симметричного и антисим - метричного . Верно ли , что это отношение также и рефлексивно ? 80 2. а ) Привести примеры рефлексивного , не симметричного и не транзитивного отношения на конечном и на бесконечном множествах . б ) Доказать , что всякое симметричное , транзитивное , всюду определенное отношение является отношением эквивалентности . 3. а ) Привести примеры симметричного , не рефлексивного и не транзитивного отношения на конечном и на бесконечном множествах . б ) Доказать , что если S любое рефлексивное и транзитивное отношение , то S ∩ S ~ — отношение эквивалентности . 4. а ) Привести примеры рефлексивного , симметричного , но не транзитивного отношения на конечном и на бесконечном множествах . б ) Привести пример отношения , одновременно симметричного и антисим - метричного . Доказать , что всякое такое отношение транзитивно . 5. а ) Привести примеры транзитивного , симметричного , но не рефлексивного отношения на конечном и на бесконечном множествах . б ) Доказать , что всякое сюръективное , симметричное , транзитивное отноше - ние является отношением эквивалентности . 6. а ) Привести примеры рефлексивного , транзитивного , но не симметричного отношения на конечном и на бесконечном множествах . б ) Верно ли , что всякое симметричное , транзитивное отношение является от - ношением эквивалентности ? Следующие 4 задания формулируются одинаково для всех бригад . в ) Составить таблицу , устанавливающую связь между свойствами отношений S и S ~ ( имеются в виду свойства : рефлексивность , ..., сюръективность и произ - водные от них : отношения эквивалентности , порядка и т . д .). г ) Аналогичным образом , составить таблицу , устанавливающую связь между свойствами отношений S , T и S ∩ T ; S ∪ T ; S \ T ; S . д ) Задав разбиение множества {1, 2, 3, 4, 5, 6}, построить отношение эквива - лентности на этом множестве . Построить граф этого отношения . е ) Построить второе отношение эквивалентности на множестве из задания Д , а затем составить отношение S ∩ T и S ∪ T . Являются ли получившиеся отно - шения отношениями эквивалентности ? Задание 3 1. а ) Доказать , что композиция двух инъекций является инъекцией . б ) Доказать , что если ψ o ϕ инъекция , то ϕ также инъекция . в ) Привести пример , показывающий , что ψ не обязательно инъекция , если ψ o ϕ инъекция . 2. а ) Доказать , что композиция двух сюръекций является сюръекцией . б ) Доказать , что если композиция ψ o ϕ сюръекция , то ψ также сюръекция . 81 в ) Привести пример , показывающий , что ϕ не обязательно сюръекция , если композиция ψ o ϕ сюръекция . 3. а ) Доказать , что если ψ o ϕ = χ o ϕ и ϕ сюръекция , то ψ = χ . б ) Привести пример , показывающий , что если ϕ не сюръекция , то утвержде - ние примера а ) не выполняется . в ) Пусть функция ϕ такова , что выполняется условие ( ∀ψ )( ∀χ )( ψ o ϕ = χ o ϕ → ψ = χ ). Доказать , что ϕ сюръекция . 4. а ) Доказать , что если ψ o ϕ = ψ o χ и ψ инъекция , то ϕ = χ . б ) Привести пример , показывающий , что если ψ не инъекция , то утвержде - ние пункта а ) не выполняется . в ) Пусть функция ψ такова , что выполняется условие ( ∀ϕ )( ∀χ )( ψ o ϕ = ψ o χ → ϕ = χ ). Доказать , что ψ инъекция . 5. а ) Пусть ψ o ϕ = ε X . Доказать , что ϕ инъекция , а ψ сюръекция . б ) Привести пример , показывающий , что если ψ o ϕ = ε X , то не обязательно ψ является инъекцией , а ϕ сюръекцией . в ) Пусть функция ϕ : Х → Х , где | Х | > 1, такова , что выполняется условие ( ∀ψ )( ψ o ϕ = ψ ). Доказать , что ϕ = X ε . 6. а ) Доказать , что если ϕ биекция , то из равенства ψ o ϕ = χ o ϕ следует равен - ство ψ = χ , а из равенства ϕ o ψ = ϕ o χ — равенство ψ = χ . б ) Привести пример , показывающий , что если ϕ не биекция , то утверждение пункта а ) не выполняется . в ) Пусть функция ψ : Х → Х , где | Х | > 1, такова , что выполняется условие ( ∀ψ )( ϕ o ψ = ψ ). Доказать , что ψ = X ε . жүктеу/скачать 0,63 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|