1-лемма. Сызықтық А мен В
оператор болады.
Расында, Vx, х,, х2
е
X үшін
операторларының А В көбейтіндісі сызықтық
АВ(х, + х г) = А(В(х, + х2)) = А(Вх,+Вх2) = АВх,+АВх2;
АВ(Лх) - А(В(Лх)) = А(Л(Вх)) = Л(АВх) (/. -скаляр).
Демек, 1-лемма долелденді.
Салдар ретінде сызықтық операторлар А,В,С мен скаляр сан Л үшін:
1) (АВ)С = А{ВС)\
2) (А + В)С = АС + ВС;
3) С(А + В) = СА + СВ ; 4) Л{АВ) - (ЛА)В.
Өрнектердің дұрыстығын тексеру қиын емес:
2-лемма. || АВ ||<|| А || • || В || теңсіздігі орындалады.
Шынындада,
V
x e
X
үшін ||^ 5
х
||< ||^ ||-||5
х
||< ||^ ||- ||5 |||
х
||.
Демек,
\\AB\\=sup\\ABx\\<\\A\\-\\B
lk il < i
Егер А = В десек, А операторының екінші дәрежесін анықтаймыз, яғни
А(Ах) = А 2х , ал жалпы түрде А" = А(АЛ~') екені анықталды. Эрине, Ап+т = А" ■Ат.
Ь(Х,Х)~тегі В операторы сол L(X, X)-
tqt
\ А операторымен AB = BA = I өр-
негін қанағаттандырса, онда В операторын А операторына кері оператор деп
атайды да, А х символымен белгілейді, мұндағы, / -бірлік оператор.
§2.4. Гильберттік кеңістік
Комплекс элементті сызықты Н кеңістігінде Vx,y е Н элементтері жұбына
(х,у) саны сэйкес қойылып,мына аксиомалар:
1°. (х, + х 2, у) = (х], у) + (х2,у) ;
2°. (Ах,у) = Л(х,у);
3°.
= (уТ^) (эрмиттік);
4°. (х,х)> 0, (х,х)=0<^> х = Ө ((9-нөлдік элемент) орындалса, онда (х,у) саны
х пен у -тің скалярлық көбейтіндісі деп аталады.
1
« _
3
° _ аксиомалардың логикалық салдары мына екі өрнек болады:
(х,Лу)=Л(х,у) ( Л - і-ғатүйіндессан); (х,ух + y 2) = (^>;1)+ fc> '
2
)-
Мысалдар.
1. п өлшемді С" - комплекс сандар кеңістігінде скалярлық көбейтінді
23
( х , у ) = ^ х ку к
к
= 1
тендігі мен анықталады, мұнда, х = (хі,х 2,...,хп\ у = (у], у 2,...,уп).
2. Элементтері нақты сандар болатын/Г кеңістігінде скалярлык көбейтінді
{ х , у ) = £ х ку к
к=1
өрнегімен, ал R" -дегі жалпы скалярлық көбейту амалы
(х,у)= І а к,хкУ,
к
./- 1
өрнегімен анықталады, мұндағы, \\акі\\ оң анықталған матрица.
3. L2[a,b] кеңістігінде скаляр көбейту
(x,y) = \x(t)y(t)dt
( 12)
өрнегімен анықталады.
Бұл көрсетілген скаляр көбейтулер үшін 1° - 4 ° -аксиомалар оңай тексеріледі.
• Ескерту. Скалярлық көбейту амалы орындалатындай элементтері накты
сандар болатын ақырлы өлшемді кеңістік евклидтік кеңістік деп аталады. Ал
элементтері комплекс сандар болатын ақырлы өлшемді кеңістікте скаляр көбейту
амалы орынды болса, оны унитар кеңістік деп атайды.
Скалярлық көбейту амалы орынды болатын сызықтық кеңістік гильберттік
кеңістік деп аталады. Гильберттік кеңістік Н -тың х элементінің нормасы
II
jc
||= (
jc
,
jc
)2 саны болады.
Лемма. Кез келген гильберттік кеңістікте Коши-Буняковский теңсіздігі
|( д г , Д |< ||х ||- |Ы |
(13)
орынды.
Дәлелдеуі. Егер х = Ө немесе у - Ө болса, онда теңсіздіктің орынды екені
айқын. у - Ө деп z е Н элементін z - Л у жоне (jc-z,_y) = 0, яғни
( * - Л у ,Д = 0 =>Л = £ Ц
(у*у)
болатындай етіп түзейік. Сонда
0 < (х - Лу,х - Лу) = { х - Лу,х) - Л(х - Лу,у) = ||х||2 -
ыг
болғандықтан, бүл соңғы өрнектен (13) теңсіздігі шығады.
24
||х|| —(х,х)' нормасы бойынша толық, скалярлық көбейту анықталған сызық-
тық кеңістік гильберттік кеңістік деп аталады. Мысалы, С", R ' \ L 2[a,b] кеңістік-
тері гильберттік кеңістіктер. Ал С[я,&] кеңістігі
{x,y) = ]x{t)y{t)dt
Достарыңызбен бөлісу: |
